□ 秦仙蓉 □ 張曉輝 □ 吳 瓊 □ 張 氫 □ 孫遠(yuǎn)韜

同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院 上海 201804

1 研究背景

龍門起重機(jī)是港口物資裝卸的重要設(shè)備，可以提高作業(yè)效率和保障生產(chǎn)質(zhì)量，某型軌道式龍門起重機(jī)如圖1所示。隨著生產(chǎn)和工作要求的提高，人們對(duì)龍門起重機(jī)的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及安全性提出了更高的要求［1］。當(dāng)龍門起重機(jī)在工作時(shí)，小車和吊重在主梁上運(yùn)動(dòng)，會(huì)對(duì)主梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動(dòng)力沖擊作用。與靜載荷相比，主梁所承受的動(dòng)載荷將會(huì)引起更大的撓度位移，影響起重機(jī)的使用和疲勞壽命。因此，研究移動(dòng)載荷作用下主梁的振動(dòng)，對(duì)主梁的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和安全操作具有重要的意義。

目前對(duì)于龍門起重機(jī)主梁的分析，一般是將小車和吊重簡(jiǎn)化為一個(gè)移動(dòng)的重物，將主梁的分析問(wèn)題簡(jiǎn)化為移動(dòng)載荷或移動(dòng)質(zhì)量作用下梁的振動(dòng)問(wèn)題［7］。

移動(dòng)載荷模型求解簡(jiǎn)單，忽略小車的慣性加速度，以及小車與梁之間的耦合振動(dòng)，在工程中很常見，如車橋耦合系統(tǒng)、導(dǎo)軌振動(dòng)、火炮后座問(wèn)題等。移動(dòng)質(zhì)量模型［7］雖然能準(zhǔn)確模擬載荷對(duì)梁的影響，但是其求解較為復(fù)雜，只能通過(guò)數(shù)值方法進(jìn)行求解［8-9］。因此，一些學(xué)者提出在重物質(zhì)量與主梁質(zhì)量相比較小，且低速運(yùn)行的情況下，可以忽略重物慣性效應(yīng)的影響［10］。

筆者以兩種模型得到主梁的最大撓度作為評(píng)判指標(biāo)，對(duì)不同工況下由兩種模型得到的跨中最大撓度進(jìn)行對(duì)比，分析判斷兩種模型對(duì)起重機(jī)主梁這一具體工程問(wèn)題的適用性。

2 動(dòng)力學(xué)方程建模

根據(jù)實(shí)際約束條件，將龍門起重機(jī)主梁簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，并由伯努利-歐拉梁理論和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)知識(shí)，得到簡(jiǎn)支梁在一般載荷p（x，t）作用下的運(yùn)動(dòng)方程：

▲圖1 軌道式龍門起重機(jī)

式中：E為彈性模量；I為截面慣性矩；ρ為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量；w為梁的撓度；x為微元到簡(jiǎn)支梁左支座的距離；t為時(shí)間。

根據(jù)模態(tài)疊加法，可得：

式中：φj（x）為簡(jiǎn)支梁第j階模態(tài)振型，φj（x）=sin（jπx/L），j=1，2，...，N；N 為模態(tài)振型的最高階數(shù)；L 為梁長(zhǎng)；qj（t）為簡(jiǎn)支梁第j階模態(tài)坐標(biāo)。

將式（2）代入式（1），等號(hào)兩邊同乘以 φi（x），表達(dá)式為 φi（x）=sin（iπx/L），i=1，2，…，N，根據(jù)模態(tài)的加權(quán)正交性，可得：

假設(shè)梁上作用一個(gè)大小為pu的移動(dòng)載荷，以速度v、加速度a移動(dòng)，載荷的初始位置位于梁的左支座，運(yùn)動(dòng)的位移距離梁左端為s，則有：

式中：δ為狄拉克函數(shù)。

將式（5）代入式（3），移動(dòng)載荷作用下簡(jiǎn)支梁第j階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的模態(tài)方程可以簡(jiǎn)化為：

考慮小車的慣性加速度，以及小車與梁之間耦合振動(dòng)的影響，將小車和吊重作為移動(dòng)質(zhì)量進(jìn)行分析［5］，則有：

式中：M為小車和吊重的質(zhì)量；g為重力加速度。

將式（7）代入式（3），移動(dòng)質(zhì)量作用下簡(jiǎn)支梁第j階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的模態(tài)方程可以簡(jiǎn)化為：

對(duì)比式（6）和式（8），可以看出移動(dòng)載荷法和移動(dòng)質(zhì)量法的主要區(qū)別在于移動(dòng)質(zhì)量法考慮了重物自身慣性力的影響，此時(shí)重物對(duì)梁的作用力為重力Mg和慣性力 Md2w（x，t）/dt2之差，這會(huì)影響到重物和主梁之間的振動(dòng)。

3 動(dòng)力學(xué)方程驗(yàn)證

由于載荷在主梁上的位置是不斷變化的，因此動(dòng)力學(xué)方程是一個(gè)時(shí)變微分方程。筆者采用紐馬克逐步積分法對(duì)微分方程進(jìn)行求解，紐馬克參數(shù)γ為0.25，β為0.5，所選取的龍門起重機(jī)參數(shù)見表1。

表1 龍門起重機(jī)參數(shù)

為了驗(yàn)證上述動(dòng)力學(xué)方程的正確性，通過(guò)有限元軟件模擬主梁在移動(dòng)載荷和移動(dòng)質(zhì)量作用下的撓度響應(yīng)。對(duì)于移動(dòng)載荷模型，將小車和吊重簡(jiǎn)化為單個(gè)移動(dòng)載荷，以一定的時(shí)間間隔分別加載在主梁相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上，以此來(lái)模擬小車吊著重物在大梁上移動(dòng)的過(guò)程。對(duì)于移動(dòng)質(zhì)量模型，根據(jù)質(zhì)量的移動(dòng)速度施加一個(gè)時(shí)刻變化的位移，將質(zhì)量塊與移動(dòng)位置所對(duì)應(yīng)的梁節(jié)點(diǎn)進(jìn)行耦合，利用生死單元法來(lái)模擬移動(dòng)質(zhì)量在主梁上的作用。

通過(guò)數(shù)值求解和有限元模擬，得到移動(dòng)載荷模型和移動(dòng)質(zhì)量模型的主梁撓度響應(yīng)曲線。為了便于觀察主梁跨中位置處的響應(yīng)，對(duì)橫坐標(biāo)進(jìn)行時(shí)間歸一化處理，取相對(duì)時(shí)間τ=T0/T1作為橫坐標(biāo)，其中T0為載荷運(yùn)動(dòng)的某一時(shí)刻，T1為載荷在梁上的全程運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

圖2所示為小車以2.5 m/s的速度在主梁上運(yùn)動(dòng)時(shí)主梁跨中撓度響應(yīng)對(duì)比，為了更明顯地看出兩者區(qū)別，取相對(duì)時(shí)間0.3～0.7所對(duì)應(yīng)的位移響應(yīng)曲線進(jìn)行分析。由圖2可以看出，兩種模型數(shù)值計(jì)算結(jié)果和有限元模擬結(jié)果的頻率與幅值較為接近，這說(shuō)明動(dòng)力學(xué)方程是正確的，同時(shí)也可發(fā)現(xiàn)移動(dòng)質(zhì)量作用時(shí)主梁的撓度響應(yīng)頻率小于移動(dòng)載荷作用。

▲圖2 主梁跨中撓度響應(yīng)對(duì)比

4 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)比

文獻(xiàn)［11］的研究表明，起重機(jī)主梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與小車的運(yùn)行速度和所吊載的質(zhì)量有關(guān)。因此，筆者分別從速度、吊載質(zhì)量?jī)蓚€(gè)方面進(jìn)行考慮，分析不同因素對(duì)由兩種模型得到的跨中最大撓度的影響。

圖3所示為小車以2.5 m/s速度在主梁上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)主梁跨中撓度的變化規(guī)律，可以看出，主梁跨中的最大撓度并不是發(fā)生在小車運(yùn)動(dòng)到跨中位置處之時(shí)，而是在跨中位置的前后。

圖4所示為吊載30 t主梁最大撓度隨小車運(yùn)行速度變化的規(guī)律，可以看出速度對(duì)跨中最大撓度的影響并不是跨中最大托度隨速度加快而嚴(yán)格遞增，而是呈現(xiàn)一種幅值和周期都在增大的半正弦波形式。由于小車與主梁之間慣性效應(yīng)的影響，移動(dòng)質(zhì)量模型得到的主梁撓度小于移動(dòng)載荷模型，且隨著速度的加快，兩者的偏差越來(lái)越大。當(dāng)然，在小車速度運(yùn)行范圍內(nèi)，撓度偏差最大僅為0.018 mm。這說(shuō)明對(duì)于龍門起重機(jī)而言，當(dāng)速度加快時(shí)，移動(dòng)載荷模型與移動(dòng)質(zhì)量模型在求解撓度響應(yīng)時(shí)得到的結(jié)果差別較小，慣性效應(yīng)對(duì)主梁跨中撓度的影響可以忽略。

▲圖3 恒定速度下主梁跨中撓度曲線

▲圖4 主梁跨中最大撓度隨小車運(yùn)行速度變化曲線

為了研究吊載質(zhì)量對(duì)由兩種模型得到的撓度響應(yīng)的影響，引入吊載質(zhì)量與主梁的質(zhì)量比α和梁撓度慣性影響因數(shù)ζ，其定義如下：

式中：w1（x，t）和 w0（x，t）分別為移動(dòng)質(zhì)量和移動(dòng)載荷作用下梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)結(jié)果。

圖5所示為小車以2.5 m/s速度在主梁上勻速運(yùn)行時(shí)，撓度慣性影響因數(shù)隨質(zhì)量比的變化情況?？梢钥闯?，在龍門起重機(jī)額定吊載質(zhì)量范圍內(nèi)，移動(dòng)質(zhì)量法得到的主梁撓度始終小于移動(dòng)載荷法得到的結(jié)果。同時(shí)，主梁撓度慣性影響因數(shù)的絕對(duì)值并沒(méi)有隨質(zhì)量比的增大而一直絕對(duì)增大，而是以一種幅值和周期都增大的類半正弦波的形式增大，在某幾個(gè)質(zhì)量比點(diǎn)處，撓度慣性影響因數(shù)絕對(duì)值達(dá)到局部最大。當(dāng)質(zhì)量比為1.37時(shí)，撓度慣性影響因數(shù)絕對(duì)值達(dá)到最大，為2‰。移動(dòng)載荷法和移動(dòng)質(zhì)量法的偏差仍然較小，慣性效應(yīng)對(duì)于主梁跨中撓度的影響可以忽略。

▲圖5 撓度慣性影響因數(shù)與質(zhì)量比變化曲線

5 結(jié)論

以龍門起重機(jī)的主梁為研究對(duì)象，從理論方面建立了移動(dòng)載荷和移動(dòng)質(zhì)量作用下主梁的動(dòng)力學(xué)方程。利用有限元軟件建立主梁的簡(jiǎn)化模型，將有限元模擬結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明動(dòng)力學(xué)方程是正確的。考慮在速度和吊載質(zhì)量?jī)煞N因素下，采用移動(dòng)載荷法和移動(dòng)質(zhì)量法求取主梁跨中最大撓度的差別。

當(dāng)小車速度加快和吊載質(zhì)量增大時(shí)，無(wú)論是移動(dòng)載荷模型還是移動(dòng)質(zhì)量模型，主梁跨中最大撓度都隨之增大，主梁跨中最大撓度發(fā)生在跨中位置的前后。由于移動(dòng)質(zhì)量模型慣性效應(yīng)的影響，移動(dòng)質(zhì)量模型所得到的跨中最大撓度要小于移動(dòng)載荷模型。

移動(dòng)質(zhì)量法考慮了小車與梁之間慣性效應(yīng)的影響，更加符合實(shí)際情況，但其建模和求解相比移動(dòng)載荷法更為復(fù)雜。對(duì)于起重機(jī)主梁，兩種模型得到的撓度值非常接近，偏差值較小，因此建議在實(shí)際工程中可以忽略慣性效應(yīng)的影響，采用求解更方便的移動(dòng)載荷模型去分析主梁的響應(yīng)。