江蘇省揚州大學數(shù)學科學學院(225002)丁紫妍 濮安山

導數(shù)是研究函數(shù)單調性和切線等問題的有力工具,其中,零點問題在導函數(shù)問題中是至關重要的,很多不等式恒成立、函數(shù)的交點個數(shù)問題都是通過對導函數(shù)零點的求解解決的.但是有些零點是不容易求出的,這就需要我們采取特殊的方法進行求解.本文通過舉例說明來給出求解導函數(shù)“隱零點”問題的策略.

例1已知(x-1)lnx-a≥0 恒成立,求a的取值范圍.

由題意a≤(x-1)lnx恒成立,令f(x)= (x-1)lnx,對其進行求導我們發(fā)現(xiàn)對于f′(x)這樣的超越函數(shù),我們不能直接求出它的零點,我們把這種能判斷其存在卻不能精確求出的零點叫做“隱零點”.那么,導函數(shù)“隱零點”的問題該如何求解? 本文以近幾年的高考題為例,總結了“隱零點”相關問題的求解策略.

一般來說,不能直接求出數(shù)值的零點,即“隱零點”問題常常作為高考的壓軸題出現(xiàn),對學生來說也是一個不易跨過的難點.這樣的零點比較“虛無”,存在但又沒有具體數(shù)值.對于“隱零點”的不同類型的問題,解決策略也是各種各樣,下面是幾種比較常見的解決策略.

1、先觀察,后試值

上述問題,導函數(shù)f′(x)= 0 是一個超越方程,直接求解比較困難,這時可以先觀察導函數(shù),然后憑借“直覺”代入幾個特殊的值,看它是否恰好為方程的根,這個過程叫做試值.

解析通過試值可以得到f′(1)= 0,即x= 1 是一個零點.當0＜x ＜1 時,f′(x)＜0;x ＞1 時,f′(x)＞0,所以f(x)在(0,1)內單調遞減,在(1,+∞)單調遞增,所以f(x)min=f(1)=0?a≤0.

評析可以看出,試值法是一個比較巧妙的方法,沒有什么技巧性,更多的是一種基于經(jīng)驗的直覺判斷,在難以求出零點時,用看似可能的值代入,也許會帶來“驚喜”,問題也會迎刃而解.一般地,當導數(shù)含有ex時,用0、1 或lna(這里的a為一個常數(shù))來試值,當導函數(shù)含有l(wèi)nx時,用1 或en(n為常數(shù))試值.

2 二次求導

當試值無果時,我們可以嘗試對超越函數(shù)進行二次求導,把它化為更簡單的形式.

例2已知函數(shù)f(x)=lnx+(e-a)x-b,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),若不等式f(x)≤0 恒成立,求的最小值.

解析f(x)≤0 恒成立等價于lnx≤(e-a)x-b恒成立,可以轉化為y=lnx的圖像恒在直線y=(a-e)x+b下方,設y=lnx的圖像與直線y=(a-e)x+b平行的切線的切點為(x0,y0),由y=lnx得則由導數(shù)幾何意義可得切線方程為要使lnx≤(e-a)x-b恒成立,則從而令則

這里若直接求h′(x)= 0 的解,發(fā)現(xiàn)無法求出,再用試值法也不能解出零點.于是我們可以嘗試對它二次求導,令g(x)=ex+lnx,此時g(x)的零點很容易求出,且g(x)在上單調遞增,在單調遞減,所以

評析二次求導可以讓復雜的超越函數(shù)變得更容易求出零點,也可以通過二次求導后的導數(shù)變化來研究原函數(shù)的單調性或者它們的恒正、恒負.

3 虛設零點

當導函數(shù)經(jīng)過二次求導也無法判斷它的零點時,就可以在一定的范圍內假設存在一個零點,當然,這個范圍也是要通過零點存在性定理判斷的.這個虛設的零點常為x0,使f′(x0)=0.

例3(1)討論函數(shù)的單調性,并證明當x ＞0 時,(x-2)·ex+x+2＞0;

(2)證明：當a ∈[0,1)時,函數(shù)(x ＞0)有最小值.設g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.

解析這里的第(1)題可以直接通過求解函數(shù)f(x)的導數(shù)解出.f(x)的定義域為(-∞,-2)∪(-2,+∞),f′(x)=求出函數(shù)的零點為x= 0,且僅當x= 0 時,f′(x)= 0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)單調遞增.因此當x ∈(0,+∞)時,f(x)＞f(0)=-1.所以(x -2)· ex ＞-(x+ 2),(x-2)·ex+x+2＞0.

評析這題求零點的式子相當繁瑣,零點明顯很難直接求出來,用剛剛的兩種策略也不能得出,于是就要考慮設一個零點.要注意的是在設零點之前要先證明零點的存在,再把零點的存在范圍求出來,才能設一個零點,最后用整體代入的思想進行等量代換.這里采用設而不求的方法可以成功規(guī)避零點的求解[1].這也是高考中“隱零點”問題解決的最常用的方法.

4 巧用放縮

導函數(shù)隱零點問題,特別是關于不等式的問題,若對整理好的不等式設為f(x),對其求導之后仍不能求得它的零點,更不能判斷它是大于零還是小于零,這時候,就可以考慮使用放縮法來判斷.

例4求證：xex-2elnx≥e(x2-2x+2).

解析原不等式?xex-1-2 lnx≥x2-2(x-1)?,此時就可以考慮放縮法,lnx≤x-1 得ex-1≥x,故

評析如果這道題使用傳統(tǒng)的方法先把右邊的式子移到左邊去,使得f(x)=xex-2elnx-e(x2-2x+2),再對其求導,通過零點、單調性判斷正負,那么肯定是困難重重.使用放縮的方法,不僅可以避免求“隱零點”,還可以讓過程更加簡便.我們一般利用1-≤lnx≤x-1,ex≥x+1,ex≥ex這些常見不等式進行放縮[2].

5 鞏固練習

2.設函數(shù)f(x)=ex - ax2- x -1,若當x≥0 時f(x)≥0,求a的取值范圍.

3.設f(x)=ax+ lnx+ 1,若對任意的x ＞0,f(x)≤xe2x恒成立,求a的范圍.

導數(shù)在高考中有著舉足輕重的地位,特別是涉及到“隱零點”的導函數(shù)問題又往往會以壓軸題的形式出現(xiàn),一般都比較復雜,要結合多種數(shù)學知識才能解答出來.上述求解策略是針對高考中導數(shù)“隱零點”問題總結得出的,若能靈活運用,必能突破導數(shù)“隱零點”這個難關.