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基于卡爾曼濾波的多普勒速度平滑技術(shù)研究

2019-01-12 02:43張明宇王艷
聲學(xué)與電子工程 2018年4期
關(guān)鍵詞:初值卡爾曼濾波時刻

張明宇 王艷

(上海船舶電子設(shè)備研究所,上海,201108)

在聲學(xué)多普勒測速技術(shù)領(lǐng)域,隨著水下航行器應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大,性能要求的不斷提高,水下導(dǎo)航系統(tǒng)出現(xiàn)了新的發(fā)展趨勢,聲學(xué)多普勒測速儀已經(jīng)成為其中重要組成部分,對測速精度提出了更高的要求。在實(shí)際的應(yīng)用中,測速精度主要受到兩方面的影響:測速系統(tǒng)所需要的檢測時延信號在一定程度上受到了水下未知環(huán)境噪聲的干擾,導(dǎo)致得到的信號往往存在一定的實(shí)際誤差;傳播介質(zhì)的不均勻性也可能會導(dǎo)致信號出現(xiàn)一定程度上的散射與起伏,致使系統(tǒng)無法對運(yùn)動物體進(jìn)行較為精確地測速。

本文通過結(jié)合水下航行器載體平臺的特點(diǎn),基于卡爾曼濾波的系統(tǒng)模型,建立卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測方程,并建立變加速運(yùn)動模型,使用四種濾波模型對變加速運(yùn)動進(jìn)行較為精確的仿真,得到該條件下的最優(yōu)卡爾曼濾波模型。通過該模型選取最優(yōu)濾波初值和濾波參數(shù)。用實(shí)驗(yàn)中獲得的外場數(shù)據(jù)對卡爾曼濾波的多普勒測速瞬時速度平滑的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 卡爾曼濾波的系統(tǒng)模型

卡爾曼濾波技術(shù)是在時域上以線性最小方差的準(zhǔn)則下的最優(yōu)估計(jì)。其采用遞推算法,核心方程是狀態(tài)方程和量測方程[1]。

對于離散時間系統(tǒng):

式(1)為狀態(tài)方程,式(2)為量測方程。其中,Xk表示第tk時刻的被估計(jì)量,Φk,k-1表示第tk-1時刻至第tk時刻之間的一步轉(zhuǎn)移矩陣,Wk-1表示系統(tǒng)噪聲序列,Γk-1表示系統(tǒng)噪聲驅(qū)動陣,Zk表示tk的量測量,Vk表示量測噪聲序列,Hk表示量測陣。

同時,Wk和Vk滿足以下關(guān)系:

式中,Qk表示系統(tǒng)噪聲方差陣,Rk表示量測噪聲方差陣,k、j表示不同的時刻。通過簡單的推導(dǎo),可以得出正確的卡爾曼濾波基本方程[2]:

2 四種濾波模型的性能分析

由于在實(shí)際的運(yùn)動情況中,很難出現(xiàn)物體做加速度恒定的勻速運(yùn)動或勻加速運(yùn)動的理想情況,所以本文選擇了加速度變化緩慢的變加速運(yùn)動模型作為分析討論的對象,并通過CV模型、CA模型、Singer模型以及“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行性能分析。

2.1 CV模型

CV模型在離散時間條件下,卡爾曼濾波系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

式中,xk、vk分別表示物體當(dāng)前時刻的運(yùn)的位移與瞬時速度,bk表示加速度的隨機(jī)擾動噪聲,且服從于的高斯分布,T表示系統(tǒng)觀測時間之間的間隔時長。

2.2 CA模型

CA模型在離散時間的條件下,卡爾曼濾波系統(tǒng)的狀態(tài)方程[3-5]:

式中,xk、vk、ak分別表示物體當(dāng)前時刻的位移、瞬時速度與瞬時加速度,jk表示加加速度(急動度)的隨機(jī)擾動噪聲,服從的高斯分布,T表示系統(tǒng)觀測時間間隔時長。

2.3 Singer模型

Singer模型在離散時間的條件下,卡爾曼濾波系統(tǒng)的狀態(tài)方程[6]:

式中,ωk表示服從的高斯白噪聲序列,a為機(jī)動頻率。

2.4 “當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型

“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型在離散時間的條件下,卡爾曼濾波系統(tǒng)的狀態(tài)方程[7]:

式中,為機(jī)動頻率平均值,

2.5 四種模型濾波的性能仿真分析

把四種濾波模型應(yīng)用到變加速運(yùn)動模型中,將濾波結(jié)果與真實(shí)速度之間的誤差大小作為濾波性能優(yōu)劣的參考標(biāo)準(zhǔn),添加服從N(0,10–1)的高斯白噪聲作為量測噪聲,通過時延信息解算物體的速度,作為直接速度信息,進(jìn)行仿真。

目標(biāo)零時刻位置為(0 m,0 m),0~200 s內(nèi),保持勻速直線運(yùn)動的運(yùn)動狀態(tài),在X、Y軸分速度都為10 m/s;在201~400 s內(nèi),保持勻速曲線運(yùn)動的運(yùn)動狀態(tài),運(yùn)動半徑設(shè)定為1 000 m,線速度設(shè)定14 m/s,采樣間隔1 s。

在圖1中,圖(a)顯示了真實(shí)軌跡與測速儀測量速度添加噪聲再積分后的軌跡,圖(b)為圖(a)的部分軌跡放大圖,可以較為清晰地看到濾波前的位移和真實(shí)位移有一定的差距。觀察后可以發(fā)現(xiàn),測量軌跡與真實(shí)軌跡之間存在一定的偏差,這是由于添加了量測噪聲所導(dǎo)致的。圖(c)顯示了經(jīng)過卡爾曼濾波處理后各模型的軌跡結(jié)果,圖(d)為圖(c)的部分放大圖??梢钥闯?,經(jīng)過卡爾曼濾波后,軌跡上的每個位置都更加接近于真實(shí)位置,能夠有效地提高定位精度。

圖1 濾波前后軌跡對比圖

圖2為各模型濾波后的各時刻的速度與真實(shí)速度之間的差值。從圖中可以明顯地看出,經(jīng)過不同模型進(jìn)行濾波,都會對速度產(chǎn)生一定程度的平滑,即對速度的估計(jì)精度在一定程度上提高了。CA模型的濾波效果是最好的。

圖2 卡爾曼濾波速度與真實(shí)速度之比

綜上,在合理選擇濾波參數(shù)的背景條件下,CA模型可以滿足測速精度的需求,完成速度平滑的任務(wù)。由于其對運(yùn)動模型的濾波效果最好,在水下的相關(guān)系統(tǒng)具有更廣泛的適用性。所以,選擇CA模型作為系統(tǒng)卡爾曼濾波模型。

3 濾波初值和濾波參數(shù)的選取

3.1 濾波初值的選取

卡爾曼濾波是一種遞推算法,初值X0和P0的選取相當(dāng)重要,要嚴(yán)格保證濾波估計(jì)是無偏的,方差最小,才能實(shí)現(xiàn)較好的濾波效果。為了避免將第一時刻值作為濾波初值所帶來的誤差,選取采樣值的平均值作為初值的方法,更多地利用已有的平均時延數(shù)據(jù)來計(jì)算速度值,并將時延值賦給t0,坐標(biāo)均值賦給x0,并可以用這些數(shù)據(jù)來估計(jì)初始情況下的協(xié)方差矩陣P0,使其在起始階段就有較好的濾波效果,方便操作。

以初始速度0 m/s,加速度0.02 m/s2,添加服從N(0,10–1)的高斯白噪聲作為量測噪聲,沿一個方向作簡單的勻加速直線運(yùn)動為例進(jìn)行仿真。從圖3、圖4可以明顯地看出,速度、位移的濾波均出現(xiàn)收斂的情況,且后段差別不大。但在初始階段,平均值的效果非常明顯地優(yōu)于對方。

圖3 不同初值濾波速度結(jié)果

圖4 改變初值后的位移結(jié)果

3.2 濾波參數(shù)的選取

系統(tǒng)的噪聲方差陣Qk和量測噪聲方差陣Rk兩個參數(shù)選取的優(yōu)劣將會直接地影響著卡爾曼濾波的濾波精度。通常情況下,需要在濾波前通過模擬計(jì)算來取Qk和Rk。在機(jī)動性不高時,Qk和Rk可以寫作常數(shù)q和r。以勻加速運(yùn)動為例,選取合適的數(shù)q和r。水下運(yùn)動物體的初始位置為(0,0),X方向初速度0 m/s,加速度0.02 m/s2;Y方向初速度0 m/s,加速度0.02 m/s2,運(yùn)動時間為500 s,采樣間隔1 s。

3.2.1q值的選取

固定r值,q的取值遞減,從10–6到10–9進(jìn)行嘗試。從圖5可以明顯地發(fā)現(xiàn),q值的不同取值對效果造成了很大影響,q值選取10–7比較合適。如果q值過大,則效果不明顯,濾波將失去作用;q過小,雖然誤差很小,但當(dāng)前測量值已經(jīng)失去了原有的修正作用,隨著運(yùn)動的進(jìn)行,可能會出現(xiàn)濾波發(fā)散現(xiàn)象。q的取值,應(yīng)與統(tǒng)計(jì)特性相匹配。

圖5 q對濾波性能的影響

3.2.2r值的選取

固定q值,r的取值遞減,從101~10–2進(jìn)行嘗試。從圖6可以明顯地發(fā)現(xiàn),r的影響效果同q正好相反。

圖6 r對濾波性能的影響

當(dāng)r取 10–1左右時,濾波的性能達(dá)到最好;r較大,當(dāng)前測量值對濾波值的修正作用比較小,隨時間的累積,可能會出現(xiàn)濾波發(fā)散現(xiàn)象;r較小,比較容易引起濾波精度的降低。r選取 10–1比較合適。r的取值,應(yīng)接近于量測噪聲的情況。

3.2.3q/r對濾波性能的影響

q/r稱為信噪比,選取r=100、q=10–7和r=10–1,q=10–8這兩組參數(shù)進(jìn)行比較。從圖7可以明顯地看出,q/r相同,通過兩組參數(shù)進(jìn)行濾波而得到的濾波效果是較為相同的,不同之處在于初始階段,而r的精確程度,將直接地影響到濾波初始階段的濾波精度以及誤差的收斂速度,r越準(zhǔn)確越好。

圖7 q/r對性能的影響

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

圖8為運(yùn)動物體在外場運(yùn)動5 000 s、采樣間隔為1 s時,多普勒測速儀測得的速度隨時間變化的觀測數(shù)據(jù)。通過第2節(jié)和第3節(jié)分析,采取CA模型作為濾波模型,為簡便起見,選取濾波的初值速度為0 m/s,濾波參數(shù)r=10–1、q=10–7進(jìn)行卡爾曼濾波。從圖9和圖10可以看出,測得的速度得到了相當(dāng)大程度的平滑。

假設(shè)某一時刻的真實(shí)速度是當(dāng)前時刻測量值與前后20個時刻的測量速度的平均值,將此真實(shí)值與濾波前及CA濾波后的值進(jìn)行比較即可得到誤差的大小。代入外場試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證,通過CA模型進(jìn)行濾波,從圖11與圖12可以看出,速度誤差明顯減小,證明卡爾曼濾波方法對多普勒速度平滑工作是有效的。

圖8 測速儀測得的速度

圖9 速度平滑效果

圖10 部分時刻速度平滑效果比較

圖11 速度平滑效果比較

圖12 測量值與CA濾波和真實(shí)值之間的誤差

5 結(jié)論

工程中使用多普勒測速儀進(jìn)行測速時,測速結(jié)果出現(xiàn)誤差是不可避免的,選擇合適的方法,對多普勒速度進(jìn)行平滑就顯得尤為重要。通過卡爾曼濾波對速度進(jìn)行平滑而得到較為精確的速度值,對運(yùn)動物體的定位及航跡推算有著一定的幫助及實(shí)用價值。在本文研究中,對濾波參數(shù)的選取建立在對已有文獻(xiàn)的研究上,缺少系統(tǒng)的理論支撐,需要進(jìn)行下一步的研究。以前的卡爾曼濾波更多地是針對位移進(jìn)行研究,本文則是建立在速度平滑的基礎(chǔ)上,對航跡等數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的推算。本文通過使用卡爾曼濾波方法,并選取合適的參數(shù),對速度進(jìn)行平滑,可以對定位起到幫助,對航跡推算也有一定作用。

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