林志偉 李儒彪 李玨 永濤

摘? 要：在高溫環(huán)境下工作的人們?yōu)楸苊庾苽?，出于安全的考慮需要穿著專用服裝。為設(shè)計(jì)該專用服裝，需要將體內(nèi)溫度控制在37 ℃的假人放置在實(shí)驗(yàn)室的高溫環(huán)境中，測量假人皮膚外側(cè)的溫度，并利用數(shù)據(jù)分析為服裝材質(zhì)的選擇以及服裝厚度的設(shè)計(jì)提供參考，達(dá)到降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期的目的。該文基于非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)、有限差分法的知識，運(yùn)用最小二乘法、目標(biāo)規(guī)劃模型，建立溫度隨時(shí)間變化的模型，利用熱傳導(dǎo)公式等相關(guān)傳熱學(xué)知識，建立一維偏微分方程，求得假人皮膚外側(cè)的溫度分布情況。

關(guān)鍵詞：非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo);有限差分法;最小二乘法;目標(biāo)規(guī)劃模型

中圖分類號：TS941? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1 問題分析

專用服裝通常由3層織物材料構(gòu)成，記為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ層，其中Ⅰ層與外界環(huán)境接觸，Ⅲ層與皮膚之間還存在空隙（為Ⅳ層）。

在環(huán)境溫度為75 ℃，Ⅱ?qū)雍穸葹? mm、Ⅳ層厚度為5 mm、工作時(shí)間為90 min的情況下開展實(shí)驗(yàn)，測量得到假人皮膚外側(cè)的溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)情況，以及各專用服飾材料層的厚度、比熱、密度、熱傳導(dǎo)率參數(shù)情況。

通過查閱相關(guān)資料，由此得到了數(shù)據(jù)分析思路。首先根據(jù)傳熱學(xué)知識推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程式，建立各層模型。其次對數(shù)據(jù)進(jìn)行離散化，運(yùn)用有限差分法剖分網(wǎng)格對模型進(jìn)行求解。最后分析各層冷表面溫度隨時(shí)間變化的情況，得出相應(yīng)結(jié)論。

2 模型的建立與求解

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理及分析

假人皮膚外側(cè)的測量溫度在第0 s時(shí)為37 ℃，后隨時(shí)間不斷上升，并逐漸趨于平穩(wěn)，呈非周期性變化，在第1 645 s時(shí)達(dá)到固定值48.08 ℃且不再變化。

由此可知，此專用服飾符合非穩(wěn)態(tài)傳熱過程，物體溫度隨時(shí)間不斷升高，且在一段時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡。

2.1.1 名詞解釋

2.1.1.1 溫度梯度（φ）

溫度梯度用以描述溫度變化會向何方向，以及是何種速率的物理量。

2.1.1.2 導(dǎo)熱系數(shù)（W/℃·m）

導(dǎo)熱系數(shù)是指在穩(wěn)定傳熱條件下，1 m厚的材料兩側(cè)表面的溫差為1℃，在1 s內(nèi)通過1 m2面積傳遞的熱量，單位為W/℃·m。

2.1.2 相關(guān)分析

2.1.2.1 數(shù)據(jù)研究范圍

假人皮膚外側(cè)溫度隨時(shí)間先升高后逐漸趨向于一定值，該題重點(diǎn)在于研究在到達(dá)定值前的溫度隨時(shí)間變化情況。

2.1.2.2 自變量（時(shí)間、位置）

對防護(hù)服每一層內(nèi)某一點(diǎn)單獨(dú)進(jìn)行分析，則溫度只與該點(diǎn)在熱量所到達(dá)的時(shí)間及該點(diǎn)所處位置有關(guān)。因此時(shí)間、位置為自變量，溫度為因變量。

2.1.2.3 空氣層采用方案

由于該題中空氣層厚度小于6.4 mm，因此根據(jù)相關(guān)參考文獻(xiàn)，當(dāng)空氣層厚度小于6.8 mm時(shí)，氣體對流可忽略不計(jì)，因此在該題中可將其當(dāng)作固態(tài)物體同等計(jì)算。

2.2 模型的建立

2.2.1 熱量Q表達(dá)式

根據(jù)傳熱學(xué)知識，可知熱量為一個(gè)過程量，其含義是在熱傳遞過程中內(nèi)能的改變量，因此也可用來量度熱傳遞中內(nèi)能的變化。集中對某一點(diǎn)進(jìn)行分析，a點(diǎn)到b點(diǎn)所消耗的熱量可表示為Q=cm△t=ρc△V△t。當(dāng)溫度為自變量時(shí)，時(shí)間、位置為因變量，因此表達(dá)式可寫為

Q=t（x，τ）cρ△V=t（x，τ）cρA△x （1）

式中，Q為熱量，c為比熱，m為質(zhì)量，△t為溫度差，ρ為密度，△V為從該點(diǎn)到空氣與服飾的入口處的整體體積，A為所假設(shè)成的圓柱體的外表面積，△x為從該點(diǎn)到空氣與服飾的入口處的距離長度，t（x，τ）為空氣與服飾的入口處到該點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間函數(shù)。

2.2.2 熱傳導(dǎo)方程式

集中對某一點(diǎn)進(jìn)行分析，b點(diǎn)熱流速率可記為

（2）

當(dāng)溫度為自變量時(shí)，時(shí)間、位置為因變量，因此在τ時(shí)刻時(shí)公式（2）可寫為

（3）

式中，Q為熱量，τ為空氣與服飾的入口處到該點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間，λ為導(dǎo)熱系數(shù)，A為所假設(shè)成的圓柱體的外表面積，t為溫度，x為從該點(diǎn)到空氣與服飾的入口處的距離長度。

根據(jù)公式（1）熱量Q表達(dá)式對熱量流速進(jìn)行求解，得到熱量隨時(shí)間變化情況如公式（4）所示：

（4）

通過聯(lián)立公式（4）、（3）并進(jìn)行移項(xiàng)和消除同類項(xiàng)，最終得到

令分別表示第i層的參量，則此式

可記為

（5）

2.2.3? 各層材料模型建立

根據(jù)公式（5）可依次得出各層材料的溫度模型。

a1為第Ⅰ層參量，λ1為第Ⅰ層導(dǎo)熱系數(shù)，c1為第Ⅰ層比熱容，ρ1為第Ⅰ層密度，以此類推a2， λ2， c2， ρ2， a3， λ3， c3， ρ3， a4， λ4， c4， ρ4。

2.3 模型的求解

2.3.1 有限差分法的引入與構(gòu)建

為對各層偏微分方程進(jìn)行求解，可用有限差分取代微分，用有限差商取代導(dǎo)數(shù)，偏微分方程轉(zhuǎn)化為可計(jì)算的線性方程組，之后使用迭代法進(jìn)行數(shù)值求解。

首先，剖分網(wǎng)格，將定解區(qū)域使用網(wǎng)格進(jìn)行覆蓋。建立網(wǎng)格橫向x軸步長為x1=1/3，縱向時(shí)間τ軸步長為τ1=1，令Mx=1/（1/3），My=1，則網(wǎng)絡(luò)比為k=aτ1/x12 是一個(gè)（MX-2）×（Nτ-1）的結(jié)點(diǎn)矩陣U，橫向x軸加粗線代表初始條件，時(shí)間τ軸加粗線代表邊界條件。

其次，構(gòu)建差分格式。令tn

m為時(shí)間τ為n，x為m的表示溫度的網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)的值，將第n+1時(shí)間層的溫度網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)值用第n時(shí)間層的溫度網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)值表示出來，第0層溫度網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)為已知的初始條件，向上一一遞推。進(jìn)行迭代得到最終離散化方程為

2.3.2 求解結(jié)果

以溫度變化熱傳導(dǎo)模型為基礎(chǔ)，利用有限差分的求解方法，運(yùn)用MATLAB軟件可得到各材料層冷表面最終所達(dá)溫度分別為：第Ⅰ層71.33398 ℃，第Ⅱ?qū)?6.39263775 ℃，第Ⅲ層48.59547865 ℃，第Ⅳ層48.08 ℃。各材料冷表面溫度自各初始溫度起，隨時(shí)間不斷上升并逐漸趨于平穩(wěn)，呈非周期性變化，并在一定時(shí)間后達(dá)到固定值不再變化。

同時(shí)，也可以得出各材料層溫度最終所達(dá)穩(wěn)定值有所不同，溫度上升速率有所不同。第Ⅰ層冷表面溫度上升速率最快，所到達(dá)的穩(wěn)定溫度也越高。第Ⅲ層、第Ⅳ層冷表面溫度生生速率較低，所到達(dá)的穩(wěn)定溫度也越低。在溫度變化過程中，且厚度一定的條件下，溫度隨時(shí)間增長而增長。而在溫度變化過程中，時(shí)間一定的條件下，距離皮膚越近溫度越低，距離皮膚越遠(yuǎn)溫度越高。

皮膚外表面溫度在初始時(shí)間為0時(shí)為37 ℃，后隨時(shí)間不斷上升，并逐漸趨于平穩(wěn)，呈非周期性變化，在第1 000 s后達(dá)到固定值47.96 ℃且不再變化。

2.4 模型的檢驗(yàn)與誤差分析

2.4.1 有限差分法的穩(wěn)定性判定

根據(jù)von-Neumann穩(wěn)定性判別方案，如果網(wǎng)隔比k=aτ1/x12≤1/2，則此有限差分穩(wěn)定。利用MATLAB軟件，對此進(jìn)行檢驗(yàn)，得到k≤1/2成立。

2.4.2 第IV層空氣層的計(jì)算表達(dá)式

實(shí)際上，熱對流會發(fā)生在流體（氣體和液體）之中，且氣體對流現(xiàn)象比液體明顯。由于流體冷熱各部分密度不同，其熱對流現(xiàn)象不能忽略，如果使用固體熱傳導(dǎo)方案會出現(xiàn)一定的誤差。

2.4.3 絕對誤差計(jì)算

對實(shí)測值與理論值進(jìn)行誤差分析，運(yùn)用MATLAB軟件，計(jì)算相對誤差為（測量值-實(shí)測值）/實(shí)測值=0.03%，可以忽略不計(jì)。

3 結(jié)語

通過假人實(shí)驗(yàn)，深刻地體會到了抗高溫專用服的設(shè)計(jì)不能僅停留在理論研究上，對于處在高溫環(huán)境下工作的人來說，抗高溫專用服是保障工作人員人身安全的其中一道防線，因此只有不斷改進(jìn)與實(shí)驗(yàn)，才能得到足夠精確、足夠合理的設(shè)計(jì)方案。

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