于文靜，余 潔，徐凌宇

(上海大學(xué) 計算機(jī)工程與科學(xué)學(xué)院，上海 200444)

0 引 言

股票時間序列是非線性非平穩(wěn)的時間序列，由于其隨機(jī)因素多，波動變化劇烈等特點(diǎn)備受人們的關(guān)注[1]。研究股票時間序列的復(fù)雜性可以更好地幫助人們了解金融市場的運(yùn)行機(jī)制，并防范風(fēng)險。樣本熵(sample entropy，SampEn)[2]是一種很流行的度量時間序列的復(fù)雜性方法，由Richman和Moorman于2000年提出，是對近似熵(approximate entropy，ApEn)[3]的一種改進(jìn)。在過去的幾十年里，樣本熵被成功應(yīng)用在降雨時間序列、腦電信號、振動信號[4-6]等方面。

然而，在區(qū)分健康信號和患病信號時，以及衡量替代數(shù)據(jù)和真實數(shù)據(jù)之間的復(fù)雜度大小時，樣本熵得到的結(jié)果和人們認(rèn)為的復(fù)雜度是截然相反的。Costa[7]認(rèn)為產(chǎn)生這個問題的原因可能是沒有考慮生理信號的多重尺度，因此提出了多尺度熵。比較兩條時間序列的復(fù)雜度時，需要比較兩個序列在各個尺度上的樣本熵大小，最后綜合給出兩條序列的復(fù)雜度大小。隨后，提出了多種改進(jìn)的多尺度樣本熵[8-11]并廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域。但是，多尺度的過程實際上破壞了原有序列的結(jié)構(gòu)，得到的多個結(jié)果在比較復(fù)雜度時難免會產(chǎn)生誤解。

為了解決樣本熵的熵值大小和序列的真實復(fù)雜度無關(guān)的問題，考慮從樣本熵度量時間序列復(fù)雜性的原理入手。通過分析發(fā)現(xiàn)循環(huán)序列的樣本熵都是0，也就是說對于規(guī)則性序列，樣本熵的值是最小的。但是對于不同循環(huán)序列的循環(huán)結(jié)構(gòu)的構(gòu)成也就是循環(huán)體結(jié)構(gòu)中向量組成的復(fù)雜度都是不一樣的，樣本熵卻給這些規(guī)則的但循環(huán)體結(jié)構(gòu)完全不同的序列以最小的且相同的復(fù)雜度。另外，樣本熵在計算時間序列中向量的相似性時，沒有考慮這些向量在時間序列中的時間屬性，所以只要兩個向量的模式是相似的，則兩個向量就是相似的，沒有考慮這兩個向量在時間序列中的分布情況。因此，從這兩個角度出發(fā)，文中在樣本熵的基礎(chǔ)上提出了二維熵。

1 二維熵方法

二維熵參數(shù)用N，m，r表示。其中，N為序列長度，m為維數(shù)，即重構(gòu)向量時向量的長度，r為相似容限。具體算法如下：

設(shè)原始時間序列u(i)為由N個點(diǎn)構(gòu)成的序列，根據(jù)預(yù)先設(shè)定的嵌入維數(shù)m將原始時間序列重構(gòu)成一組m維向量，每個向量代表從第i個點(diǎn)開始連續(xù)的m個u的值：

2,…,N-m+1

(1)

(2)

(3)

(4)

然后計算每個向量和其他向量相似可能性的平均概率的和，并除以序列中m維向量的總數(shù)，得到m維向量的自相似的概率，記為Bm(r)。

(5)

將維數(shù)m增加1，重復(fù)上述步驟，得到Bm+1(r)。

二維熵在計算時間序列的復(fù)雜度時不僅考慮新信息的產(chǎn)生率還考慮向量自相似程度，故二維熵的計算模型如下：

(6)

(7)

根據(jù)Pincus[12]建議，二維熵與互二維熵在計算時m設(shè)為2，r為0.2×SD，SD為時間序列的標(biāo)準(zhǔn)差。

2 二維熵的有效性驗證

這一節(jié)用Logistic映射對模型進(jìn)行驗證。Logistic映射是一個著名的例子[13-14]，在數(shù)學(xué)上表示為：

xi+1=axi(1-xi)

(8)

其中，xi是0與1之間的一個實數(shù)，控制參數(shù)a是一個正的參數(shù)。

在模擬實驗過程中，選取參數(shù)a∈[3.5, 4.0]，序列的長度設(shè)置為1 000，以生成不同的序列。當(dāng)a=3.5時，產(chǎn)生周期性序列，當(dāng)a∈[3.6, 4.0]時，序列的復(fù)雜度隨著a值的增大而增大。

圖1是a∈[3.5, 4.0]時產(chǎn)生的不同序列在r從0.1以0.01的步長增大到0.25時的二維熵曲線圖。從圖中可以看出，二維熵熵值的大小和參數(shù)a所代表的序列的復(fù)雜度是一致的，同時在r變化時，二維熵能夠保持一致性。

圖1 不同復(fù)雜度的Logistic序列的熵值曲線

(a)二維熵

(b)樣本熵

圖2是當(dāng)a=3.5時，產(chǎn)生長度從100以步長100增長到2 000時的Logistic序列的樣本熵和二維熵曲線。當(dāng)a=3.5時，Logistic產(chǎn)生的序列具有周期性。從圖2(a)可以看出，隨著序列長度的增加，二維熵的值先增加后保持平穩(wěn)。而圖2(b)樣本熵的值在不同長度下，熵值都為0。

這是因為樣本熵在度量時間序列的復(fù)雜度時，對于周期性或規(guī)則性序列，樣本熵的值就會為0，無法根據(jù)不同周期序列的結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性判斷序列的復(fù)雜性。而二維熵則會根據(jù)不同周期序列的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性給出不同的二維熵值大小。當(dāng)a=3.5時產(chǎn)生的不同長度的Logistic序列之間的差異只是長度，循環(huán)結(jié)構(gòu)體是一樣的。只是當(dāng)時間長度小時，得到的結(jié)果會存在一點(diǎn)誤差，當(dāng)序列的長度足夠長時，誤差造成的影響就可以忽略不計。

這兩個實驗證實了二維熵在衡量時間序列復(fù)雜度上的有效性，并且它優(yōu)于樣本熵，且得到的結(jié)果和真實復(fù)雜性是一致的。

3 實證研究

接下來用二維熵以及互二維熵研究股票市場在金融危機(jī)前后時間內(nèi)的復(fù)雜性和不同市場之間的異步性。利用美國道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)(DJI)、香港恒生指數(shù)(HSI)、上證綜合指數(shù)(SCI)和深圳成分指數(shù)(SZCI)[15]從2006年1月1日到2010年12月31日的收盤價時間序列進(jìn)行實證研究。這些數(shù)據(jù)來自雅虎財經(jīng)：https://hk.finance.yahoo.com/。這四條股指在這段時間的收盤價序列如圖3所示。可以看出，金融危機(jī)發(fā)生后一段時間(400～800天)，這四條股指的收盤價的價格都大幅下降。

首先研究這4條股指在不同時間段的復(fù)雜性大小，每兩百天一段，計算這四只股指在不同段的二維熵的大小曲線，如圖4所示。第一段0～200可以看成是金融危機(jī)前期正常股價波動期；第二段201～400為金融危機(jī)前股價上升劇烈期；第三段400～600為金融危機(jī)發(fā)生期；第四段600～800為市場調(diào)節(jié)期；第五段800～1 200為市場正常期。

從圖4可以看出，美國道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)和香港恒生指數(shù)兩個股指以及上證綜合指數(shù)和深圳成分指數(shù)兩個股指之間在不同時間段的復(fù)雜度趨勢是一致的。同時可以看出，當(dāng)收盤價價格在一開始波動上升期，也就是在第二段時間內(nèi)時，這四只股指的二維熵的大小都是相對其他時間來說比較小的。金融危機(jī)后第三段時間，這段時期是這四只股指價格波動最大的時期，這四只股指的二維熵的值也是相對比較大的。第四段時期，美股道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)和香港恒生指數(shù)的二維熵值降到最小值，而中國的上證綜合指數(shù)和深圳成分指數(shù)的二維熵增加到一個相對高的值，因為中國政府對市場具有一定的調(diào)控作用，導(dǎo)致復(fù)雜度相對來說依然很大。隨后市場開始恢復(fù)，直到第六段時間，各個股指的二維熵復(fù)雜性相對大小恢復(fù)到第一段時間段的大小，也就意味著市場趨于正常。

圖3 DJI、HIS、SCI和SZCI從2006到2010年的日收盤序列

圖4 DJI、HIS、SCI、SZCI在不同時間段的二維熵曲線

最后用互二維熵來衡量這四只股指的異步性，如圖5所示?？梢钥闯?，每只股指和自身的互二維熵值是最小的，也就是說股指本身的價格趨勢和自己的異步性是最小的。除此之外DJI和HSI的異步性，HSI和SZCI的異步性以及SCI和SZCI之間的異步性也是相對來說比較小的。總的來說，中國市場的兩只股指的異步性相對于其他股指的異步性要小，美股的異步性和港股的異步性要比中國市場的股指的異步性小，這是由于不同的市場環(huán)境造就的結(jié)果。

圖5 DJI、HIS、SCI、SZCI的互二維熵曲線

4 結(jié)束語

在樣本熵的基礎(chǔ)上提出了一種新的度量時間序列復(fù)雜度的方法，二維熵。該方法在度量時間序列復(fù)雜度時考慮了序列結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，所以對于循環(huán)規(guī)則序列二維熵能夠根據(jù)它們循環(huán)體結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性判斷序列的復(fù)雜性，并在二維熵的基礎(chǔ)上提出了互二維熵來度量時間序列的異步性。接著用Logistic映射產(chǎn)生的不同復(fù)雜度的序列來證明二維熵的有效性。最后用這兩種熵測量的方法來度量DJI、HIS、SCI、SZCI四只股指在金融危機(jī)發(fā)生前后股指的復(fù)雜性以及這幾個股指之間的關(guān)系。