楊 帆，周麗紅

(武漢科技大學(xué)城市學(xué)院，武漢 430083)

0 引言

連桿機(jī)構(gòu)是機(jī)構(gòu)學(xué)的主要研究對象，可以實(shí)現(xiàn)多種多樣的運(yùn)動，滿足不同運(yùn)動軌跡和位置的要求[1]。連桿機(jī)構(gòu)的桿與桿之間通常采用低副連接，適合于高速重載[2]。連桿機(jī)構(gòu)中最典型的是四桿機(jī)構(gòu)，四桿機(jī)構(gòu)因結(jié)構(gòu)簡單、容易加工和運(yùn)動可靠等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于化工、農(nóng)業(yè)、海洋及航空領(lǐng)域。但是，四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動規(guī)律也變得越來越復(fù)雜，運(yùn)動軌跡產(chǎn)生的誤差也隨之增大。因此，如何降低四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差，是當(dāng)前研究四桿機(jī)構(gòu)急需解決的問題之一。

當(dāng)前，研究人員采用多種方法對四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡精度展開了研究。例如：文獻(xiàn)[3]采用誤差函數(shù)法研究了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡的位置精度。針對四桿機(jī)構(gòu)提出了修正距離誤差函數(shù)，通過Matlab軟件對軌跡誤差進(jìn)行了仿真，提高了運(yùn)動軌跡精度，但是研究的等價(jià)因數(shù)不夠全面，不具有代表性。文獻(xiàn)[4]采用遺傳算法研究了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡所產(chǎn)生的誤差，并且對運(yùn)動軌跡誤差進(jìn)行了仿真，提高了運(yùn)動軌跡精度，但是遺傳算法搜索過程中，容易陷入局部最優(yōu)解。文獻(xiàn)[5]采用VC++研究了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡的定位精度，通過復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和編程語言，實(shí)現(xiàn)了人機(jī)交互功能，操作簡單可靠，提高了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡精度，但是數(shù)學(xué)建模比較困難，還要學(xué)習(xí)復(fù)雜的編程語言程序。針對以上問題，本文采用改進(jìn)粒子群算法研究四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差，不僅搜索最優(yōu)解的速度快，而且運(yùn)動精度高。創(chuàng)建平面四桿機(jī)構(gòu)簡圖模型，根據(jù)數(shù)學(xué)幾何關(guān)系式，推導(dǎo)運(yùn)動軌跡點(diǎn)的平面坐標(biāo)關(guān)系式。確定優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量參數(shù)，構(gòu)造優(yōu)化的誤差函數(shù)，并且添加幾何約束條件。采用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)變量，優(yōu)化后的四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差采用Matlab軟件進(jìn)行仿真，并且，與優(yōu)化前的四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差形成對比，為深入研究四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差提供了理論依據(jù)。

1 四桿機(jī)構(gòu)平面方程式

四桿機(jī)構(gòu)在平面坐標(biāo)系中簡圖及連桿參數(shù)如圖1所示。

圖1 四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖

在圖1中，(x0，y0)表示四桿機(jī)構(gòu)機(jī)架端點(diǎn)O2在平面坐標(biāo)系中的位置，φ1表示機(jī)架旋轉(zhuǎn)的角度，φ2表示輸入桿運(yùn)動的角度，G表示運(yùn)動軌跡點(diǎn)，s1表示機(jī)架的長度，s2表示輸入桿的長度，s3表示連接桿的長度，s4表示輸出桿的長度，sGX和sGY表示運(yùn)動軌跡點(diǎn)G的橫向與縱向的長度，φ3表示連接桿s3運(yùn)動的角度。根據(jù)圖1可以寫出機(jī)構(gòu)各桿所構(gòu)成的矢量封閉方程式[6]如下所示：

s2+s3-s4-s1=0

(1)

上式采用復(fù)數(shù)表示如下所示[6]：

s2eiφ2+s3eiφ3-s4eiφ4-s1eiφ1=0

(2)

假設(shè)φ1=0，方程式(2)的實(shí)部和虛部變換后如下所示：

(3)

公式(3)變換后可以得到：

(4)

求解方程式(4)得φ3、φ4如下所示：

(5)

式中，A=cosφ2-K1-K2cosφ2+K3，B=E=-2sinφ2，C=K1- (K2+1)cosφ2+K3，D=cosφ2-K1+K4cosφ2+K5，F(xiàn)=K1+K5+(K4-1)cosφ2。

因此，運(yùn)動軌跡點(diǎn)G在O-XY坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)方程式分別為：

(6)

式中，GXs=s2cosφ2+sGXcosφ3-sGYsinφ3，GYs=s2sinφ2+sGXsinφ3-sGYcosφ3。

2 誤差函數(shù)

2.1 參數(shù)變量

四桿機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中，G點(diǎn)的運(yùn)動軌跡主要受以下參數(shù)的影響，分別為s1、s2、s3、s4、sGX、sGY、x0、y0、φ1和φ2。因此，設(shè)計(jì)變量選擇以上10個參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，如下所示：

(7)

式中，φ2n表示φ2的n等份位置角度。

2.2 誤差函數(shù)及約束條件

(8)

在沒有限定的時(shí)間內(nèi)，四桿機(jī)構(gòu)不同的輸入角度φ2i對應(yīng)于不同的運(yùn)動軌跡點(diǎn)Gi，實(shí)際運(yùn)動軌跡點(diǎn)Gi通過輸入角φ2i構(gòu)成的集合如下所示：

(9)

因此，四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡點(diǎn)G的第一部分誤差函數(shù)[7]如下所示：

(10)

式中，N表示運(yùn)動軌跡點(diǎn)的數(shù)量。

四桿機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中，必然會受到一些附加條件的約束，通過設(shè)置這些約束條件，從而推導(dǎo)出第二部分的誤差函數(shù)。約束條件主要包括以下幾個部分：

(1)根據(jù)格拉曉夫準(zhǔn)則[8]，四桿機(jī)構(gòu)存在曲柄的條件是至少有一個連桿能夠做整周旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，各個連桿的長度滿足以下關(guān)系式：

(11)

(2)按照從小到大或從大到小排列輸入角度φ2i，φ2i角度取值范圍為[0,2π]。

(3)設(shè)計(jì)參數(shù)變量取值范圍必須為正值。

根據(jù)以上兩個部分，最終確定的誤差函數(shù)如下所示：

(12)

式中，當(dāng)四桿機(jī)構(gòu)滿足格拉曉夫準(zhǔn)則時(shí)，h1(X)=0；當(dāng)四桿機(jī)構(gòu)不滿足格拉曉夫準(zhǔn)則時(shí)，h1(X)=1，輸入角φ2滿足排列序列時(shí)，h2(X)=0；輸入角φ2不滿足排列序列時(shí)，h2(X)=1；M1和M2表示懲罰誤差函數(shù)約束因子。

3 改進(jìn)粒子群算法

粒子群算法是一種仿生算法，主要是通過模擬鳥類的捕食過程，在N維空間中移動每個粒子，從而搜索到全局的最優(yōu)值[9]。粒子群優(yōu)化算法就是不斷的更新極值點(diǎn)而實(shí)現(xiàn)最小值或最大值的只能算法。在粒子群算法中，關(guān)鍵是要平衡局部搜索能力和全局搜索能力。

在O-XY平面內(nèi)，引入慣性權(quán)重ω來平衡局部搜索能力和全局搜索能力，粒子群的位置和速度計(jì)算公式如下所示[10]：

(13)

(14)

采用線性方式修改慣性權(quán)重系數(shù)，修改后的慣性權(quán)重如下所示：

(15)

式中,ωmax表示初始權(quán)重，ωmin表示最終權(quán)重，iter表示當(dāng)前迭代數(shù)，itermax表示最大迭代數(shù)。

本文采用的改進(jìn)粒子群算法是通過修改約束因子χ，使粒子速度vi+1=χ(vi)。修改后的約束因子可以增加粒子群算法的綜合性能，約束因子的計(jì)算公式如下所示：

(16)

(17)

采用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡誤差的流程圖如圖2所示。

圖2 四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化流程圖

4 四桿機(jī)構(gòu)誤差仿真

四桿機(jī)構(gòu)誤差函數(shù)采用改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，初始參數(shù)設(shè)置如下：種群數(shù)量為100，種群最大迭代次數(shù)為500，交叉概率為0.85，變異概率為0.75，約束因子為0.72，κ=1.0，θ=4.1，c1=c2=2。四桿機(jī)構(gòu)采用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化后的幾何參數(shù)如表1所示。

G點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動軌跡誤差采用Matlab軟件進(jìn)行仿真，G點(diǎn)橫向和縱向的運(yùn)動軌跡誤差仿真結(jié)果分別如圖4、圖5所示。6個指定點(diǎn)的橫向和縱向優(yōu)化前后平均誤差如表2所示。

表1 四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

續(xù)表

圖3 6個目標(biāo) 運(yùn)動軌跡點(diǎn) 圖4 橫向誤差 仿真曲線 圖5 縱向誤差 仿真曲線

指定點(diǎn)優(yōu)化前優(yōu)化后單位橫向平均誤差0.4980.358mm縱向平均誤差0.5920.325mm

由圖4誤差仿真曲線可知，優(yōu)化前，四桿機(jī)構(gòu)G點(diǎn)橫向運(yùn)動軌跡產(chǎn)生的最大誤差值為1.0×10-3m；優(yōu)化后，四桿機(jī)構(gòu)G點(diǎn)橫向運(yùn)動軌跡產(chǎn)生的最大誤差值為0.7×10-3m；G點(diǎn)產(chǎn)生的最大橫向誤差降低了30.0%。由圖5誤差仿真曲線可知，優(yōu)化前，四桿機(jī)構(gòu)G點(diǎn)縱向運(yùn)動軌跡產(chǎn)生的最大誤差值為0.9×10-3m；優(yōu)化后，四桿機(jī)構(gòu)G點(diǎn)縱向運(yùn)動軌跡產(chǎn)生的最大誤差值為0.5×10-3m；G點(diǎn)產(chǎn)生的最大縱向誤差降低了44.4%。由表2可知，優(yōu)化后橫向平均相對誤差降低了21.1%，優(yōu)化后縱向平均相對誤差降低了45.1%。因此，四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)采用改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，G點(diǎn)運(yùn)動軌跡產(chǎn)生的橫向和縱向誤差較小，從而提高了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡精度。

5 結(jié)束語

本文在二維坐標(biāo)系中建立平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖，構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，引用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化平面四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)，將優(yōu)化結(jié)果輸入到Matlab軟件中進(jìn)行運(yùn)動軌跡點(diǎn)誤差仿真。仿真結(jié)果表明，優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡點(diǎn)的橫向和縱向平均誤差降低，在相同條件下，縱向誤差優(yōu)化效果比橫向誤差更好，采用改進(jìn)粒子群算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)，其運(yùn)動軌跡定位精度更高，運(yùn)動性能更好，提高了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的穩(wěn)定性。