基于多重休假的min(N,V)-策略M/G/1排隊系統(tǒng)的隊長分布

唐應輝，吳文青，劉云頗，等

摘要：目的：為了解決隨機服務系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計和最優(yōu)控制問題，人們往往要研究隨機服務系統(tǒng)的概率特性。隨著科學技術(shù)和計算機技術(shù)的發(fā)展，排隊論的研究成果層出不窮，應用領(lǐng)域不斷擴大，已廣泛應用于通信工程、交通運輸、生產(chǎn)與庫存管理、計算機系統(tǒng)設(shè)計、計算機通信網(wǎng)絡(luò)、軍事作戰(zhàn)、柔性制造系統(tǒng)和系統(tǒng)可靠性等眾多領(lǐng)域。從管理和成本的角度，當生產(chǎn)和制造的環(huán)境發(fā)生較大改變時，系統(tǒng)擁有者想要轉(zhuǎn)換成另一種控制策略，但大多數(shù)情況下，由于成本的原因要拋棄現(xiàn)有的硬件系統(tǒng)設(shè)施是不可能的。因此，一些把服務員休假與控制策略相結(jié)合的排隊模型得到了學者們的極大關(guān)注。本文把服務員多重休假和N-策略結(jié)合起來，考慮了一個在min(N,V )—策略控制下的M/G/1排隊系統(tǒng)模型，利用全概率分解技術(shù)和拉普拉斯變換工具，研究了刻畫該系統(tǒng)的有關(guān)排隊性能指標。方法：首先，通過使用全概率分解方法和應用更新過程理論，并借用拉普拉斯變換工具，研究了在任意初始狀態(tài)條件下系統(tǒng)隊長的瞬態(tài)分布。其次，利用系統(tǒng)隊長瞬態(tài)分布的拉普拉斯變換和穩(wěn)態(tài)分布的關(guān)系，應用羅比達法則求極限來獲得隊長穩(wěn)態(tài)分布的表達式，從而可獲得隊長穩(wěn)態(tài)分布的概率母函數(shù)和平均穩(wěn)態(tài)隊長表達式。最后，利用Matlab軟件編寫數(shù)值計算程序，通過數(shù)值計算實例分析了系統(tǒng)因為基于多重休假和 min(N,V )—策略而引起的附加平均隊長隨著控制閾值N和休假時間V的變化情況，并討論了穩(wěn)態(tài)隊長分布在系統(tǒng)容量設(shè)計中的重要價值。結(jié)果：從刻畫系統(tǒng)有關(guān)排隊性能指標看，本文獲得了如下方面的結(jié)果：① 研究了該系統(tǒng)隊長的瞬態(tài)特性，獲得了系統(tǒng)隊長瞬態(tài)分布的拉普拉斯變換表達式。② 獲得了系統(tǒng)隊長穩(wěn)態(tài)分布的遞推表達式、隊長穩(wěn)態(tài)分布的概率母函數(shù)和平均穩(wěn)態(tài)隊長的表達式。③ 獲得了附加隊長的穩(wěn)態(tài)分布表達式。④ 分別在休假時間V服從負指數(shù)分布或定長分布P{V=T}=1，以及當N=1或N→∞，P{V=0}=1或P{V=∞}=1情況下，獲得了相應的特殊結(jié)果。⑤ 通過數(shù)值計算結(jié)果以及對應的圖形看出，當休假時間V的參數(shù)確定時，隨著控制閥值N取值的不斷增大，即服務員在進入服務員忙期時的初始顧客數(shù)不斷增多，系統(tǒng)的附加平均隊長是先增大而后趨于平緩，這是因為在N取值增大時，受 min(N,V)-策略的影響，控制閥值所起的作用越來越小，當N超過某一值時，系統(tǒng)的附加平均隊長將完全由服務員的休假決定。另外當服務員的休假時間越來越短時，這使得到達系統(tǒng)的顧客有較大的可能性得到服務，此時系統(tǒng)的附加平均隊長呈現(xiàn)出減小的變化趨勢，這種變化與實際情況是相一致的。⑥ 在系統(tǒng)容量設(shè)計的實際應用中，太大的容量會使系統(tǒng)成本過高，太小的容量則會使到達的顧客（信息）丟失。通過數(shù)值計算結(jié)果看到，僅僅依靠平均隊長作為參考標準往往會使系統(tǒng)容量設(shè)計出現(xiàn)較大偏差。結(jié)論：在一般情況下，通過概率母函數(shù)表達式反演求出隊長的穩(wěn)態(tài)分布表達式是相當困難的，有時是不可能的。本文把服務員多重休假和N-策略結(jié)合起來，提出了在min(N,V )—策略控制下的M/G/1排隊系統(tǒng)模型，利用全概率分解技術(shù)和拉普拉斯變換工具，不但研究了該系統(tǒng)隊長的瞬態(tài)特性，而且得到了便于計算穩(wěn)態(tài)隊長分布（系統(tǒng)中有個顧客的穩(wěn)態(tài)概率）的遞推表達式，在此基礎(chǔ)上，本文深入討論了一些特殊情況，獲得了更好的結(jié)果。從系統(tǒng)容量設(shè)計的優(yōu)化討論中看到，穩(wěn)態(tài)隊長分布可以彌補僅僅依靠系統(tǒng)平均隊長進行系統(tǒng)容量設(shè)計所帶來的偏差。同時，用數(shù)值計算實例討論了附加平均隊長隨著控制閥值N和休假時間 V的變化情況，使得本文的研究有更好的應用價值。

來源出版物：系統(tǒng)工程理論與實踐, 2014, 34(6)： 1533-1546

入選年份：2017