邢海秋

（廣東省中山市西區(qū)初級中學）

概念的學習是一個抽象的過程.史寧中教授在《數(shù)學基本思想18講》一書中指出：對于數(shù)學，抽象主要包含數(shù)量與數(shù)量關系，圖形與圖形關系兩個方面的內容.這就是說，數(shù)學抽象不僅要抽象出所要研究的對象，還要抽象出這些研究對象之間的關系.史寧中教授把具體數(shù)學概念的抽象過程分為三個階段：第一階段是簡約階段，就是把握事物關于數(shù)量或圖形的本質，把繁雜問題簡單化，并給予清晰表達；第二階段是符號階段，就是去掉具體內容，利用符號和關系術語，表述已經(jīng)簡約的事物；第三階段是普適階段，就是通過假設和推理，建立法則、模式和模型，在一般意義上描述一類事物的特征或規(guī)律.他總結了數(shù)學概念抽象過程的三個階段，強調了數(shù)學抽象的本質特征，認為數(shù)學研究的本身就是一種對數(shù)學抽象思想方法的應用.

抽象能力是數(shù)學思維的基礎.學生對數(shù)學概念的理解直接影響數(shù)學思維活動的展開.在概念教學中，教師要注意引領學生深入理解并熟練掌握概念，讓學生經(jīng)歷觀察、分析、抽象、概括等思維活動，合理地抽象出數(shù)學概念.筆者以人教版《義務教育教科書·數(shù)學》七年級下冊“8.1二元一次方程組”（第1課時）的部分教學設計為例，談談自己如何在概念教學過程中培養(yǎng)學生的思維能力，提升學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

一、分離要素，經(jīng)歷概念抽象的簡約化階段

問題情境是數(shù)學知識轉化為核心素養(yǎng)的重要途徑.數(shù)學與生活息息相關，在概念教學中，教師要聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設貼近學情的問題情境，在學生原有認知的基礎上設置合理的問題，引導學生用數(shù)學的眼光觀察問題、分離要素，分析要素之間的關系，進行數(shù)學抽象的簡約化加工活動.

環(huán)節(jié)1：二元一次方程組的課堂導入.

籃球聯(lián)賽問題情境：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1分，某隊比賽10場，得到16分，那么這個隊勝負場數(shù)分別是多少？

教師通過提出一系列問題，讓學生經(jīng)歷決定問題的要素——基本數(shù)量關系.問題列舉如下.

問題1：上述問題情境中包含哪些等量關系？

問題2：如何用一元一次方程來解決問題？

教師通過這兩個問題，引導學生從實際問題中抽象出簡約的等量關系：勝的場數(shù)+負的場數(shù)=總場數(shù)，勝場積分+負場積分=總積分.通過問題激發(fā)學生主動思考，既引導學生復習了已經(jīng)學過的一元一次方程的相關知識，同時也把繁雜的實際問題抽象為簡單的數(shù)學問題.

問題3：對于這類含有兩個未知量的問題，我們能不能直接設兩個未知數(shù)x和y，使得列方程變得容易呢？

通過問題3引導學生從簡化列方程的角度出發(fā)，從決定現(xiàn)實問題的兩個數(shù)量關系出發(fā)，產(chǎn)生列二元一次方程的想法，從而引導學生經(jīng)歷分離問題的決定要素、分析要素之間的關系，體會列二元一次方程比列一元一次方程思考過程的簡約性，從而得到?jīng)Q定二元一次方程組的基本要素，即由兩個不同的數(shù)量關系決定兩個未知數(shù)的值，使學生經(jīng)歷概念抽象的簡約化階段.

二、通過符號表示，經(jīng)歷概念抽象的符號階段

數(shù)學符號是描述數(shù)學中各種數(shù)量關系的重要工具.數(shù)學符號是抽象的，往往學生會因為它的抽象不能理解符號表示.在概念教學中，教師在引導學生經(jīng)歷觀察、分析、類比、歸納、概括等數(shù)學活動，從具體情境中抽象出數(shù)量關系或變化規(guī)律后，讓學生體驗使用數(shù)學符號表示概念的過程，感受符號化思想，促使學生理解概念與實際對象之間的聯(lián)系，理解概念與相對應符號之間的聯(lián)系，經(jīng)歷概念抽象過程中的符號表示階段.為達到這一目標，教師要在符合學生認知的前提下，精心設計探究知識發(fā)生、發(fā)展過程的問題串，引導學生用數(shù)學符號表示出數(shù)學關系，學會用數(shù)學的語言表達問題，用數(shù)學的思維分析問題、思考問題和解決問題，經(jīng)歷概念抽象的符號階段，促進學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

環(huán)節(jié)2：二元一次方程組的概念形成.

在概念形成環(huán)節(jié)，筆者設計了一系列的問題串，引導學生思考用數(shù)學符號表示從問題情境中分離出來的“兩個未知數(shù)和兩個等量關系”，從而得到二元一次方程組的相關概念.

問題1：如果設勝x場，負y場，根據(jù)問題中的等量關系，你能用方程表示出這兩個等量關系嗎？

通過問題1引導學生把實際問題轉化為數(shù)學問題，從而用數(shù)學符號語言清晰地表示出數(shù)量關系x+y=10①，2x+y=16②，讓學生感受二元一次方程概念的抽象過程.

問題2：類比一元一次方程的特征，觀察方程①②具有什么特點？

問題3：把這兩個含有相同意義x，y的方程合在一起，組成一個方程組，類比二元一次方程的特點，觀察這個方程組又有什么特點呢？

通過問題2和問題3讓學生體會兩個方程之間的關系，通過觀察得到二元一次方程組的特征，并用文字語言表示出二元一次方程組概念的本質.

通過這樣一系列的問題設置，去掉了實際問題背景，利用符號語言將從問題中抽象出來的“兩個未知數(shù)及兩個等量關系”清晰地表述出來，形成二元一次方程組，并用符號表示出二元一次方程組，用文字語言表述出二元一次方程組的概念，經(jīng)歷概念的抽象過程.因此，在概念課堂中，教師要注意引導學生用符號語言表示抽象出來的等量關系，用文字語言表述出概念的本質，讓學生體驗概念抽象過程的符號階段，從而促進學生抽象思維的形成.

三、感悟數(shù)學思想方法，經(jīng)歷概念抽象的普適階段

數(shù)學核心素養(yǎng)既依托于數(shù)學知識與技能，又高于數(shù)學知識與技能，在數(shù)學思想與方法之上，是數(shù)學思想與方法的上位概念.數(shù)學是研究概念的，但數(shù)學不只是研究概念，更重要的是研究概念之間的關系.數(shù)學概念是數(shù)學思想與方法的載體.在概念教學中，教師不能直接把一些文字、符號、概念、性質等告訴學生，讓學生死記硬背，要讓學生在探究知識的過程中重視對數(shù)學思想方法的滲透.正所謂：授人以魚，不如授人以漁.

環(huán)節(jié)3：二元一次方程組的解.

問題1：能不能找到滿足方程x+y=10，且符合問題的實際意義的x，y的值呢？

問題2：如果不考慮實際意義，二元一次方程x+y=10還有其他的解嗎？

問題3：如何找到同時滿足方程x+y=10①，2x+y=16②，且符合實際問題的x，y的值呢？

通過這三個問題的設置引導學生去研究二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程的解、二元一次方程組的解這四個概念之間的聯(lián)系.這個過程就是培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的過程.在概念教學中，教師重點在培養(yǎng)學生對概念的梳理能力，并且這樣的梳理不僅限于本節(jié)課的內容，更體現(xiàn)了初中階段研究方程的方法與思想，形成方程組概念的體系.在今后的學習中，學生能自然而然地對這部分的概念有一個全面的認識，能夠清晰地理解各個概念之間的聯(lián)系與區(qū)別.這樣不僅反映了本節(jié)課所學內容中幾個數(shù)學概念之間的關系，更蘊涵了豐富的數(shù)學思想方法，也潛移默化地讓學生將這些思想方法運用到解決其他數(shù)學問題中，完成概念抽象過程的普適階段.

教好數(shù)學是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵.什么是核心素養(yǎng)？核心素養(yǎng)中的“關鍵能力”的核心和基礎就是認知能力，尤其是思維能力和思維習慣.在概念教學中，教師的關鍵任務是以具體、典型的問題為載體，構建一系列的數(shù)學思維活動，引導學生進行有邏輯地思考，完成由實際問題背景到數(shù)學問題的正確轉化，用數(shù)學符號表示出相應的等量關系，展示分析各事例的屬性，抽象、概括出共同的本質屬性，歸納、概括出概念的一般本質，形成概念的體系，經(jīng)歷數(shù)學概念抽象的簡約階段、符號階段、普適階段，讓學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，促進數(shù)學抽象素養(yǎng)落地生根.