吳學毅，潘向輝

（西安理工大學 印刷包裝與數(shù)字媒體學院，陜西 西安710048）

計算思維被提出已有10余年的歷史，人們對其內涵、外延、維度、層次結構、表述體系、實踐等進行了一系列的研究和探索。[1]由于其發(fā)端于發(fā)展迅猛的計算機科學，且涉及哲學、心理、社會等學科，又要向人類社會生活的其它領域擴展，至今仍未建立一個完善的體系，存在大量問題需要研究。[2]但不妨礙其作為對計算機學科相關算法、原理、過程的思維方法和規(guī)律進行探索和研究的方法論而存在。在大學的計算機學科教學中，分層次、系統(tǒng)性地研究和探索計算思維教育是一種現(xiàn)實可行的方法，即根據(jù)計算思維方法層次體系的劃分，結合各個專業(yè)培養(yǎng)目標需要，在每門課程中結合知識思維特性，探索、總結計算思維的教學規(guī)律和方法，系統(tǒng)培養(yǎng)人才的計算思維觀念、方法，掌握使用計算思維解決相關領域問題的方法。

計算機圖形學是計算機科學、數(shù)字媒體技術等本科專業(yè)重要的專業(yè)基礎課，課程特點是理論知識抽象、算法思路多樣、知識點眾多、實踐性很強。有很多學者對在計算機圖形學教學中開展計算思維教育進行了探索。周虹等按照Wing的觀點將圖形學的教學內容劃分為問題求解（經典圖形學算法）、設計系統(tǒng)（結合OpenGL圖形庫和多種知識設計復雜的圖形系統(tǒng)）和理解人類行為（某些過程性知識與人類思維過程接近），并組織、設計相關的教學體系。[3]李谷偉提出了運用計算思維激發(fā)學生學習興趣,并理解知識的核心問題和求解方法，通過對問題的引入、尋求解決問題的思路、引出問題的解決方法。[4]但對計算思維在圖形學的使用缺少系統(tǒng)性的方法總結和提煉。方佳誠、王勇剛給出了教育部大學計算機課程教學指導委員會對計算思維表述體系的8種分類，并給出了較為經典的圖形學算法、過程對應的核心表述方法和參考案例，指出在圖形學知識點表述上主要以計算和自動化為核心，且不同課程的知識點表述核心會有所不同。[5][6]但未給出圖形學核心算法、過程思維規(guī)律的方法總結。本文結合筆者在圖形學教學中對計算思維的思考、研究、實踐進行了總結，提出了圖形計算思維的概念，對如何在圖形學教學體系中貫徹和執(zhí)行圖形計算思維進行了研究，分析了圖形計算思維中主要方法，并進行了實證研究。

一、圖形計算思維的提出

美國K-12教育實踐中將計算思維定義為一組認知技能和解決問題的過程，涉及數(shù)據(jù)的組織和分析、分解問題，程序化的思維技巧、算法思維，并將問題解決過程拓展到社會領域等。[5]該定義較為符合圖形計算思維的主要過程。但圖形思維擁有自己獨特的思考、解決問題的思維方法和規(guī)律，而在當前的有關計算思維表述體系中缺少對圖形方法的論述。因此，將圖形思維納入計算思維是理所當然的。

圖形計算思維包含2個方面。一是廣義上的，本文結合計算機學科特點，將其概括為，借助于圖形化接口（界面）系統(tǒng)展示事物內在規(guī)律和外在過程，通過交互手段接受外部輸入（Input），系統(tǒng)內部通過計算仿真（Process）事物的運動規(guī)律，將處理結果圖形化地輸出（Output）到接口。以此來獲得對事物規(guī)律性的認識，提高人類學習、思考和處理問題的能力。[6]這個過程涉及一系列的思維方法，可稱其為可視化思維方法。二是狹義上的，即僅就計算機圖形學本身而言，主要涉及3個層次的思維模式：①對圖形學基本算法、原理、過程思維過程和規(guī)律的認知；②利用圖形計算思維進行圖形系統(tǒng)設計；③將圖形計算思維的方法擴展到其他領域，并解決其他領域的問題。本文僅就狹義圖形計算思維在圖形學課程教學中相關過程的設計、組織和方法進行討論。

二、圖形計算思維在圖形學教學體系中的設計和組織

在圖形計算思維教學過程的設計和組織中，不能停留在理論層面，應使學生“既能感受到又能看得見，具體的計算思維”。[6]需要解決“授人以漁”的問題，既需要教師有目的地設計教學環(huán)節(jié)，并將其落實到各個知識點的教學活動中；同時也需要學生有意識地學習掌握這一思維規(guī)律，在學好課程知識的基礎上，靈活利用計算思維解決其它問題。首先教師在思想上應高度認識到課程的教學目標包括兩部分：一是課程知識的講授，二是系統(tǒng)性地總結課程中用到的圖形計算思維方法，并將其設計、組織到相關教學活動中；其次，深刻領會計算思維的真諦，研究其主要的方法和過程，結合課程的授課目的和知識結構特點，總結提煉課程中所使用的計算思維方法，并與相關的課程知識點結合，講授其中的思維規(guī)律和方法。[7]

在知識體系上，采用“概論→圖形系統(tǒng)→圖形開發(fā)平臺→場景創(chuàng)建→幾何變換與動畫→場景觀察→真實感圖形繪制→圖形交互→光柵圖形處理→曲線曲面與圖形表示”的順序來組織教學內容和知識點。這樣在知識體系上可以較好地搭建一個容納3層次圖形計算思維模式的教學內容框架。

理論課與編程實踐并重已成為應用型人才培養(yǎng)公認的一種教學方式。經典圖形學算法理論教學主要體現(xiàn)了問題求解的相關思維方法及規(guī)律，實踐教學中有關圖形學原理、方法和過程的驗證實驗也屬于第1層次思維模式，即對問題求解的實踐驗證。綜合使用圖形學理論和方法，通過編程設計開發(fā)綜合運用多種知識的圖形系統(tǒng)，可以滿足第2層次思維模式培養(yǎng)需求。通過第1、2層次的學習，能夠掌握經典理論的思維規(guī)律，掌握高級圖形系統(tǒng)開發(fā)的思維規(guī)律，并以此為工具能夠解決其他領域（如虛擬現(xiàn)實、增強現(xiàn)實、游戲設計等）的圖形計算思維問題，則屬于第3層次。

圖形學的顯著特點是由大量算法、原理、過程組成，其中貫穿著很多思考問題的方法和規(guī)律，初學者很容易陷入一個個不同算法、原理和過程的復雜描述中，而難以領會和掌握其中的思維規(guī)律。這就要求教師在超越知識點描述的高度，總結這些經典算法思考、解決問題的思維規(guī)律，并結合知識點講解這一思維規(guī)律，從而引導學生自覺學習和掌握思維方法。

在圖形系統(tǒng)設計能力的培養(yǎng)中，也存在很多圖形計算思維規(guī)律和方法，如基于交互的圖形系統(tǒng)設計思維方法、圖形系統(tǒng)開發(fā)框架和基于某種宿主語言的開發(fā)思維過程等。

在整個教學過程的設計與組織過程中應貫穿：思維規(guī)律和方法介紹落實于知識點的講解，思維方法隨著知識的貫通而養(yǎng)成，圖形系統(tǒng)設計能力隨著對圖形計算思維的理解而得到提升。[8]

三、圖形計算思維方法

圖形計算思維的養(yǎng)成需要貫穿到教學的具體環(huán)節(jié)中，深刻發(fā)掘課程知識點背后的計算思維方法，并將其與具體的知識點加以融合，是落實計算思維教學的好方法。圖形學的知識內容體系主要圍繞圖形處理過程中的原理、算法、過程、方法來組織展開。其中，既包括相對獨立的求解某一問題的算法、過程或方法，也包括作為相對連貫的一系列原理、過程或方法。因此，在其方法論體系中涉及3類思維方法：一是基本圖形原理、方法、過程的思維方法，二是圖形系統(tǒng)開發(fā)的思維方法，三是常規(guī)性思維方法。

1.基本圖形原理、方法、過程的思維方法

各種原理、算法、方法、過程構成了計算機圖形學的主體知識內容，主要用到計算思維表述體系中的計算（狀態(tài)轉換、按時間/空間排序）、抽象（概念模型與形式模型）、自動化（形式化、迭代、遞歸）等核心概念。[5]除此之外，深入挖掘如下四類圖形計算思維規(guī)律，介紹清楚其設計思考過程，引導初學者掌握其背后的思維規(guī)律，有助于激發(fā)其學習興趣。

每一種原理、算法、方法、過程都有其設計、處理問題的邏輯思維過程，并以形式化方法進行抽象描述。初學者往往會先對這些描述進行字面理解，再去揣摩描述背后隱藏的邏輯思維過程，這樣會事倍功半。在教學中總結算法描述背后的邏輯思維過程，再進行算法描述的理解，并以實例解釋其實現(xiàn)過程，會達到事半功倍的效果。

一些算法、過程在設計過程中會遵循過程遞進的思維規(guī)律，單獨去看某個算法或過程會使初學者前不知來者后不知去處。將遞進思維規(guī)律介紹清楚將會有助于初學者按照思維規(guī)律去完整理解算法、過程的設計思路。如二維圖形光柵化生成算法涉及3個相互聯(lián)系的遞進思維過程：①算法設計的總體思路。對于任何圖形的生成和顯示均是在光柵顯示器等設備上找到一個能夠最佳逼近于數(shù)學意義上描述圖形形狀的像素集合的過程。只有理解了這一總前提，才能對后續(xù)具體算法的設計思想有一個目的性了解。②總體思路可遞進分解為如下的思維主線。a.明確問題的數(shù)學或幾何意義及相應的數(shù)學公式；b.設計特定算法找到最佳逼近的像素點集來顯示這些圖形；c.所設計的算法針對特定需求有哪些優(yōu)化方法。③在生成線段、圓所使用的中點算法、Bresenham算法的設計中，又將整個算法分解為3個過程。a.根據(jù)圖形的幾何方程式構造判別條件，根據(jù)判別條件的值與0之間的關系確定下一個像素點的坐標；b.根據(jù)坐標增量規(guī)律計算判別條件之間的遞推關系，并確定在起點處的初始判別條件值；c.觀察判別條件中有無可能進行一些調整來減少運算的復雜程度，并加以優(yōu)化。通過以上思維過程的遞進分解可以揭示算法設計的思維規(guī)律，可使初學者較為輕松地掌握類似算法設計的思維邏輯。

圖形學有很多原理、過程描述，使用空間想象思維、類比思維的方法可以幫助初學者更好地掌握這些原理和過程。如在三維場景的構建和漫游中，盡管使用的是含有三維空間坐標頂點信息的函數(shù)來設計搭建三維場景，通過改變漫游函數(shù)的參數(shù)來實現(xiàn)漫游，這一過程完全可以想象成是在計算機虛擬空間像壘磚瓦蓋房子似地搭建三維場景，把漫游想象成在虛擬三維空間中的觀察活動；而類比方法的使用，最典型的是將三維圖形觀察過程類比于相機的照相過程，三維場景的搭建、觀察坐標系的定義、裁剪體定義、投影變換、圖像的顯示均與照相過程相似。

在圖形計算思維中還涉及一些其他方法，如在幾何變換中使用“化非基本幾何變換為基本幾何變換”的思維方法來解決復合幾何變換問題。幾何變換背后所使用的矩陣計算方法的揭示使初學者能夠從本質上理解幾何變換發(fā)生的真實過程。在二維線段裁剪算法中巧用區(qū)域編碼方法解決線段頂點與裁剪窗口邊框間關系判斷的問題等。

2.圖形系統(tǒng)開發(fā)的思維方法

任何軟件設計都有一套設計框架和思路（即設計框架思維），在程序設計時必須遵循這套框架和思路，再在其框架內擴展自己的功能需求。思維方法包括交互圖形系統(tǒng)設計思維方法、圖形系統(tǒng)開發(fā)框架嵌套到某種宿主平臺的開發(fā)思維方法。

交互圖形系統(tǒng)設計思維方法包括：①交互圖形系統(tǒng)界面設計，即分析如何用圖形方式來展現(xiàn)內容主題，以及圖形部分的輸入信息處理方式、響應交互處理的圖形渲染過程和圖形輸出方式。設計用戶界面構成元素，如窗口層級關系、菜單、圖標、信息顯示交互控件、按鈕、圖形。②圖形元素設計，即由哪些幾何體組成，幾何體分解為哪些幾何圖元，怎樣組合在一起，幾何圖元由哪些頂點構成，頂點在三維空間的坐標（x,y,z）是什么。③交互邏輯處理算法設計，即根據(jù)交互處理功能需要，設計交互設備與圖形元素交互事件處理，完成相應功能的邏輯處理算法的設計。

圖形系統(tǒng)開發(fā)平臺與宿主平臺的嵌套處理思維過程是指，圖形系統(tǒng)開發(fā)平臺需要嵌套到某些宿主平臺方可完成整個系統(tǒng)的開發(fā)任務，需要掌握某個圖形系統(tǒng)開發(fā)平臺（如OpenGL等）應用程序開發(fā)框架，以及將其嵌套到宿主平臺的思維規(guī)律。

3.常規(guī)性思維方法

計算機圖形學是計算機科學的一個分支，在處理算法、過程的設計中遵循計算思維的一般規(guī)律和過程。其中，分治思想、森林與樹木的關系等是其中使用的重要思維方法。

分治思想是人們處理很多問題時使用的共同方法之一，形象地講就是大事化小，小事化了。即將一個大的問題分解為一個個相對較小的問題，再對每個小問題進一步進行分解，使其成為一個個利用已有知識、方法可以解決的問題，從而逐層上推，使大問題也可以得到解決。對于圖形處理主要體現(xiàn)在兩個方面：一是在所有算法設計中均遵循此方法，如凹多邊形的識別算法，首先將其分解為根據(jù)頂點坐標計算各個邊向量，再計算相鄰2個邊向量間的叉積，最后根據(jù)所有叉積的符號的異同來判別其凸凹性；二是在圖形系統(tǒng)的開發(fā)中，模塊化程序設計方法也是這一思想的具體體現(xiàn)。

森林與樹木的關系是一種全局與局部的關系，要在森林中不迷路，既要從全局的角度了解森林的總體構成，又要了解每個局部的樹木組成。在計算機圖形學中，主要體現(xiàn)在整個計算機圖形學的知識體系與每個知識單元的關系，以及圖形繪制流水線與相關知識單元的關系。這個問題介紹不清楚，往往導致初學者迷失在龐大的圖形學知識體系里，不能從總體上把握圖形學所要研究和處理的問題。這是一個需要從粗淺的總體了解（即從高空俯視森林），到掌握相關知識點（了解具體樹木信息），再回到全局掌握（對整個森林了然于胸）的思維過程。這一方法將貫穿于課程學習的全過程。

四、圖形計算思維在教學中的實踐應用

除了教給學生課程知識外，更重要的是要教給學生學習、掌握解決類似問題的思維方法，在理論課和實踐課教學環(huán)節(jié)貫徹知識和思維方法并重的教學理念。并進行了理論課教學風格和實踐環(huán)節(jié)設計的變革，很好地提高了教學效果，學生教學打分均在93至96之間。

在理論課教學中進行了如下的教學變革：①將森林與樹木的關系思維方法落實到相應的教學環(huán)節(jié)，使學生既可建立起圖形學整個學科研究內容的整體認知，也可學習掌握各個知識點具體的研究內容。注意前后知識點的聯(lián)系，使學生能夠將所學知識串聯(lián)起來成為一個整體。②將單純的理論講授，變?yōu)樗季S過程的啟發(fā)式分析引導。對于所講授的原理、算法、過程等，先分析其設計、求解的思維過程，再結合具體實例講授其每一步求解的過程。尤其在介紹某些算法及其優(yōu)化方法的比較時，引導學生理解其改進點在哪里、優(yōu)勢是什么，使學生可以體會到“算法之美”，從而提高學生的學習興趣。③在PPT近20處知識點講解中，明確給出解決問題的圖形計算思維的具體方法和過程，并將其應用到知識點問題的解決過程中。④注重理論與實踐教學的有機結合，一是在原理、算法、過程的講授之后緊接著講授實現(xiàn)的函數(shù)，以及函數(shù)參數(shù)的變化如何體現(xiàn)在相應的原理、算法、過程中。二是所設計的實踐過程體現(xiàn)了單元知識和整體知識。

實踐教學環(huán)節(jié)包括兩部分：一是體現(xiàn)為單元知識的編程練習，以驗證理論知識為主，如畫線、畫圓算法、線段裁剪算法、光照模型實現(xiàn)等。二是為期一周的課程設計，是在理論知識和單元編程練習基礎上對圖形系統(tǒng)開發(fā)能力的提升。以GLUT庫和Win32 OpenGL控制臺程序框架為平臺，綜合使用內置幾何體、顯示列表、動畫、場景漫游、光照模型、紋理貼圖、鍵盤鼠標交互、菜單等技術綜合完成一個集多種技術于一體的作品。掌握每種技術開發(fā)框架和圖形系統(tǒng)開發(fā)思維過程成為本環(huán)節(jié)培養(yǎng)學生的主要目的。后者是學生收獲很大的教學環(huán)節(jié)，不但使學生將理論與實踐緊密結合起來，而且鍛煉了學生圖形系統(tǒng)設計、開發(fā)的能力。每個學生均可按照要求綜合運用3種以上技術完成完整圖形系統(tǒng)的開發(fā)，其中部分學生能夠綜合運用多種技術開發(fā)出主題健康、場景畫面優(yōu)美、功能多樣的圖形系統(tǒng)。此環(huán)節(jié)學生獲得感最強。

為了對圖形計算思維教學效果進行評價，設計了教學效果調查表，并對連續(xù)兩個年級的學生進行了調查。調查表主要針對圖形計算思維是什么、主要的方法有哪些、學生掌握的程度和學生還有哪些建議設置了調查問題。調查結果表明：學生建立了圖形計算思維的概念，對主要的思維方法有所了解，能夠有意識地使用計算思維去解決類似軟件系統(tǒng)設計的問題，但對整體方法掌握有限。

五、總結

本文結合筆者多年的教學經驗，提出了圖形計算思維的概念，并對圖形計算思維如何在計算機圖形學教學體系中設計和組織進行了探索，總結了3層次圖形計算思維模式及主要方法，并對其在教學實踐中的運用進行了研究。實踐表明，在教學過程中實施圖形計算思維教學，在理論課和實踐開發(fā)上均會極大地提升教學質量和效果。但系統(tǒng)性地總結和整理圖形計算思維方法，如何更為有效地將其落實到教學工作中，如何將其擴展到其它課程的教學過程中，仍有很多研究工作需要開展。