☉江蘇省常熟市梅李高級(jí)中學(xué) 金志春

筆者所在年級(jí)近期舉辦了以“數(shù)系的擴(kuò)充”為主題的同課異構(gòu)的教學(xué)觀摩活動(dòng)，兩位執(zhí)教老師在同一內(nèi)容上的理解、思考與表達(dá)均表現(xiàn)出了不同，尤其是在數(shù)學(xué)史的處理上令人印象頗深.現(xiàn)結(jié)合兩位教師的教學(xué)表現(xiàn)及自身的思考談?wù)剶?shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透.

一、課例實(shí)錄

A老師在教學(xué)之初首先給出了一個(gè)方程，教師在學(xué)生發(fā)現(xiàn)方程無(wú)解之后提出了需要進(jìn)行數(shù)系的擴(kuò)充，以下是A老師在處理數(shù)系擴(kuò)充史時(shí)的教學(xué)片段：

師：人類因?yàn)橛?jì)數(shù)的需要而發(fā)明了自然數(shù)，因?yàn)榭坍?huà)相反意義的需要而發(fā)明了相反數(shù)，因?yàn)榈阮~分配和測(cè)量的需要而發(fā)明了小數(shù)，因?yàn)槎攘空叫螌?duì)角線的需要而發(fā)明了無(wú)理數(shù).

師：對(duì)數(shù)系進(jìn)行再擴(kuò)充又應(yīng)該解決哪些問(wèn)題呢？

生：負(fù)數(shù)開(kāi)平方.

師：大家可有什么具體的方案？

學(xué)生鴉雀無(wú)聲.

教師稍作停頓之后引入了虛數(shù)單位i，并對(duì)其進(jìn)行了概念構(gòu)建、例題教學(xué)、深化鞏固等教學(xué).

B老師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧了數(shù)集的知識(shí)，然后利用數(shù)集進(jìn)行了方程無(wú)解的研究并相繼引出了數(shù)系的擴(kuò)充和虛數(shù)單位i.以下是B老師的教學(xué)片段：

片段1：數(shù)集產(chǎn)生的需要.

師：恩格斯將數(shù)集視為數(shù)學(xué)的重要基本柱石，他認(rèn)為由此提煉、演變、發(fā)展才形成了整個(gè)數(shù)學(xué)體系.遠(yuǎn)古人類因?yàn)橛?jì)數(shù)的需要?jiǎng)?chuàng)造了自然數(shù)，大家可曾想過(guò)其他數(shù)產(chǎn)生的原因又是什么呢？

（引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)系擴(kuò)充原因（客觀需要）上進(jìn)行理解并作進(jìn)一步的思考）

片段2：由方程無(wú)解引出新數(shù).

師：方程x+4=0在自然數(shù)集中無(wú)解；方程3x+2=0在整數(shù)集中無(wú)解；方程x2-2=0在有理數(shù)集中無(wú)解.方程的解法這一問(wèn)題在相當(dāng)長(zhǎng)的歷史時(shí)期內(nèi)都被認(rèn)定為代數(shù)研究的范疇.

師：上述問(wèn)題又都是怎樣得到解決的呢？

生（討論）：添加新數(shù).

師：數(shù)系擴(kuò)充都會(huì)遵循以下原則：（1）添加新數(shù)且原數(shù)集為新數(shù)集的子集；（2）原有的運(yùn)算和其性質(zhì)在新數(shù)集中仍能適用.

師：數(shù)學(xué)家們不斷追求完美的理性精神令其在數(shù)學(xué)范疇中不斷獲得新的發(fā)現(xiàn)并由此推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.

（引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)系擴(kuò)充的原因（數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)因）上建立深刻的認(rèn)識(shí)）

片段3：師生共同引出虛數(shù)單位i，并了解人們對(duì)i的認(rèn)識(shí).

法國(guó)數(shù)學(xué)家舒開(kāi)于1484年研究了《算術(shù)三篇》中的一個(gè)方程，并最終在方程x2-3x+4=0的求解上獲得了方程的根，他認(rèn)為此根不應(yīng)該存在.

意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹于1545年在《大術(shù)》中有這樣一問(wèn)：“把10分成兩部分并使兩部分的乘積等于40.”他認(rèn)為答案為“”，數(shù)學(xué)家們?cè)诤荛L(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)都覺(jué)得這種虛構(gòu)的、想象的式子并不存在意義.

數(shù)學(xué)家們均為這一問(wèn)題絞盡了腦汁.

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1777年首次提出了平方為-1這一新數(shù)的表示符號(hào)i.

德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯于1801年開(kāi)始系統(tǒng)地使用i并使其通行于世.

二、滲透數(shù)學(xué)文化的教學(xué)思考

1.數(shù)學(xué)文化的滲透在兩位教師的教學(xué)定位中存在差異

A老師在數(shù)系擴(kuò)充史上的教學(xué)定位是為了引出復(fù)數(shù)的概念，而在教學(xué)中并未將這一內(nèi)容視為教學(xué)重點(diǎn)，要求學(xué)生能夠?qū)ζ溥M(jìn)行了解即達(dá)到教學(xué)的目的，在數(shù)學(xué)史的教學(xué)處理上采取的手段主要是一帶而過(guò)的講授.學(xué)生模擬探究數(shù)系的擴(kuò)充、體會(huì)數(shù)系發(fā)展的原因、數(shù)學(xué)家在數(shù)系發(fā)展中的作用都沒(méi)有在教學(xué)設(shè)計(jì)中有任何體現(xiàn).在數(shù)學(xué)史向數(shù)學(xué)文化教學(xué)的上升教學(xué)上沒(méi)有任何展現(xiàn)，在數(shù)學(xué)文化的教學(xué)作用等理念上恐怕尚未達(dá)到一定的層面.

B老師在數(shù)系擴(kuò)充的教學(xué)中引出了復(fù)數(shù)的概念，使學(xué)生從中感受到了來(lái)自數(shù)學(xué)的內(nèi)外動(dòng)力和數(shù)學(xué)家們的鉆研精神.該教師在教學(xué)中有鮮明的教學(xué)主線，采取了模擬探究、討論、講授等多種手段來(lái)達(dá)成預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)，在數(shù)學(xué)文化的理解和實(shí)施上都表現(xiàn)出了較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與業(yè)務(wù)能力.

兩位教師在教學(xué)上的差異較為明顯，這是由執(zhí)教老師對(duì)數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識(shí)與理解所決定和產(chǎn)生的，前者的教學(xué)側(cè)重于知識(shí)取向，后者的教學(xué)則在文化取向上的表現(xiàn)更為明顯.

2.對(duì)本課教學(xué)的再思考

以知識(shí)取向?yàn)橹行牡慕虒W(xué)一般比較關(guān)注怎樣令學(xué)生準(zhǔn)確無(wú)誤地獲得知識(shí)，以文化取向?yàn)橹行牡慕虒W(xué)在關(guān)注知識(shí)之外，還會(huì)對(duì)知識(shí)涉及的文化進(jìn)行關(guān)注，學(xué)生受文化熏陶的影響更深.高中數(shù)學(xué)課程提倡數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用與發(fā)展進(jìn)行適當(dāng)?shù)臐B透.事實(shí)上，在數(shù)系這一內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)對(duì)數(shù)系的發(fā)展和擴(kuò)充的過(guò)程進(jìn)行介紹，并因此使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)內(nèi)外的驅(qū)動(dòng)力與人類理性思想的作用，學(xué)生也可以在數(shù)系擴(kuò)充這一簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)發(fā)展史中獲得更多的學(xué)習(xí)感悟，從而使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀.

3.滲透數(shù)學(xué)文化教學(xué)的意義

高中的數(shù)學(xué)文化包含相關(guān)知識(shí)的發(fā)展史、數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展演變過(guò)程中的作用等方面的內(nèi)容.學(xué)生在滲透數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)中能看到更加生動(dòng)且具有一定內(nèi)涵、思想和精神的數(shù)學(xué)，教師在知識(shí)形成、發(fā)展的過(guò)程中也會(huì)對(duì)知識(shí)的本源、知識(shí)間的關(guān)系及高中數(shù)學(xué)的整個(gè)體系形成更好的把握.

例如，很多教師將導(dǎo)數(shù)的概念直接看作一種規(guī)則和定義，很多學(xué)生在課堂上也會(huì)因此感覺(jué)枯燥而難以理解.事實(shí)上，如果教師能夠首先搞清楚導(dǎo)數(shù)的形成并將其蘊(yùn)含的豐富內(nèi)涵展現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生必然會(huì)更好地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中的以直代曲和極限思想，建構(gòu)導(dǎo)數(shù)概念、理解導(dǎo)數(shù)意義、體會(huì)數(shù)學(xué)思想也就變得更加輕松而深刻了.

4.數(shù)學(xué)文化在課堂上的體現(xiàn)

張奠宙先生曾經(jīng)在《數(shù)學(xué)文化的一些新視角》這一篇文章中對(duì)數(shù)學(xué)文化在課堂上的滲透給出自己的理解，他認(rèn)為數(shù)學(xué)文化應(yīng)該走進(jìn)課堂并使學(xué)生能夠真正受到數(shù)學(xué)文化的感染.事實(shí)上，數(shù)學(xué)文化在課堂教學(xué)中的滲透也是課程標(biāo)準(zhǔn)提出的一個(gè)要求，所以數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)中不僅應(yīng)該對(duì)知識(shí)教學(xué)進(jìn)行關(guān)注，還應(yīng)該對(duì)怎樣在知識(shí)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的滲透進(jìn)行細(xì)致的思考和展現(xiàn).一般來(lái)說(shuō)，滲透數(shù)學(xué)文化的教學(xué)可以從以下幾點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)：①將教材中的閱讀材料、旁白等相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行穿插教學(xué)并體現(xiàn)其人文教育價(jià)值.②使學(xué)生在了解數(shù)學(xué)史料的基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)的本源形成更好的認(rèn)知和理解.③從數(shù)學(xué)史的角度進(jìn)行某些概念課的設(shè)計(jì)與教學(xué)，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶.

當(dāng)然，教師在滲透數(shù)學(xué)文化的教學(xué)過(guò)程中也有一些需要注意的地方：①必須運(yùn)用真實(shí)可信的數(shù)學(xué)史料，胡編亂造的內(nèi)容在學(xué)生面前切不可傳播.比如，教師在《任意角的三角函數(shù)》這一內(nèi)容的教學(xué)中可以如此設(shè)計(jì)：大家都以為任意角的三角函數(shù)是在研究銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上得來(lái)的，事實(shí)上，銳角三角函數(shù)的研究與獲得是在三角形的各種幾何量的關(guān)系上發(fā)展而來(lái)的，而任意角的三角函數(shù)卻是在研究現(xiàn)實(shí)中的周期現(xiàn)象的基礎(chǔ)上而獲得的.兩者的研究對(duì)象及各自表現(xiàn)出的性質(zhì)均有不同，因此，將兩者之間的關(guān)系看作推廣關(guān)系自然是不正確的.②不讓學(xué)生感悟的泛泛而談或者不涉及內(nèi)涵、思想以及精神的簡(jiǎn)單羅列都是極不可取的教學(xué)行為，數(shù)學(xué)文化的價(jià)值也不會(huì)得到很好的體現(xiàn).③愛(ài)國(guó)主義教育或人文教育表現(xiàn)得較為片面，甚至狹隘.比如，中國(guó)古代某些數(shù)學(xué)方面的成就是領(lǐng)先世界各國(guó)的，但教師在教學(xué)中不能因?yàn)閭€(gè)例而夸大其詞，不能客觀且全面進(jìn)行分析的教學(xué)往往會(huì)令學(xué)生產(chǎn)生不客觀、不清晰的認(rèn)識(shí).

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)研究表明，未來(lái)還會(huì)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行研究的一般只有1%的學(xué)生，一般有29%的學(xué)生在未來(lái)還會(huì)運(yùn)用較難的數(shù)學(xué)知識(shí)，而剩下的70%的學(xué)生步入社會(huì)以后基本不會(huì)用到初高中及大學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí).由此可見(jiàn)，單純的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技能并不是學(xué)生一生中最為重要的，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的數(shù)學(xué)文化價(jià)值在其一生中才是最有意義的，因此，教師應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)課堂中的文化滲透加以重視并使其充分發(fā)揮出應(yīng)有的文化價(jià)值.W