勞美鳳 覃俐慧 盧家寬

摘 要 內(nèi)積空間是高等代數(shù)里最優(yōu)美的理論之一，它把幾何、代數(shù)、分析熔于一爐。本文討論歐氏空間的正交分解的一個(gè)應(yīng)用，即對(duì)有限維歐氏空間規(guī)范正交基的存在性給出了一個(gè)較為自然的證明，從而使得初學(xué)者較好掌握施密特正交化方法。

關(guān)鍵詞 歐氏空間 規(guī)范正交基 正交補(bǔ)

中圖分類(lèi)號(hào)：TN911文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1基本定義與命題

內(nèi)積空間是高等代數(shù)里最優(yōu)美的理論之一，它把幾何、代數(shù)、分析熔于一爐。大部分高等代數(shù)教材只處理了內(nèi)積空間理論的有限維部分，但對(duì)于這一相對(duì)較為簡(jiǎn)單部分的理解，不僅對(duì)于完成高等代數(shù)的學(xué)習(xí)是必要的，而且也為將來(lái)學(xué)習(xí)更深入的內(nèi)積空間理論打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

有限維歐氏空間規(guī)范正交基的存在性定理，在歐氏空間理論中具有基本的重要性。因此，施密特正交化方法也是重要的方法。但有的高等代數(shù)教材介紹施密特正交化方法時(shí)，處理的方法不夠自然，使得學(xué)生在理解和掌握施密特正交化方法時(shí)存在一定的困難。本文使用歐氏空間的正交分解，對(duì)有限維歐氏空間規(guī)范正交基的存在性給出了一個(gè)較為自然的證明，從而使得初學(xué)者較好掌握施密特正交化方法。

本文只討論有限維歐氏空間。

2基本定義與命題

定義1：歐氏空間兩兩正交的非零向量的向量組稱(chēng)為正交組.僅由一個(gè)非零向量組成的向量組也說(shuō)是正交的。

若正交組中的每個(gè)向量都是單位向量，則該正交組稱(chēng)為規(guī)范正交組。

歐氏空間的由正交組構(gòu)成的基稱(chēng)為的正交基。由規(guī)范正交組構(gòu)成的基稱(chēng)為的規(guī)范正交基。

性質(zhì)2：設(shè)是歐氏空間的規(guī)范正交基，則

定理3（正交分解）：設(shè)是歐氏空間的有限維子空間，則。

3正交分解的一個(gè)應(yīng)用

定理4：設(shè)是歐氏空間的線性無(wú)關(guān)的向量，則可從出發(fā)作出正交組，且，

教材介紹該定理的證明時(shí)，都是直接使用施密特正交化方法給出新的向量組，并驗(yàn)證滿(mǎn)足要求，并沒(méi)有解釋為什么此方法從何而來(lái)，使得學(xué)生在理解和掌握施密特正交化方法時(shí)存在一定的困難。我們從歐氏空間的正交分解定理出發(fā)，給出了如下較為自然和簡(jiǎn)潔的證明，從而使得初學(xué)者較好地理解和掌握施密特正交化方法。

定理4的證明 （歸納法）當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹缓粋€(gè)非零向量的向量組也是正交組，令即可。

假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即從可從出發(fā)作出正交組

當(dāng)時(shí)，令則由定理3知， 令其中。則是正交組。這時(shí)，由性質(zhì)2有

注意到，從而有

因此，

容易驗(yàn)證 證畢。

設(shè)是歐氏空間的基，則可從出發(fā)作出正交組，再正交化。從而說(shuō)明歐氏空間存在規(guī)范正交基。

基金項(xiàng)目：本文得到大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練項(xiàng)目（201910602068）的支持。

參考文獻(xiàn)

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