錢建芬

(蘇州市吳江實(shí)驗(yàn)初中 215200)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是人們通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起來的，認(rèn)識、理解和處理周圍事物時所具備的能力和品格.史寧中教授將其概括為“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言就是模型”，抽象、推理和模型就是數(shù)學(xué)的基本思想.

“本原性數(shù)學(xué)問題”是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將某個數(shù)學(xué)問題的“要素”或“基本構(gòu)成”作為思考的第一問題，即考慮對學(xué)生而言，什么是某個數(shù)學(xué)問題最為本質(zhì)的、基本的要素或構(gòu)成.因此本原性數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生主要有兩個來源，一是教師在備課過程中精心設(shè)計的反映該數(shù)學(xué)主題實(shí)質(zhì)的問題；二是在課堂教學(xué)活動過程中由學(xué)生所提出的涉及該數(shù)學(xué)主題實(shí)質(zhì)的關(guān)鍵問題.前者要求教師善于發(fā)現(xiàn)實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)問題，并創(chuàng)設(shè)機(jī)會讓學(xué)生觸及和逐步理解；后者意味著教師在充滿不確定性的課堂里發(fā)現(xiàn)本原性數(shù)學(xué)問題，及時抓住學(xué)生的那些反映數(shù)學(xué)思想實(shí)質(zhì)的樸素想法并加以發(fā)展.由此不難得出，本原性數(shù)學(xué)問題具有自然生成、預(yù)設(shè)下的原發(fā)性和多角度對話的品性等特征.

基于本原性問題的數(shù)學(xué)課堂，始于問題，源于本原，數(shù)學(xué)思想方法始終滲透其中.這樣的課堂教學(xué)，始終以經(jīng)歷思考過程來發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓本原性問題進(jìn)入學(xué)生認(rèn)知場域，促進(jìn)其積極思考，進(jìn)而形成自己的認(rèn)識或解答，因?yàn)楸驹詥栴}的產(chǎn)生是基于學(xué)生的思維認(rèn)知與生長，所以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是教學(xué)活動的最終目的.顯然，基于本原問題的教學(xué)是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué).

本文以蘇科版七上《6.1線段 射線 直線》一課為例，分享基于本原性問題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐與思考.

1 教學(xué)實(shí)錄與分析

1.1 回歸本原經(jīng)驗(yàn)，回憶舊識

師：今天我們來共同學(xué)習(xí)《6.1線段 射線 直線》，對于這個課題，大家一定不陌生吧？

眾生：小學(xué)學(xué)過.

師：那么請大家回憶，看看我們還記得哪些內(nèi)容？

生1：線段有兩個端點(diǎn)，射線有一個端點(diǎn)，直線沒有，直線是無限延長的，射線也是朝一邊延長，但是線段不能延長.(師板書“延長”兩字)

設(shè)計思路《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中，對小學(xué)四年級學(xué)習(xí)線段射線直線提出的教學(xué)要求為：1.結(jié)合實(shí)例了解線段、射線和直線；2.體會兩點(diǎn)間所有連線中線段最短，知道兩點(diǎn)間的距離.本節(jié)課是在小學(xué)已經(jīng)初步認(rèn)識線段、射線、直線的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究這些基本圖形的一節(jié)課，所以既不能上成一節(jié)完全沒有經(jīng)驗(yàn)的新授課，又不能上成一節(jié)完全的綜合復(fù)習(xí)課或是習(xí)題課，設(shè)置的問題回歸學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，讓新知生長在學(xué)生已有的舊知土壤上.

1.2 還原認(rèn)知過程，整理碎片

師:(板書“延伸”兩字)看來大家對直線的“無限長”印象很深，不過我們把直線無限長的特性說成是延伸性，是直線所固有的特性，叫做直線向兩方無限延伸，射線向一方無限延伸，而不說成直線無限延長，也就是說延伸更多地是指事物本有的屬性，比如一條路若理解為無限長，我們說這條路一直往前延伸；但延長則不同，這是一個動詞，通常指把本身沒有延伸性的事物變得長一些，就使用延長，如延長線段，或反向延長射線，延長考試時間等.那么我們該怎么修改剛剛生1的話呢？

生2：線段有兩個端點(diǎn)，射線有一個端點(diǎn)，直線沒有，直線向兩方無限延伸，射線向一方延伸，但是線段沒有延伸性.

師：請在學(xué)案上分別畫一條線段、射線、直線.

眾生：(每個人都感覺這個很簡單，畫出的線段的端點(diǎn)不規(guī)范.師對點(diǎn)的畫法和表示方法做示范和要求，為下面直線、線段、射線的表示方法做鋪墊.)

師：試一試，寫出線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系，可以用列表格的方法，從端點(diǎn)數(shù)、延伸性、能否度量等方面進(jìn)行比較，比比看，誰寫的最完整，最全面.

眾生：(基本上能夠?qū)懗鼍€段、射線、直線在端點(diǎn)數(shù)上的區(qū)別，知道線段可以度量，而射線和直線不能度量，也知道他們延伸性的不同.畫出的表格相去甚遠(yuǎn)，各式各樣.)

對照表格講解自己的理解，教師做糾正和要求.

設(shè)計思路學(xué)生已經(jīng)具備了有關(guān)線段、射線、直線的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識，這是學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)的過程中所積累的經(jīng)驗(yàn)，也是本節(jié)課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，但是有些已經(jīng)遺忘或是沉睡在記憶的深處，因而模糊甚至錯誤，需要激活、糾正和整理，為下面探究學(xué)習(xí)過程做好準(zhǔn)備,這是一個還原已有認(rèn)知的過程. 這種過程，體現(xiàn)知識的螺旋式上升——基于小學(xué)的學(xué)習(xí)，又在此基礎(chǔ)上有進(jìn)一步的要求.回憶舊識是回歸本原，整理碎片是還原、是回憶舊知的必經(jīng)之路.

1.3 基于本原問題，建構(gòu)框架

師：我站在這里，請和我在一條直線上的同學(xué)站起來.(間斷地，有一些同學(xué)站了起來，直至后來所有的同學(xué)都站了起來)，問最后一個站起來的同學(xué)：為什么大家都站起來了呢？

生4：因?yàn)槊恳粋€同學(xué)都和您在一條直線上.

師：這說明了什么？

生4：過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線.

師：說說你的想法.

生4：把老師您看成一個點(diǎn)，過這個點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線，所以每個同學(xué)都在其中的某一條直線上.

師：(在黑板上畫出一點(diǎn)A)，這點(diǎn)代表老師，過這點(diǎn)A可以畫無數(shù)條直線，每個同學(xué)是一個點(diǎn)，每個點(diǎn)總在其中的一條線上，所以每個同學(xué)都和老師在一條線上.(板書：過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線.然后再給出另外一點(diǎn)B)經(jīng)過兩點(diǎn)A和B，能畫出幾條直線呢？

生5：能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線.

師：(板書：有且只有：確定)我們把這 “有且只有”簡述成“確定”，得出：兩點(diǎn)確定一條直線(并板書).

師：那么經(jīng)過三個點(diǎn)中的兩點(diǎn)可以畫幾條直線呢？

生6：一條！

師：為什么呢？

生6：(指著黑板上的圖說)比如再加點(diǎn)C，點(diǎn)C在直線AB上.

生7：要是點(diǎn)C不在直線AB上呢？這時同時經(jīng)過這三點(diǎn)就不能畫直線了.要是只經(jīng)過其中的兩點(diǎn)就可以畫三條直線了.所以要分類.

師：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，很多地方都要使用分類的方法. 因此，解答經(jīng)過三個點(diǎn)可以畫幾條直線這個問題就不能以一概全，而是需要將三點(diǎn)的位置進(jìn)行分類.若是四個點(diǎn)呢？五個點(diǎn)呢？n個點(diǎn)呢？

生8：都是一樣的，需要分類.

師：對！這就是類比，學(xué)會了一種方法，就類比到同類問題中，用這種方法解決其他同類問題.

師：在A,B兩點(diǎn)間可以畫出多少條線？哪一條線最短？

生9：在A,B兩點(diǎn)間可以畫無數(shù)條線，其中A,B兩點(diǎn)間線段最短.

師：你是怎么判斷的？

生9：可以度量.

師：度量各種線的長度后，發(fā)現(xiàn)線段的長度最小，我們把兩點(diǎn)間線段的長度稱為兩點(diǎn)間的距離(板書). 我們把這兩個大家公認(rèn)為正確的結(jié)論叫做基本事實(shí)：1.兩點(diǎn)確定一條直線.2.兩點(diǎn)之間線段最短.在初中階段，我們還要學(xué)習(xí)其他的基本事實(shí).

請在學(xué)案上寫出你總結(jié)出的結(jié)論.

生：(1)過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線;

(2)兩點(diǎn)確定一條直線;

(3)兩點(diǎn)之間線段最短;

(4)兩點(diǎn)間線段的長度稱為兩點(diǎn)間距離.

師：請用數(shù)學(xué)符號表示出上面畫出的直線.

生10：表示為AB!

師：說說你的想法.

生10：我們剛剛學(xué)過基本事實(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線，所以可以用直線上的任意兩點(diǎn)來表示一條直線.

師：很好！在說明問題時，我們一定要學(xué)會有依據(jù)地說明問題. 但是只說成是AB，行不行？

生11：還應(yīng)該加上直線兩個字，應(yīng)該寫成直線AB.當(dāng)然還可以寫成直線BA.

師：為什么也可以寫成直線BA呢？

生11：因?yàn)橹本€不考慮它的方向.

師：你也學(xué)會了有依據(jù)地說明問題.

師：當(dāng)然直線還有一種表示方法，就是用一個小寫字母表示，寫成直線a或直線l.

師：怎樣表示線段呢？

生12：我認(rèn)為是線段AB或線段BA,以及線段a.

師：你是怎么考慮這個問題的呢？

生12：我是根據(jù)直線的表示方法來考慮的.

師：你這是用類比的思想方法來認(rèn)識問題，類比是解決問題非常有效的思維方式.

師：如何表示射線呢？

生13：我認(rèn)為是射線AB或射線BA,以及射線a.

師：由于射線是有方向的，所以只能用兩個大寫字母表示，通常把射線端點(diǎn)的字母寫在前面，如射線AB，要注意射線AB和射線BA不是一條射線.

設(shè)計思路本課是初中階段系統(tǒng)研究幾何圖形的第一課，從本節(jié)開始出現(xiàn)的幾何圖形的畫法、表示方法、幾何語言等是今后學(xué)習(xí)必須的知識基礎(chǔ)，對于學(xué)生來說是陌生的，而本課所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法(如類比、分類等)，也將始終伴隨學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，使其受益終生.但因?yàn)槠吣昙墝W(xué)生的思維往往還停留在對具體事物的直觀理解上，知識儲備和生活經(jīng)驗(yàn)都略顯不足，所以這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，從本原問題出發(fā)，將數(shù)學(xué)概念和基本事實(shí)進(jìn)行聯(lián)系和拓展，對于學(xué)生完全陌生的幾何用語(如確定、延長和延伸等)就直接講授，對于可以由學(xué)生探索生成的(如三種圖形的表示方法等)，則堅持給予充分的時間讓其思考總結(jié)、體驗(yàn)感悟，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)，發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.4 連接本原問題，完善系統(tǒng)

師：根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)要求，總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容，自我小結(jié)，將你在本節(jié)課學(xué)到的內(nèi)容寫下來.

生：(獨(dú)立思考，寫出總結(jié)交流互補(bǔ).)

練習(xí)：1.按照要求畫圖：(1)畫直線l，在直線l上畫點(diǎn)M，在直線l外分別畫點(diǎn)N、P；

(2)畫線段MN，畫射線MP；

(3)在線段MN上任取一點(diǎn)D，在線段MN上有幾條線段，請寫出來；

(4)延長線段MN，延長線段NM，在直線MN上有幾條射線？請寫出來.

2.(課外思考題)：往返于南京和上海兩地的城際高鐵，中途須?？砍Ｖ?、無錫、蘇州三站(若所有兩個城市間距離都不同，票價根據(jù)距離制定)根據(jù)你所學(xué)回答：需要制定多少種不同的票價？多少種不同的車票？

設(shè)計思路知識不能僅僅局限于一節(jié)課，只要是相關(guān)的內(nèi)容都可一并歸納，即對知識系統(tǒng)進(jìn)行重組.同時，對于重新組建的知識系統(tǒng)要審視、甄別、檢驗(yàn)，以便知識的遷移和應(yīng)用，即知識反思，這兩個過程才能算作是知識重建.知識重建應(yīng)該是把新知識的學(xué)習(xí)納入原有的知識體系，這無疑需要連接相關(guān)的本原問題，才能真正做到通過現(xiàn)象直達(dá)事物的本質(zhì)，使知識的學(xué)習(xí)不再是孤立的、零散的，而是系統(tǒng)的、完善的，在此過程中，學(xué)生獨(dú)立小結(jié)，自覺抽象，而后做必要的遷移與應(yīng)用，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的種子才能萌芽生長.

2 回顧與反思

(1) 努力營造課堂教學(xué)的原生態(tài)，使課堂回歸本真，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程中，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生根.

數(shù)學(xué)概念是從生活中抽象出來的，它更深刻地反映了事物的共同特征和本質(zhì)屬性，可說是濃縮了的知識點(diǎn).為使學(xué)生更好地理解概念，就應(yīng)將它的形成過程重新“還原”，遵循“從具體上升到抽象、再由抽象回歸具體”的認(rèn)知規(guī)律，著力把概念的形成過程和運(yùn)用過程生動地展現(xiàn)開來.需要教師以本原性問題做引領(lǐng)，營造課堂教學(xué)的原生態(tài)，使課堂回歸本真.比如在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“經(jīng)過一點(diǎn)可以畫無數(shù)條直線”的概念教學(xué)中，通過創(chuàng)設(shè)“老師站在這里，請和我在一條直線上的同學(xué)站起來”這一情境，抓住“經(jīng)過一點(diǎn)畫直線”這一數(shù)學(xué)事實(shí)的“要素”或“基本構(gòu)成”作為思考的第一問題，引導(dǎo)學(xué)生抽象加工、鞏固深化，參與并體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念孕育、發(fā)展的全過程，從而對所學(xué)概念能夠正確理解，并會靈活運(yùn)用.培養(yǎng)學(xué)生抽象思維，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的種子生根.

基于本原性問題的課堂形態(tài)應(yīng)該是本真的、自然的、和諧的.具體而言，一是本原的教學(xué)問題.即教學(xué)問題的選擇、設(shè)計與呈現(xiàn)，應(yīng)以某個數(shù)學(xué)問題的“要素”或“基本構(gòu)成”作為思考的第一問題，應(yīng)該從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，與他們的真實(shí)需求相吻合，和他們的實(shí)際水平相匹配，而不能只憑教師的才能或特長來“量身定制”；二是自然的教學(xué)過程.無論是教學(xué)流程的設(shè)計，還是教學(xué)活動的開展，都必須符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律和心理特點(diǎn)，教師不應(yīng)包辦代替，更不能揠苗助長；三是和諧的教學(xué)氛圍.課堂上要力求建立一種良好的“情緒場”，使整個教學(xué)過程彌散著一種和諧融洽、振奮飽滿的氣氛.

(2) 甘做學(xué)生思想的助產(chǎn)婆，使思維還原稚化，在學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的設(shè)計過程中，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)芽

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，并存著三種思維活動，即數(shù)學(xué)家的思維活動、教師的思維活動以及學(xué)生的思維活動.教學(xué)中應(yīng)將三種思維過程盡量開放，使它們水乳交融、相映成輝，形成一個和諧互補(bǔ)的有機(jī)整體，從而有效地促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.第一，要揭示數(shù)學(xué)家的思維過程.教師要撥開教材嚴(yán)謹(jǐn)、神秘的面紗，把蘊(yùn)含在字里行間的科學(xué)家的思維結(jié)晶開發(fā)出來，讓學(xué)生循著前人的思維歷程去親身體驗(yàn)，使他們不僅從中獲取知識，更能受到數(shù)學(xué)思維的熏陶.第二，要展現(xiàn)教師的思維過程.教師要敢于并善于把自己原始的思維過程充分展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓他們?nèi)ピu價、思索，從而達(dá)到啟迪學(xué)生思維的目的.第三，要暴露學(xué)生的思維過程，通過上課、提問、練習(xí)等方式，使學(xué)生的思維活動軌跡自發(fā)地暴露出來，學(xué)生迸發(fā)出可貴的思維火花，這是本原性問題產(chǎn)生與發(fā)展的源泉，是課堂教學(xué)的亮點(diǎn)所在.

在上述三種思維活動中，教師的思維活動起著承上啟下的作用，因而是關(guān)鍵.常見有的教師對教學(xué)內(nèi)容爛熟于心，講起課來行云流水，但教學(xué)效果卻不盡人意.究其原因，是因?yàn)樗痈吲R下，難以深入淺出.教師的思維說到底是為學(xué)生的思維服務(wù)的，兩者不能脫節(jié)，為此，教師應(yīng)有意識地將自己的思維還原稚化.所謂“還原”，就是把教師的思維過程充分地展現(xiàn)出來；所謂“稚化”，就是讓教師的思維回到學(xué)生思維的原始水平上去，從本原問題出發(fā)，使師生的思維活動能夠做到起點(diǎn)同步，發(fā)展同頻，最終達(dá)成思維共振的最佳狀態(tài).比如本節(jié)課中引導(dǎo)學(xué)生對線段射線和直線的表示方法的探索過程，教師不是將表示方法簡單告知，而是將思維還原，把三種圖形表示方法的思維過程充分展示，回到學(xué)生思維的原始水平上去，尋找表示方法的依據(jù)，將他們推到一種“心求通而未得，口欲言而不能”的憤悱狀態(tài)，然后再予以點(diǎn)撥開導(dǎo)，讓學(xué)生得出所有的表示方法并內(nèi)化.

引導(dǎo)學(xué)生思維的最好的辦法，就是教師做“學(xué)生思想的助產(chǎn)婆”. 引導(dǎo)學(xué)生去追溯數(shù)學(xué)家思考、研究的源頭，從本原性問題出發(fā)，領(lǐng)略他們精巧的設(shè)計、獨(dú)到的方法或深刻的分析，從中汲取數(shù)學(xué)思想的營養(yǎng)，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的種子發(fā)芽.

(3) 拓展學(xué)生思維的跑馬場，使教學(xué)留有余地，在學(xué)生探尋數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)過程中，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生長

數(shù)學(xué)的結(jié)論，反映的是數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，所以，課堂教學(xué)不應(yīng)急于把這些前人獲得的結(jié)論直接端給學(xué)生，而應(yīng)給學(xué)生留有足夠的思維時空，經(jīng)歷必要的探尋數(shù)學(xué)概念的發(fā)現(xiàn)過程，即在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生去揭示并感受數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)生的原因、形成的經(jīng)過、以及發(fā)展的方向，使他們在獲取數(shù)學(xué)知識的同時，還能從中汲取前人的智慧，領(lǐng)悟思想方法，陶冶科學(xué)精神，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生長.

比如本節(jié)課學(xué)生所 經(jīng)歷的從“兩點(diǎn)確定一條直線”“經(jīng)過平面上三點(diǎn)中的兩點(diǎn)可以畫幾條直線”“經(jīng)過平面上若干個點(diǎn)中的兩點(diǎn)可以畫幾條直線”的過程，一直是在本原性問題的導(dǎo)引下， 學(xué)生自己感受數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)生的原因、形成的經(jīng)過、以及發(fā)展的方向，在這個過程中，學(xué)生學(xué)會類比、抽象，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的成效深深地影響了學(xué)生數(shù)學(xué)后續(xù)學(xué)習(xí)能力.

綜上，數(shù)學(xué)概念的課堂教學(xué)一定要注重概念的本質(zhì)挖掘，要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中充分體驗(yàn)概念的形成過程，理解概念的本質(zhì)屬性，從而形成一種形式化的概念表達(dá)；數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過程應(yīng)該是問題驅(qū)動的過程，而且應(yīng)該是涉及概念本質(zhì)的數(shù)學(xué)本原性問題驅(qū)動學(xué)習(xí)的過程；教師在數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中，要為學(xué)生提供充分的數(shù)學(xué)本原性問題，并能在教學(xué)過程中把握、發(fā)展學(xué)生提出的數(shù)學(xué)本原性問題，才能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)本原性問題的教學(xué)價值，達(dá)到發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目的.