趙福群，郭盛，徐梓淳，李典

(1.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京，100044；2.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京，100191)

由于航空航天器材零部件和大型工件結(jié)構(gòu)尺寸較大，材料硬度較高。在加工生產(chǎn)中，往往要求加工機(jī)床具有高性能的要求，即加工時(shí)執(zhí)行機(jī)構(gòu)所具剛度要大，末端調(diào)姿能力要強(qiáng)。如在航天器材零部件精密加工中，并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為機(jī)床執(zhí)行加工任務(wù)的末端機(jī)構(gòu)，通過(guò)移動(dòng)單元到達(dá)加工位置，由并聯(lián)機(jī)構(gòu)對(duì)零部件進(jìn)行局部加工。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于局部加工時(shí)，滿(mǎn)足在局部加工中高剛度性能和在加工位置時(shí)動(dòng)平臺(tái)的調(diào)姿能力是并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和應(yīng)用需考慮的首要問(wèn)題。近年來(lái)，研究者通過(guò)將冗余驅(qū)動(dòng)引入到并聯(lián)機(jī)構(gòu)中，對(duì)機(jī)構(gòu)性能的提高進(jìn)行了分析和研究[1-5]。GOSSELIN等[6-7]先后提出了動(dòng)平臺(tái)整周旋轉(zhuǎn)的平面冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)和增大 Gs機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角的空間冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，克服了并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角能力的不足。XIE等[8]提出了具有冗余驅(qū)動(dòng)的混聯(lián)機(jī)床，并進(jìn)行了銑削加工實(shí)驗(yàn)研究和驗(yàn)證。閆采霞等[9]對(duì)驅(qū)動(dòng)冗余和結(jié)構(gòu)冗余 2種機(jī)構(gòu)所具容錯(cuò)性能進(jìn)行了研究，顯示了冗余機(jī)構(gòu)自身容錯(cuò)優(yōu)勢(shì)。白志富等[10-11]通過(guò)引入冗余驅(qū)動(dòng)支鏈的方式，研究并證明了此類(lèi)機(jī)構(gòu)對(duì)并聯(lián)機(jī)床剛度的提升。目前，冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)可分為驅(qū)動(dòng)冗余和結(jié)構(gòu)冗余2類(lèi)[12]。驅(qū)動(dòng)冗余是利用驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)替換一些已有系統(tǒng)中被動(dòng)關(guān)節(jié)的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。驅(qū)動(dòng)冗余可能消除或者減少了機(jī)構(gòu)的奇異位型，但不改變?cè)胁⒙?lián)機(jī)構(gòu)的工作空間，且這種添加方式增加了產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力的可能。結(jié)構(gòu)冗余是通過(guò)增加自身結(jié)構(gòu)以外的驅(qū)動(dòng)單元或運(yùn)動(dòng)分支到其中運(yùn)動(dòng)支鏈上，在機(jī)構(gòu)中增加結(jié)構(gòu)冗余可以避免運(yùn)動(dòng)學(xué)奇異性，優(yōu)化工作空間，提高局部和整體的靈活性等，同時(shí)可以避免驅(qū)動(dòng)冗余下產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)力的情況，結(jié)構(gòu)冗余機(jī)構(gòu)更容易完成一些特殊要求的運(yùn)動(dòng)[13-15]。本文作者提出并聯(lián)機(jī)構(gòu)是以并聯(lián)機(jī)構(gòu)為設(shè)計(jì)主體，通過(guò)在單支鏈中添加冗余驅(qū)動(dòng)分支以得到結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)。對(duì)于冗余運(yùn)動(dòng)支鏈單元利用閉環(huán)回路方程待定系數(shù)方法的方法進(jìn)行求解。同時(shí)，利用雅克比矩陣，通過(guò)對(duì)比與機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，顯示冗余驅(qū)動(dòng)對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的改善效果。以并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)用于機(jī)床加工中的圓弧形軌跡為例，對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，結(jié)果為并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)一步應(yīng)用于機(jī)床的設(shè)計(jì)和制造提供一種方案。

1 機(jī)構(gòu)描述及自由度計(jì)算

1.1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)描述

圖1 新型2R(R)/S-2RS并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic description of 2R(R)/S-2RS parallel mechanism

1.2 機(jī)構(gòu)整體與動(dòng)平臺(tái)自由度計(jì)算

設(shè)機(jī)構(gòu)初始位型為動(dòng)平臺(tái)平行于定平臺(tái)，在圖1所示的坐標(biāo)系下，支鏈 1中各轉(zhuǎn)動(dòng)副中心點(diǎn)坐標(biāo)可記為

支鏈1中轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線方向與y軸方向平行，由螺旋理論[16-17]可得，則支鏈1中各個(gè)運(yùn)動(dòng)副的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)螺旋可表示為

則支鏈1中運(yùn)動(dòng)螺旋系可記為

經(jīng)計(jì)算可得支鏈1末端約束螺旋：

同理可得支鏈2和支鏈3的約束螺旋為：

由式(3)～(5)，各支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)分別提供1個(gè)約束力，約束力的方向與對(duì)應(yīng)各支鏈中轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線平行，且通過(guò)對(duì)應(yīng)各支鏈的球副中心點(diǎn)。由于機(jī)構(gòu)初始位置為兩平臺(tái)，互相平行，因此，各力線矢為共面關(guān)系。由于3個(gè)不匯交且共面的力線矢為線性無(wú)關(guān)，根據(jù)螺旋理論，動(dòng)平臺(tái)被約束的運(yùn)動(dòng)為平行于x和y軸的移動(dòng)與繞z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)。由此可得，機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的自由度為繞x和y軸軸線方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，平行于z軸的移動(dòng)。

對(duì)于含多支鏈結(jié)構(gòu)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可通過(guò)下述修正的G-K公式計(jì)算得到其整體自由度：

其中：M為機(jī)構(gòu)整體自由度個(gè)數(shù)；d為機(jī)構(gòu)階數(shù)，d=6-λ；λ為機(jī)構(gòu)公共約束個(gè)數(shù)；n為機(jī)構(gòu)構(gòu)件數(shù)之和；g為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副數(shù)之和；fi為運(yùn)動(dòng)副i具有的自由度個(gè)數(shù)；v為機(jī)構(gòu)減去公共約束數(shù)目后的冗余約束個(gè)數(shù)。

支鏈1中，分別對(duì)$1和$3以及$2和$4求反螺旋后，可得到2個(gè)反螺旋系中，3組反螺旋相同，支鏈1具有冗余約束的數(shù)目為 3，即式(6)中v=3。利用式(6)可得出：

因此，機(jī)構(gòu)整體的自由度等于 4，動(dòng)平臺(tái)獨(dú)立自由度數(shù)為3，故新型2R(R)/S-2RS機(jī)構(gòu)為結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)

圖2 新型2RP(R)/S-2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of 2RP(R)/S-2RPS parallel mechanism

采用Z-Y-X型歐拉變換對(duì)動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)進(jìn)行表達(dá)[13]，給定α，β和γ，則動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)可描述矩陣形式記為

設(shè)各支鏈球副中心點(diǎn)Si在定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系下坐標(biāo)向量分別為si和sPi，有

式中：p=(x,y,z)T表示p點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的位置矢量。機(jī)構(gòu)3條支鏈為圓周對(duì)稱(chēng)布置形式，各支鏈分別只能運(yùn)動(dòng)在平面內(nèi)，各球副中心點(diǎn)滿(mǎn)足下述關(guān)系：

通過(guò)式(11)，給定參數(shù)(z,α,β)T后，動(dòng)平臺(tái)位姿參數(shù)(x,y,z,α,β,γ)T便可確定。

2.1 位置逆解

設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)副中心點(diǎn)Ai，B和D的坐標(biāo)向量分別為ai，b和d，球副中心點(diǎn)S1坐標(biāo)向量可表示為s1=[r(cosα?cosβ+sinα)+r/2(cos2α)(cosβ-1),0,-r?cosαsinβ]T。在支鏈1中，已知D點(diǎn)坐標(biāo)向量為d=[l,0,0]T，A1點(diǎn)坐標(biāo)向量a1=[l1+l5,0,0]T，那么B點(diǎn)坐標(biāo)可通過(guò)桿長(zhǎng)A1B和BD的約束方程求得：

利用BS1桿長(zhǎng)約束關(guān)系可建立方程為

由式(13)可得出機(jī)構(gòu)各驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)與動(dòng)平臺(tái)位姿的關(guān)系式：

式(14)中含有l(wèi)1和l22個(gè)未知驅(qū)動(dòng)值，確定其中一個(gè)未知量，進(jìn)而求出另外一個(gè)驅(qū)動(dòng)值。

支鏈2中，A2點(diǎn)坐標(biāo)向量表示為，球副中心點(diǎn)S2定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)向量可記為s2。利用A2S2桿長(zhǎng)約束關(guān)系可建立方程為

在定坐標(biāo)系下A2點(diǎn)坐標(biāo)、S2點(diǎn)坐標(biāo)均為已知，驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)l4可通過(guò)式(15)直接求得。同理，支鏈3中驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)l6可通過(guò)同樣的方法求得。

鑒于修該課程的學(xué)生將來(lái)多從事教育事業(yè)，大綱中對(duì)學(xué)生的課堂著裝（尤其是在做口頭報(bào)告時(shí)）也提出了要求。學(xué)生在上課時(shí)應(yīng)避免穿牛仔褲、人字拖、透視裝、低胸裝、帽衫、汗衫及緊身衣等。還提醒學(xué)生在做口頭報(bào)告和回答他人問(wèn)題時(shí)不可嚼口香糖。

2.2 速度映射及雅可比矩陣

對(duì)于結(jié)構(gòu)冗余機(jī)構(gòu)，在給定3個(gè)輸出值以后，由于機(jī)構(gòu)存在4個(gè)驅(qū)動(dòng)值，支鏈1有無(wú)窮多組輸入值配置方式。在求解雅可比矩陣時(shí)，需對(duì)支鏈1中的其中一個(gè)輸入進(jìn)行給定。同2.1節(jié)給定l2為定值，設(shè)各驅(qū)動(dòng)值的速度矩陣為，動(dòng)平臺(tái)速度矩陣為，驅(qū)動(dòng)值速度與動(dòng)平臺(tái)速度之間關(guān)系可表示為

對(duì)式(13)和式(15)以及支鏈3同于支鏈2形式的約束方程分別對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，可得

對(duì)式(17)中驅(qū)動(dòng)值和動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的方程組進(jìn)行整理，q和x的系數(shù)矩陣A和B可分別表示為

式中：r11，r22，r33和aij分別為關(guān)于機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)以及z，α和β的函數(shù)；i=1,2,3；j=1,2,3。

對(duì)式(16)進(jìn)行變形：

式中：J為雅可比矩陣。給定機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的速度參數(shù)后，通過(guò)式(18)可求得此時(shí)驅(qū)動(dòng)值的速度。

3 性能評(píng)價(jià)

3.1 工作空間分析

工作空間范圍主要是由機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角范圍和結(jié)構(gòu)參數(shù)限制。為了驗(yàn)證由3-RPS機(jī)構(gòu)[18]通過(guò)添加冗余驅(qū)動(dòng)所形成的新型2RP(R)/S-2RPS機(jī)構(gòu)在性能方面得到提升，本節(jié)給出兩機(jī)構(gòu)在相同結(jié)構(gòu)參數(shù)和約束條件下的可達(dá)工作空間范圍。設(shè)定l=20，l3=70，l5=10，r=10，單位均為mm。設(shè)定3-RPS機(jī)構(gòu)支鏈1中的驅(qū)動(dòng)桿為A1S1，在求解工作空間時(shí)，令A(yù)1S1為l1，支鏈2和支鏈3與冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)相同。給定尺度約束條件為：l1(5,100)，l2∈(5,100)，l4∈(5,100)，l6∈(5,100)，單位均為 mm；關(guān)節(jié)的約束條件為：θ1∈(30,120)，θ2∈(30,120)，θ3∈(30,120)，φ∈(30,150)，η∈(30,120)，ψ1(60,120)，ψ2∈(60,120)，ψ3∈(60,120)，單位均為(°)。上述桿長(zhǎng)和轉(zhuǎn)角參數(shù)表示如圖2所示。圖3所示為兩機(jī)構(gòu)在給定約束條件下工作空間的對(duì)比。從圖3可以看出：新型2RP(R)/S-2RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間在相同約束條件下比3-RPS的工作空間范圍更大。

3.2 靜剛度分析

將在第2.3節(jié)所得矩陣J代入式(18)，以微分形式進(jìn)行變形[19]：

圖3 新型2R(R)/S-2RS并聯(lián)機(jī)構(gòu)與3-RS并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間對(duì)比Fig.3 Workspace comparison of 2R(R)/S-2RS and 3-RS parallel mechanisms

其中：ΔX表示末端構(gòu)件所產(chǎn)生的微位移。定義末端構(gòu)件的力旋量：

可得：

式中：k為等效的彈簧系數(shù)，這里取k=1 000 N/mm[20]。

由圖5可知：剛度矩陣的最小特征值在中心點(diǎn)處最大，由中心點(diǎn)向周?chē)饾u減小。其中，在z=60 mm相同截面處，新型2R(R)/S-2RS機(jī)構(gòu)剛度矩陣的特征值取值范圍要明顯大于3-RS機(jī)構(gòu)特征值的取值范圍。所以在機(jī)構(gòu)支鏈添加了冗余驅(qū)動(dòng)后，機(jī)構(gòu)靜剛度性能得到了提升，從而提高機(jī)構(gòu)在執(zhí)行如加工任務(wù)的精度。

3.3 靈巧性分析

機(jī)構(gòu)靈巧性通?；谘趴杀染仃囉?jì)算，而條件數(shù)可通過(guò)譜范數(shù)進(jìn)行計(jì)算[19]，定義如下：

式中：

圖4 動(dòng)平臺(tái)沿x,y方向移動(dòng)與轉(zhuǎn)角α,β的關(guān)系Fig.4 Relation of translational motion alongx,yandα,βrotation angle of moving platform

圖5 相同約束條件下機(jī)構(gòu)剛度性能對(duì)比Fig.5 Stiffness performance comparison of both mechanisms under the same constraint condition

對(duì)式(24)方程兩邊取平方得：

矩陣JTJ最大的奇異值即為矩陣J的譜范數(shù)，表示為。同理，矩陣JTJ最小奇異值的倒數(shù)為J-1的譜范數(shù)，表示為 1 /σmin，則

選取兩機(jī)構(gòu)工作空間在z=60 mm的截面，求解機(jī)構(gòu)在此約束條件下的條件數(shù)取值。圖6所示為兩機(jī)構(gòu)在截面z=60 mm時(shí)，雅克比矩陣的條件數(shù)取值隨著α和β取值變化的情況。

圖6 相同約束條件下機(jī)構(gòu)靈巧性能對(duì)比Fig.6 Dexterity performance comparison of both mechanisms under the same constraint condition

表1 3-RS機(jī)構(gòu)與2R(R)/S-2RS機(jī)構(gòu)的綜合性能對(duì)比Table 1 Comprehensive comparison of 3-RS mechanism and 2R(R)/S-2RS mechanism

表1 3-RS機(jī)構(gòu)與2R(R)/S-2RS機(jī)構(gòu)的綜合性能對(duì)比Table 1 Comprehensive comparison of 3-RS mechanism and 2R(R)/S-2RS mechanism

機(jī)構(gòu) 工作空間點(diǎn)數(shù)N/個(gè)剛度最小特征值均值δ條件數(shù)均值τ3-RPS 394 1 780 8.56 2RP(R)/S-2RP S 856 3 460 4.38

從表1可知：在3-RPS機(jī)構(gòu)添加冗余驅(qū)動(dòng)支鏈后，其工作空間點(diǎn)數(shù)N、剛度最小特征值均值δ和條件數(shù)均值τ較初始機(jī)構(gòu)均增加了約2倍，從而機(jī)構(gòu)的整體性能得到提升。

4 運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)仿真

4.1 任務(wù)路徑規(guī)劃

為證明設(shè)計(jì)可行性及機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)應(yīng)用的能力，本節(jié)對(duì)機(jī)構(gòu)模型應(yīng)用于機(jī)床圓弧形加工軌跡進(jìn)行連續(xù)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃仿真研究。首先，機(jī)構(gòu)由P1點(diǎn)進(jìn)行加速運(yùn)動(dòng)至P2點(diǎn)，再由P2點(diǎn)減速運(yùn)動(dòng)至P3點(diǎn)速度為0 mm/s。然后，機(jī)構(gòu)末端平臺(tái)由P3點(diǎn)沿圓弧軌跡加速運(yùn)動(dòng)至P4點(diǎn)，再沿圓弧返回至P1點(diǎn)速度為0mm/s，如圖7所示。

根據(jù)各運(yùn)動(dòng)段給定條件，采用加速度方程為二次多項(xiàng)式，則動(dòng)平臺(tái)在x、y方向的加速度可表示為

式中：j=1,2,3。

機(jī)構(gòu)末端的速度vij(t)方程與位移sij(t)方程可對(duì)式(27)通過(guò)進(jìn)行2次積分得到，j=x,y。根據(jù)各段給定要求和各運(yùn)動(dòng)參數(shù)在不同弧段需要滿(mǎn)足關(guān)系，通過(guò)給定aij(t)，vij(t)和sij(t)方程中時(shí)間和位移參數(shù)，可求解出各方程表達(dá)式。

4.2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖4所示為機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)x,y方向位移對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)范圍。采用 MATLAB軟件對(duì)機(jī)構(gòu)刀具實(shí)現(xiàn)工業(yè)中常見(jiàn)的圓弧軌跡進(jìn)行仿真，將動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)作為刀具位置，設(shè)定圓弧形軌跡半徑為r1=4 mm，完成路徑所用周期時(shí)間為8 s，仿真時(shí)間定為16 s，步長(zhǎng)設(shè)為500。在1個(gè)周期內(nèi)，前4 s動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)從P1點(diǎn)先加速后減速運(yùn)動(dòng)到P3點(diǎn)，后4 s從P3點(diǎn)返回到P1點(diǎn)。通過(guò)式(14)和式(15)可計(jì)算得到動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的各驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)的變化，圖8所示為所得各驅(qū)動(dòng)值的變化曲線。

圖7 仿真運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7 Motion trajectory of simulation

圖8 仿真所得各驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)變化曲線Fig.8 Simulation curves of driving length changes

由圖8可知：機(jī)構(gòu)采用高次加速度函數(shù)完成了連續(xù)圓弧軌跡運(yùn)動(dòng)，并由圖4中x和y方向移動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)耦合關(guān)系，可知在選取圓弧形軌跡半徑為r1=4 mm時(shí)對(duì)應(yīng)較大的轉(zhuǎn)角范圍，仿真所得到的各驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)曲線連續(xù)平穩(wěn)，且未出現(xiàn)尖點(diǎn)等突變。證明所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)具有實(shí)現(xiàn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)和機(jī)構(gòu)應(yīng)用于局部加工零部件調(diào)姿的能力。

5 結(jié)論

1) 為提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體性能，在傳統(tǒng)3-RPS機(jī)構(gòu)的支鏈中添加冗余驅(qū)動(dòng)分支，提出了一種新型2RP(R)/S-2RPS冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)。根據(jù)螺旋理論求解機(jī)構(gòu)末端自由度為3，而得到機(jī)構(gòu)整體的自由度等于4，所提出機(jī)構(gòu)存在冗余約束，證明了新型2RP(R)/S-2RPS機(jī)構(gòu)為結(jié)構(gòu)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

2) 對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了靜剛度和靈巧性能的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能評(píng)價(jià)，并利用解耦特性條件得到了機(jī)構(gòu)伴隨運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，對(duì)比了非冗余機(jī)構(gòu)在相同約束條件下的運(yùn)動(dòng)性能，證明 3-RPS機(jī)構(gòu)在添加冗余驅(qū)動(dòng)所形成的2RP(R)/S-2RPS機(jī)構(gòu)的性能得到了提升。

3) 為檢驗(yàn)新型 2RP(R)/S-2RPS冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的可操縱性，以圓弧加工軌跡為仿真實(shí)例，對(duì)機(jī)構(gòu)工作空間內(nèi)進(jìn)行了軌跡仿真。得到的各驅(qū)動(dòng)變化曲線連續(xù)平穩(wěn)，且未出現(xiàn)尖點(diǎn)等突變，證明機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)連續(xù)運(yùn)動(dòng)，并可應(yīng)用于航空零件等加工。