網絡化牽引控制系統H∞采樣控制及其應用

2019-02-21 03:47陳剛王信羅昌勝肖伸平

中南大學學報（自然科學版） 2019年1期

陳剛，王信，羅昌勝，肖伸平

(1.湖南工業(yè)大學電氣與信息工程學院，湖南株洲，412007；2.電傳動控制與智能裝備湖南省重點實驗室，湖南株洲，412007)

網絡化牽引控制系統(networked traction control system，NTCS)是一種擁有獨立功能的網絡控制系統，它能實現交流異步牽引電機的網絡化控制功能。網絡控制系統中各個節(jié)點信號和數據通過網絡進行傳輸和交換，可以實現遠程操作控制要求，并且維護方便、易拓展、靈活性強，具有網絡化、智能化和集成化的功能特點。近年來，人們對交流異步電機的網絡化控制進行了研究，主要是通過計算機網絡的形式來實現1臺或多臺異步電機組的集群或分散控制，如在動車組中，由于異步牽引電機空間分布的特殊性，要求牽引電機必須通過網絡控制系統來實現。然而，網絡控制系統的引入必將對列車牽引控制系統產生影響，如產生網絡延遲和數據丟包等問題[1-3]。時滯的存在往往使實際工程系統的性能退化，甚至變得不穩(wěn)定。而在網絡化牽引控制系統的分析與設計中，考慮時滯項也會使研究過程變得更復雜。網絡控制系統是一種閉環(huán)反饋控制系統，其結構由傳感器、控制器以及執(zhí)行器通過無線網絡連接而成。對其H∞性能進行控制有多種控制方法，如狀態(tài)觀測器控制[4]、自適應控制[5]、脈沖控制[6]、采樣控制[7]等?？刂撇呗砸髷底址答佉约皵底挚刂凭哂屑皶r性、小型化、精確性以及低成本。采樣控制作為一種實用、簡潔的控制方法，已被廣泛運用于實際工程領域。現有的網絡控制系統分析方法都是基于線性控制網絡[8]實現的，因此，要實現交流異步牽引電機的網絡化控制，就必須先對異步電機進行線性化解耦。交流異步牽引電機是一種復雜的非線性系統[9]，對其線性化解耦的主要方法是通過非線性狀態(tài)反饋或輸出反饋將非線性系統變換為線性系統。張興華等[10-11]提出了一種逆系統方法，其實質是應用反饋線性化方法來實現對變量、強耦合、非線性系統線性化。因其不依賴于對非線性系統的求解以及穩(wěn)定性分析，只需研究系統的反饋變換，因此，這種方法更具有一般性，李欣[12]對此進行了深入分析。對于含有時滯項的線性網絡控制系統穩(wěn)定性的研究，人們常采用基于 Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定理的Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及線性矩陣不等式方法，該方法的核心包括 2個方面：1) Lyapunov-Krasovskii泛函的構建；2) 泛函導數中積分二次型的界定。在對前者的研究中，為獲得更小保守性條件，KWON 等[13-14]構建的增廣泛函以及 TIAN 等[15-16]提出的分時滯泛函方法都有很好的效果。采樣系統的泛函構建中，將更多的采樣信息導入泛函中，有可能獲得更優(yōu)判據，但一直沒有找到一種普遍方法來構建泛函，在大多數情況下都是根據前人的研究以及經驗構建。為此，人們致力于對導數界定方法進行研究，其中最主要的是對積分項的界定方法進行研究，提出了多種方法，如Jensen不等式方法[17]、Writinger不等式方法[18]、自由權積分不等式方法[19-20]、逆凸不等式方法[21]等，本文采用自由權積分不等式方法，對二次型進行界定。首先簡單介紹交流異步牽引電機的數學模型，通過逆系統方法得到電機廣義逆系統狀態(tài)狀態(tài)空間描述。同時，基于此電機系統控制對象，構造網絡化牽引控制系統的狀態(tài)空間模型。其次，利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法以及線性矩陣不等式方法對線性網絡控制系統進行研究，得到保證系統穩(wěn)定的充分性條件，并將其拓展到含有外部干擾以及參數不確定的系統中，得到H∞采樣控制器的設計方法。在Lyapunov-Krasovskii泛函構建方法中，根據兩側閉環(huán)泛函方法[22-23]，得到1個新的泛函，其關鍵是充分導入采樣點x(tk)到x(t)以及x(t)到x(tk+1)的信息，并推導出更優(yōu)穩(wěn)定性條件。最后，對于網絡化牽引電機控制模型，設定具體的數學參數，得到可行H∞采樣控制器，同時采用狀態(tài)軌跡圖證明控制器的可行性。

1 問題描述

采用如下標號：矩陣上標“T”和“-1”分別表示轉置矩陣以及逆矩陣；Rn和Rn×n分別代表n維向量和n×n維矩陣；矩陣P＞0表示矩陣P是正定的；diag{b1,…,bn}表示塊對角矩陣；0和I分別表示1個合適維度的零矩陣以及合適維度的單位矩陣；sym{P}代表矩陣PT+P；標記“*”表示塊對陣矩陣中的對稱項。

1.1 交流異步牽引電機模型

目前，在交流傳動電力機車以及動車組上，普遍采用三項交流異步電機作為實現電能量轉換的裝置。因為交流異步電機在模型上是1個極為復雜、非線性、強耦合且多變量的控制對象，要實現其可行的網絡化控制策略，必先進行線性網絡化處理。進行如下假設：1) 異步電機中定子、轉子繞組是空間對稱分布的，且所生成的磁勢沿氣隙空間正弦分布；2) 不考慮電機鐵心的磨耗以及磁路飽和影響，繞組互感、自感為恒定值；3)忽略頻率和溫度變化對電阻的干擾。

圖1 3項交流異步電機物理模型Fig.1 Three physical models of AC asynchronous motor

基于上述假設，三相交流異步電機物理模型見圖1。圖1中，A，B和C表示定子三相繞組軸線；a，b和c表示轉子繞組軸線；θ表示轉子a軸與定子A軸間的電角度，ω為轉子a的轉動單速度；ia，ib和ic為轉子三軸電流；ua，ub和uc為轉子三相電壓；iA，iB和iC為定子三相電流；uA，uB和uC為定子三相電壓。

對于該交流異步電機非線性系統，其狀態(tài)方程在任意時刻的解可寫成

其中：x為系統n維狀態(tài)向量；u為系統n維控制向量；y為系統n維輸出向量。

根據李欣[12]提出的異步牽引電機動態(tài)等效電路圖以及數學模型，可以獲得以下交流異步電機狀態(tài)方程：

其中：

Rs和Rr分別為定子電阻和轉子電阻；Ls，Lr和Lm分別為定子自感、轉子自感和定轉子互感；ωr為電機轉子角速度；pn為電機的極對數；TL為電機的負載轉矩；為狀態(tài)分量；u為控制輸入；y為輸出變量。

采用廣義逆系統方法對交流異步牽引電機進行線性化解耦，便可以得到以下廣義逆系統標準形式：

其中：a10，a11，a12，a20，a21和a22為廣義逆系統中不同的參數。對這些參數進行調節(jié)，并配置偽線性系統的極點，便可獲得系統性能。

1.2 網絡化牽引控制系統模型

由于網絡的引入，牽引控制系統中的信號傳輸必將產生延時。在一般情況下，主要存在2種形式的時延：一種是傳感器到網絡控制器的時延，另一種是網絡控制器到牽引控制單元的時延。網絡化牽引控制系統結構見圖2。

圖2 網絡化牽引控制系統結構Fig.2 Structure of networked traction control system

假設：1) 傳感器以時間驅動，以采樣周期T對控制對象的輸出進行周期采樣；2) 網絡控制系統以事件驅動，并由外部事件中斷機制實施；3) 執(zhí)行器以事件驅動；4) 網絡中存在不確定時延，且不能超過T∞同時不考慮數據包丟失。當控制率一定時，系統中的 2種時延可以合并為閉環(huán)網絡時延h(t)，其值在 0到T之間任意變化。

基于前面得到的牽引電機系統線性化模型，網絡化牽引控制系統的狀態(tài)空間描述可以寫成

其中：x(t)，u(t)，y和φ(t)分別為控制對象狀態(tài)、控制輸入、控制輸出以及控制系統的初始狀態(tài)；A，B和C為具有適當維度的矩陣。

假定系統的狀態(tài)是完全可測的，則有

其中：K為狀態(tài)反饋輸入器；h(t) ∈[0,T]，表示時延，且其變化是隨機的。

綜合式(4)和(5)，網絡化牽引控制系統的裝填空間模型為

在利用采樣方法對該系統進行控制時，首先設 2個采樣點(tk,tk+1)之間滿足

其中：h1和h2為正標量，表示最大采樣間隔。

假設1系統時滯h(t)總是小于或等于h，且將狀態(tài)量中的時滯看成采樣間隔量，即h(t) =t-tk，于是，系統(6)可寫成

本文基于此系統展開研究。

1.3 引理介紹

引理1[20]對于任意正定對稱矩陣Y，2個標量α和β滿足β＞α＞0，任意向量ξ1，ξ2∈Rm，以及任意矩陣N1，N2，N3∈Rn×m，則有下面不等式成立：

其中：

引理2[24]對于任意合適維度矩陣Y1和Y2，以及1個對稱矩陣Y3＜0，函數h(t) ∈[0,h]，滿足

當且僅當hY1+Y3＜0和hY2+Y3＜0同時成立。

引理3[25]存在合適維度的矩陣Ω1，Ω2和Ω3，其中Ω1是對稱矩陣，Ω2是對稱正定矩陣，則有

引理4[26]存在E，F以及w(t)為合適維度的矩陣，且w(t) 滿足wT(t)w(t) ≤In。對于任意標量ε＞0，有下面不等式成立：

2 主要結果

為了使表達更加簡潔，首先給出下列定義：

2.1 系統穩(wěn)定性分析

定理 1給定正常數h1和h2，若存在正定對稱矩陣P∈Rn×n，以及任意矩陣Q∈Rn×n，Z∈Rn×n，Xi∈Rn×n(i=1,2)，Ti∈Rn×n(i=1,2)，U12∈Rn×n，U22∈Rn×n，Mi∈Rn×n(i=1,2,3)，Ni∈Rn×n(i=1,2,3)，任意對稱矩陣U11∈Rn×n，U13∈Rn×n，U21∈Rn×n，U23∈Rn×n，任意矩陣F∈Rn×n，則對于h∈[h1，h2]，有下面不等式成立：

其中：

系統(9)是漸進穩(wěn)定的。

證明構建如下增廣泛函：

其中：

顯然，當tk≤t＜tk+1，V(t)是正定的。對函數V(t)求導得

其中：

對此導數線性化，關鍵在于對其中2個積分項進行處理。根據引理1，可以得到下列不等式：

其中：N1，N2，N3，M1，M2和M3為任意合適維度的矩陣。

引入1個零項等式：

其中：F為任意合適維度的矩陣。

由式(16)～(19)，當tk≤t＜tk+1，可以得到下列不等式：

據引理2以及引理3，當式(13)和式(14)成立時，(t)為負定，V(t)正定，故系統(9)是穩(wěn)定的。

推論1在定理1中，因自由矩陣F存在，使得其保守性大大降低。從定理1的推導過程中可以看到：在式(19)中，F出現了3次，為此，不妨可以設3個不同的自由矩陣F1，F2和F2來分別替代其中的F，由此得到的系統(9)穩(wěn)定性條件能夠獲得更小的保守性。

2.2 H∞控制器設計

定理1可以拓展到含有時變參數不確定以及外部干擾的網絡控制系統之中，構建有如下系統狀態(tài)方程：

其中：x(t)，u(t)，y，φ(t)和w(t)分別表示控制對象狀態(tài)、控制輸入、控制輸出、控制系統的初始狀態(tài)以及系統的外部干擾；A，B，C和D為具有適當維度的矩陣；ΔA表示時變參數不確定，且滿足

其中：H和E為已知常矩陣；g(t)為未知時變矩陣函數，且滿足gT(t)g(t)≤I。

在給出結論之前，先給出如下定義。

定義1當滿足以下2個條件：

1) 閉環(huán)系統(21)在沒有外部干擾的情況下即w(t)=0時，是穩(wěn)定的；

2) 對于存在外部干擾的系統(21)，存在標量γ，控制輸出y(t)滿足

時，閉環(huán)系統(21)是關于H∞范數界為γ穩(wěn)定的。

為滿足定義中條件1)，假定系統(21)無外部干擾，則系統狀態(tài)方程為

于是，根據定理1，可以得到如下定理。

定理2給定正常數h1和h2以及矩陣H和E，若存在正定對稱矩陣P∈Rn×n，以及任意矩陣Q∈Rn×n，Z∈Rn×n，Xi∈Rn×n(i=1,2)，Ti∈Rn×n(i=1,2)，U12∈Rn×n，U22∈Rn×n，Mi∈Rn×n(i=1,2,3)，Ni∈Rn×n(i=1,2,3)，任意對稱矩陣U11∈Rn×n，U13∈Rn×n，U21∈Rn×n，U23∈Rn×n，任意矩陣F∈Rn×n，任意標量ε＞0，則對于h∈[h1，h2]，有下列不等式成立：

證明將不等式(13)和(14)中的A用A+Hg(t)E1替代，并根據引理 3以及引理 4，便可得到不等式(25)和(26)，其證明過程與定理1的證明過程相同。

注釋1因定理1中的3個自由矩陣F相同，故可以將它提出來，在定理2的Φ1和Φ2中已經體現出來。這種處理方法有利于后面控制器的求解。

對于系統(21)，其H∞控制器的求解方法如下。

定理3給定正常數h1，h2和γ，以及矩陣H和E，若存在正定對稱矩陣P∈Rn×n，以及任意矩陣Q∈Rn×n，Z∈Rn×n，Xi∈Rn×n(i=1,2)，Ti∈Rn×n(i=1,2)，U12∈Rn×n，U22∈Rn×n，Mi∈Rn×n(i=1,2,3)，Ni∈Rn×n(i=1,2,3)，任意對稱矩陣U11∈Rn×n，U13∈Rn×n，U21∈Rn×n，U23∈Rn×n，任意矩陣F=F-1∈Rn×n，G∈Rn×n，任意標量ε＞0，則對于h∈[h1，h2]，有下面不等式成立：

閉環(huán)系統(21)是關于H∞范數界為γ穩(wěn)定的，其控制器。

證明在定理1的推導基礎上，設

對于系統(24)，有如下零項等式：

對式(30)進行分解，有

設可逆矩陣F，對式(31)中間項兩邊同時乘以 1個可逆矩陣：

根據定義1中的條件2)，有

即

故

在定理2中，證明了定理3是系統(21)在無外部輸入穩(wěn)定的充分條件，同時滿足定義1中的條件1)。設可逆矩陣=F-1，類似定理1中的推導過程，若不等式(27)和(28)同時成立，則式(35)成立，此時，將滿足定義1中的條件2)，則閉環(huán)系統(21)是關于H∞范數界為γ穩(wěn)定的。證畢。

注釋2在定理2中，存在非線性項FBK，控制器K不能直接通過Matlab工具箱求解。在定理3的證明中，通過在零項等式中間兩側同乘-1F，可以解決這一問題。