李林利， 薛春霞

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引 言

壓電材料的發(fā)展極為迅速， 廣泛應(yīng)用于壓電濾波器、 微位移器、 驅(qū)動(dòng)器和傳感器等電子器件中， 在衛(wèi)星廣播、 電子設(shè)備、 生物以及航空航天等高新技術(shù)領(lǐng)域都有著重要的地位. 而結(jié)構(gòu)在熱荷載下的動(dòng)力響應(yīng)問題是目前工程結(jié)構(gòu)熱分析的主要研究?jī)?nèi)容之一. 結(jié)構(gòu)熱動(dòng)力響應(yīng)主要表現(xiàn)為熱振動(dòng)， 持續(xù)的熱振動(dòng)又會(huì)引發(fā)結(jié)構(gòu)的疲勞和破壞， 是結(jié)構(gòu)受熱失效的主要形式. 故分析壓電材料在溫度場(chǎng)下的動(dòng)力響應(yīng)具有很實(shí)際的工程意義. 九十年代初期以來， Bao Y等[1]研究了電場(chǎng)、 熱場(chǎng)共同激勵(lì)下的壓電層合梁的靜力學(xué)問題和壓電驅(qū)動(dòng)器通過控制電壓施加的非線性靜態(tài)撓度和固有頻率的主動(dòng)控制效果. 田振國等[2]討論了載流板的溫度、 應(yīng)力、 位移與外加電磁場(chǎng)、 溫度場(chǎng)以及機(jī)械載荷的關(guān)系. 王書鵬[3]在傳統(tǒng)彈性梁振動(dòng)理論基礎(chǔ)上， 通過變換振動(dòng)系統(tǒng)的位移表達(dá),推導(dǎo)出了彈性支承梁在均布矩形脈沖和三角形脈沖兩類沖擊荷載下的耦合振動(dòng)解析解. 李世榮等[4]對(duì)壓電層功能梯度梁在橫向非均勻升溫和均勻驅(qū)動(dòng)電壓作用下的幾何非線性大變形以及大變形構(gòu)型附近的自由振動(dòng)進(jìn)行了定量分析， 分析了熱荷載和材料梯度性質(zhì)對(duì)變形和振動(dòng)特性的影響. 蘇厚德等[5]研究了上下表面粘貼壓電層的功能梯度材料梁在升溫及電場(chǎng)作用下的振動(dòng)以及過屈曲行為. 王濤等[6]用ANSYS有限元計(jì)算方法對(duì)壓電智能結(jié)構(gòu)機(jī)電耦合效應(yīng)下的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了分析. Lee H J等[7]基于分層有限元理論研究了電、 熱共同作用下功能梯度壓電雙晶梁的位移和應(yīng)力問題， 并分析了電和熱負(fù)荷對(duì)雙芯片驅(qū)動(dòng)器的撓度和應(yīng)力的影響. 葉文強(qiáng)等[8]對(duì)壓電振子受縱向沖擊時(shí)的波動(dòng)問題進(jìn)行了研究. Kapuria S等[9]對(duì)對(duì)稱疊層簡(jiǎn)支鋼梁在電熱荷載作用下的屈曲問題進(jìn)行了分析. 薛春霞等[10]利用Karman關(guān)于板的大撓度理論導(dǎo)出了在橫向磁場(chǎng)和橫向載荷共同作用下薄板的非線性運(yùn)動(dòng)方程. 由于壓電結(jié)構(gòu)的材料特性具有廣闊的應(yīng)用前景， 而人們對(duì)它的應(yīng)用研究時(shí)間并不長， 要充分實(shí)現(xiàn)其功能， 有許多方面的問題需要研究和解決.

鑒于高溫環(huán)境對(duì)壓電材料結(jié)構(gòu)的振動(dòng)行為有很大的影響， 但目前很少有文獻(xiàn)涉及壓電材料矩形板的熱振動(dòng)分析， 本文在現(xiàn)有文獻(xiàn)的研究基礎(chǔ)上， 對(duì)于壓電材料二維板結(jié)構(gòu)， 通過彈性力學(xué)基本理論、 Bubnov-Galerkin原理、 多尺度法等推導(dǎo)出了外激勵(lì)和恒定溫度場(chǎng)作用下的非線性振動(dòng)方程和協(xié)調(diào)方程， 求得壓電材料矩形板主共振時(shí)的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程. 用ANSYS軟件進(jìn)行算例分析， 討論了不同的恒定溫度場(chǎng)對(duì)矩形板的振動(dòng)頻率和振幅的影響， 并分析了振動(dòng)系統(tǒng)最大應(yīng)力變化規(guī)律.

1 壓電材料矩形板的基本方程

以壓電材料矩形薄板為研究對(duì)象. 以薄板的中面為xoy面， 它的法線為z軸， 如圖 1 所示. 假設(shè)板長為a， 寬為b， 高為h， 薄板上側(cè)受外激勵(lì)為均布力q=q0cosωt.

圖 1 壓電材料矩形板結(jié)構(gòu)Fig.1 Rectangular plate structure of piezoelectric material

對(duì)于橫觀各向同性壓電材料的矩形薄板， 在考慮溫度效應(yīng)時(shí)的壓電方程[11]為

(1)

式中：t31=Eα/(1-υ)為熱-機(jī)械耦合常數(shù)，E和υ分別為楊氏模量和泊松比，α為線性膨脹系數(shù)；c11,c12,c21,c22,c66為壓電材料的剛度；e31為壓電系數(shù)；ε3為介電系數(shù)；m3為熱-壓電耦合常數(shù)；E3為電場(chǎng)；T為溫度增量；σx,σy和τxy分別為x方向和y方向的正應(yīng)力和切應(yīng)力；DE為電位移；S為熵；α0=C/T0，C為比熱，T0為初始溫度. 由Von Karman板大撓度理論[12]， 位移與應(yīng)變的關(guān)系為

(2)

薄膜內(nèi)力

(3)

彎曲內(nèi)力

(4)

板的運(yùn)動(dòng)方程[13]

(5)

式中：Qx,Qy分別為垂直于x軸及垂直于y軸的截面上單位寬度的橫向剪力. 由于c11=c22， 注意到c11=c12+2c66， 將Mx,My,Mxy,Nx,Ny,Nxy代入平衡方程， 得到壓電材料矩形板的橫向熱振動(dòng)方程如下

D4w=hL(φ,w)-e312ME-t312MT-

(6)

引入應(yīng)力函數(shù)， 有

(7)

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程變型為

(8)

2 非線性熱振動(dòng)方程近似解

對(duì)于四周簡(jiǎn)支的壓電材料矩形板， 可將橫向位移w設(shè)為

(9)

式中：X(t)為板中心的無量綱撓度的最大值.

由方程(6)， (8)和(9)， 利用Bubnov-Galerkin原理， 并引入瑞利阻尼得到動(dòng)力學(xué)方程為

(10)

式中：

Z=αm+αkkl，

αm,αk為阻尼系數(shù).

進(jìn)行無量綱化， 令

則系統(tǒng)的無量綱方程變?yōu)?/p>

(11)

式中：

滿足初始條件

(12)

用多尺度法求解無量綱方程

(13)

便得到主共振時(shí)的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程分別為

(14)

(15)

3 算例分析

3.1 模態(tài)分析

鈦酸鋇材料的參數(shù)值如表 1 所示.

表 1 鈦酸鋇材料參數(shù)[14]

進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)， 結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)由下式求解

([D]-ω2[M]){K}=0,

(16)

式中： [D]為剛度矩陣； [M]為質(zhì)量矩陣； {K}為模態(tài)矩陣. 由于質(zhì)量矩陣一般不受溫度的影響， 由式(16)看出， 溫度引起結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率和振型的變化主要是結(jié)構(gòu)的剛度變化導(dǎo)致的. 溫度升高會(huì)引起鈦酸鋇陶瓷的楊氏模量和介電常數(shù)發(fā)生變化[15].

本文使用ANSYS 14.0對(duì)壓電材料矩形板進(jìn)行有限元建模與仿真， 通過模態(tài)分析得出矩形板的固有頻率及振型. 模型采用SOLID5單元進(jìn)行分析. 矩形板長為300 mm， 板厚為10 mm， 分別置于70, 90, 110 ℃的恒定溫度場(chǎng)下， 當(dāng)寬b分別為200, 230， 250， 300 mm時(shí)， 由ANSYS仿真得到前三階固有頻率， 其對(duì)應(yīng)結(jié)果如表 2.

表 2 前三階固有頻率和撓度

從表 2 可以得出結(jié)論： 隨著寬度的逐漸增大， 長寬比減小， 恒定溫度場(chǎng)中四邊簡(jiǎn)支的壓電材料矩形板的撓度和固有熱振動(dòng)頻率都減小. 隨著溫度升高， 恒定溫度場(chǎng)中矩形板的固有熱振動(dòng)頻率減小， 撓度增大. 文獻(xiàn)[16]中溫度對(duì)普通彈性板固有頻率和振幅的影響， 文獻(xiàn)[17]中寬度變化對(duì)壓電層合板的固有頻率的影響， 均與本文結(jié)論一致， 故本文的方法和結(jié)論具有可靠性.

3.2 諧響應(yīng)分析

在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上， 對(duì)在70 ℃的恒定溫度場(chǎng)下， 長a=300 mm， 寬為b=300 mm， 板厚h=10 mm的壓電材料矩形板采用Full方法進(jìn)行ANSYS諧響應(yīng)仿真分析. 取材料阻尼比為0.01， 在壓電材料矩形板的上表面施加2 MPa頻率為 850 Hz 的余弦簡(jiǎn)諧力作為激勵(lì)載荷， 在 700～1 200 Hz 的頻率范圍內(nèi)取50個(gè)子載荷步， 采用Sparse solver求解器進(jìn)行求解， 得到在恒定溫度場(chǎng)下壓電材料矩形板最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)處z方向的幅頻曲線以及外激勵(lì)對(duì)應(yīng)力幅值的影響.

外激勵(lì)頻率對(duì)板橫向振動(dòng)的影響如圖 2 所示. 由圖 2 可知， 當(dāng)外激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于885 Hz時(shí)， 矩形板橫向位移較小， 橫向位移激振力頻率在相位上提前180°； 當(dāng)外激勵(lì)頻率等于基頻時(shí)， 矩形板的橫向位移急劇增大， 且比激振力頻率在相位提前90°， 即將達(dá)到共振狀態(tài)； 隨著外激勵(lì)頻率繼續(xù)增大， 離開共振區(qū)的矩形板的橫向位移幅值迅速減小， 此時(shí)橫向位移與激勵(lì)力在相位上幾乎相同.

圖 2 外激勵(lì)頻率對(duì)板橫向振動(dòng)的影響Fig.2 Influence of external excitation frequency on transverse vibration of plate

圖 3 所示為外激勵(lì)頻率對(duì)板z方向應(yīng)力的影響. 由圖 3 可知， 當(dāng)外激勵(lì)頻率遠(yuǎn)小于885 Hz時(shí)， 矩形板橫向應(yīng)力較小， 橫向應(yīng)力與激勵(lì)力在相位上幾乎相同； 當(dāng)外激勵(lì)頻率等于基頻時(shí)， 矩形板的橫向應(yīng)力振幅急劇增大， 且比激振力頻率在相位提前85°， 即將達(dá)到共振狀態(tài)； 隨著外激勵(lì)頻率繼續(xù)增大， 離開共振區(qū)的矩形板的橫向應(yīng)力幅值迅速減小， 此時(shí)橫向應(yīng)力與激勵(lì)力在相位上幾乎相同.

圖 3 外激勵(lì)頻率對(duì)板z方向應(yīng)力的影響Fig.3 Influence of external excitation frequency on the stress of z direction

由圖2(a)和圖3(a)可看出橫向振動(dòng)位移和z方向應(yīng)力幅值變化趨勢(shì)一致， 即橫向位移越大， 內(nèi)部的應(yīng)力幅值也越大. 當(dāng)達(dá)到共振時(shí)， 橫向位移和應(yīng)力響應(yīng)的幅值急劇增大， 但并未無限放大， 是因?yàn)樽枘釋?duì)響應(yīng)峰值具有抑制作用. 故阻尼的設(shè)置能較好地抑制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng).

3.3 溫度對(duì)橫向位移的影響分析

為了分析溫度對(duì)橫向位移的影響， 通過ANSYS軟件對(duì)壓電材料矩形板進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析， 運(yùn)用完全法， 取阻尼比為0.01， 在矩形板上表面施加2 MPa頻率為300 Hz的余弦簡(jiǎn)諧力， 得到不同恒定溫度場(chǎng)下四邊簡(jiǎn)支的壓電材料矩形板最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)1 981的橫向位移時(shí)程曲線， 如圖 4 所示.

圖 4 溫度對(duì)矩形板橫向位移的影響Fig.4 Effect of temperature on transverse displacement of rectangular plate

由圖 4 可知， 在不同恒定溫度場(chǎng)的簡(jiǎn)諧激振力作用下， 節(jié)點(diǎn)1 981的運(yùn)動(dòng)較為混亂， 振動(dòng)情況也比較復(fù)雜. 圖 4 表示外激勵(lì)的頻率遠(yuǎn)小于共振頻率時(shí)橫向振動(dòng)的位移變化， 可以看出， 隨著時(shí)間的增加， 振動(dòng)情況都將趨于穩(wěn)定. 而總體上節(jié)點(diǎn)是圍繞平衡位置進(jìn)行周期振動(dòng)的， 溫度越高， 其橫向位移越大， 這主要是因?yàn)楹?jiǎn)諧激振力一定的情況下， 溫度升高這會(huì)降低結(jié)構(gòu)的剛度， 抵抗荷載作用下的變形能力減弱； 且隨著時(shí)間的增加， 其振幅在阻尼的影響下有明顯的衰減特征.

3.4 薄板最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力響應(yīng)分析

在以上分析的基礎(chǔ)上， 對(duì)薄板上表面施加2 MPa 頻率為300 Hz的余弦簡(jiǎn)諧力作為激勵(lì)載荷的情況進(jìn)行具體分析， 得到矩形板最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)處橫向速度， 橫向加速度以及最大應(yīng)力在0.3 s內(nèi)的時(shí)程曲線， 如圖 5(a)～(c) 所示.

圖 5 最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)分析

由圖 5(a)和圖 5(b)可看出， 在簡(jiǎn)諧外力的激勵(lì)作用下橫向速度和橫向加速度的時(shí)程曲線呈現(xiàn)規(guī)律性的變化， 為振幅逐漸減小最終趨于穩(wěn)定的簡(jiǎn)諧曲線， 其振動(dòng)頻率為簡(jiǎn)諧力的激振頻率. 圖 5(c) 為最大應(yīng)力處節(jié)點(diǎn)1 981的Von misers應(yīng)力時(shí)程曲線， 可看出此節(jié)點(diǎn)在穩(wěn)定階段應(yīng)力幅值在0.005 2～5.206 8 MPa間變化， 且位移響應(yīng)幅值越大， 應(yīng)力值也越大. 四邊簡(jiǎn)支的壓電材料矩形板在受到恒定溫度場(chǎng)和簡(jiǎn)諧力的激勵(lì)下做強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)， 其最大應(yīng)力位置出現(xiàn)在板的邊緣位置， 如圖 5(d) 所示. 因此在實(shí)際應(yīng)用中， 應(yīng)針對(duì)此類現(xiàn)象采取相應(yīng)的解決方法和對(duì)應(yīng)措施.

4 結(jié) 論

本文對(duì)恒定溫度場(chǎng)下受簡(jiǎn)諧激振力作用的壓電材料矩形板的頻率和振幅進(jìn)行了分析， 結(jié)論如下：

1) 計(jì)算結(jié)果表明： 溫度、 矩形板的長寬比和外激勵(lì)對(duì)板的動(dòng)力響應(yīng)均有一定的影響， 長寬比減小， 彎曲撓度和固有振動(dòng)頻率都減小. 溫度升高， 固有振動(dòng)頻率減小， 彎曲撓度增大.

2) 當(dāng)外激勵(lì)頻率等于矩形板的固有振動(dòng)頻率時(shí)， 達(dá)到共振狀態(tài)， 矩形板的橫向振幅和z方向的應(yīng)力值急劇增大， 且均比激振力頻率在相位提前90°.

3) 溫度場(chǎng)對(duì)橫向位移的影響非常明顯， 溫度越高， 其橫向位移越大.

4) 振動(dòng)時(shí)最大應(yīng)力位置出現(xiàn)在薄板的邊緣位置， 薄板橫向位移越大， 應(yīng)力值越大. 當(dāng)外激勵(lì)的頻率等于壓電材料矩形板的固有頻率時(shí)， 會(huì)達(dá)到共振狀態(tài)， 此時(shí)的振幅最大， 在工程實(shí)際中會(huì)造成極大的危害.