一、選擇題

1.D 2.A 3.C 4.D 5.A 6.B

7.C 8.C 9.B 10.B 11.A 12.C

二、填空題

三、解答題

17.(1)連接PB,因?yàn)镚,F分別是PC,BC的中點(diǎn),所以GF∥BP,所以PB與BB1所成角即為FG與BB1所成角。

在R t△PB1B中,由,可得,所以FG與BB1所成角的大小為30°。

(2)由(1)可得,直線FG∥平面ABB1A1,因?yàn)镋是AC的中點(diǎn),所以EF∥AB。

因?yàn)锳B?平面ABB1A1,EF?平面ABB1A1,所以EF∥平面ABB1A1。

因?yàn)镋F與FG相交,EF?平面EFG,GF?平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1。

18.如圖1,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系D-x y z。設(shè)正方體的邊長為2,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),E(1,2,0),F(2,1,2),G(1,2,2)。

圖1

又平面ABD的一個(gè)法向量(0,0,2),所以因此

19.(1)由PD⊥AB,PD⊥BC,AB∩BC=B,得PD⊥平面ABCD,從而PD⊥AD。在△ABD中,由余弦定理得,BD2=則有AD2+BD2=AB2,所以∠ADB=90°,即AD⊥DB。又PD∩DB=D,則有AD⊥平面PDB,故AD⊥PB。

圖2

(2)以D為原點(diǎn),建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系D-x y z,設(shè)

設(shè)平面APB的一個(gè)法向量為m=(x,則

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則有

20.(1)因?yàn)锳'D⊥A'E,A'D⊥A'F,所以A'D⊥平面A'EF。又EF?平面A'EF,所以A'D⊥EF。由已知可得EF⊥BD,所以EF⊥平面A'BD。。又A'D⊥平面A'EF,A'M?平面A'EF,所以A'D⊥A'M。在R t△A'DM中,sin∠A'DM

圖3

(2)由(1)知平面A'BD⊥平面BEDF,則∠A'DB為A'D與平面BEDF所成角。設(shè)BD,EF交于點(diǎn)M,連接A'M,如圖3,則A'M,所以A'D與平面BEDF所成角的正弦值為

圖4

21.(1)如圖 4,取AD的中點(diǎn)M,連接CM,AB=AF=BC=2,BCAM,故四邊形ABCM為平行四邊形,可知。在△ACD中,有∠ACD=90°,所以AC⊥DC。又AC⊥EC,DC∩EC=C,所以AC⊥平面CDE。因?yàn)镋D?平面CDE,所以DE⊥AC。又DE⊥AD,AD∩DE=D,所以DE⊥平面ABCD。因?yàn)镈E?平面ADEF,所以平面ABCD⊥平面ADEF。

(2)由(1)知平面ABCD⊥平面ADEF,作BH⊥AD,所以BH⊥平面ADEF,BH,連接AE,所以

22.(1)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,∠BAC=90°,所以以A為原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸,建立如圖5所示的空間直角坐標(biāo)系。因?yàn)锳B=AC=AA1=1,E,F分別是棱C1C,BC的中點(diǎn),所以。因?yàn)?所以B1F⊥AE,B1F⊥AF。因?yàn)锳E∩AF=A,所以B1F⊥平面AEF。

圖5

設(shè)平面EFB1的法向量為則1,得n=(1,1,0)。

設(shè)平面AB1E的法向量為m=(x,y,z),則取x=2,得m=(2,1,-2)。

設(shè)二面角F-B1E-A的大小為θ,則cosθ所以θ=45°,即二面角F-B1E-A的大小為45°。

(3)因?yàn)槠矫鍭B1E的法向量m=(2,1,,所以點(diǎn)F到平面EAB1的距離