李文博

(山東省泰安第二中學 271000)

2016年8月22日，里約奧運會閉幕式上的東京八分鐘為人們展示了安倍從東京沿地球隧道到達里約的動畫.動畫中，安倍極大縮短了到達目的地的時間，這不禁引起人們的關注，安倍穿越地球究竟是動畫創(chuàng)意還是真實可行呢？如果可行，安倍穿越地球會是一個什么樣的過程？在適當?shù)睾喕瘑栴}后，運用高中物理知識可以解答上面的問題.基礎的思路是首先分析安倍在地球內(nèi)部運動的受力情況，然后根據(jù)受力與位移之間的關系來判斷安倍做何種運動.在分析過程中主要應用了萬有引力知識和簡諧運動知識.

一、密度均勻薄球殼、球體對質(zhì)點的萬有引力

均勻薄球殼對空間某一質(zhì)點的萬有引力為

二、簡諧運動的參考圓和周期

簡諧運動是勻速圓周運動在振動方向上的投影，勻速圓周運動的軌跡圓稱為簡諧運動的參考圓.參考圓的半徑等于簡諧振動的振幅，勻速圓周運動的速度等于簡諧振動中物體在平衡位置處的速度，勻速圓周運動的周期等于簡諧運動的周期.

如圖2所示，做勻速圓周運動的質(zhì)點質(zhì)量為m，角速度為ω，圓周半徑為R，受到的向心力為F.與之對應的簡諧運動在相應位置上受到的回復力等于質(zhì)點向心力的水平分量Fx，此時回復力表述為

物體做簡諧振動的充要條件是回復力與位移方向相反、數(shù)值成正比，比例系數(shù)根據(jù)簡諧振動的形式不同而不同.

設比例系數(shù)為k，x方向簡諧運動的回復力為

該周期表達式來源于一般情況的推導，適用于任意簡諧運動模式.

三、安倍的運動形式

在討論安倍的運動情況之前，我們先做一些合理的假設，假設東京與里約的地球隧道沿地球的直徑，且不考慮地球自轉(zhuǎn).安倍與地球相比，其形狀、大小可以忽略，可以被看成為一個質(zhì)點，其質(zhì)量為m，其進入隧道的初速度設為零.地球質(zhì)量為M，密度為ρ，半徑為R.安倍由于受到地球引力的作用而沿地球隧道運動.分析某一時刻，安倍處于距離地球球心為r的位置，如圖3所示.

規(guī)定由里約指向東京為正方向，圖3中安倍受到指向地心的引力，方向為負；由地心指向安倍的有向線段表示位移，圖3中安倍的位移方向為正.

根據(jù)球體內(nèi)質(zhì)點受到萬有引力

的結(jié)果，圖3中安倍受到厚球殼的引力為零，受到小球體的引力大小為

四、安倍運動的時間和最大速度

安倍的運動時間為簡諧運動周期的一半.根據(jù)前方簡諧運動公式以及安倍運動過程中引力與位移的比例系數(shù)，算出簡諧運動的周期為

代入R=6.4×106m，G=6.754×10-11N·m2/kg2以及M=5.965×1024kg，得到

T=5065.75s=84.43min

安倍運行時間為周期的一半，約為42分鐘.

安倍從東京向地心運動過程中，引力方向與速度方向相同；安倍從地心向里約運動過程中，引力方向與速度方向相反.安倍的最大速度位于地心處.由于安倍在運動過程中受到的引力為變力，引力做的功需要用圖象法求得，如圖4所示.

由東京運動到地心這一過程中，引力做的功數(shù)值上與圖象和橫軸圍成面積的數(shù)值相同.

根據(jù)動能定理

vmax為末速度是最大速度，v0為初速度等于零.安倍的最大速度為

等于第一宇宙速度.

安倍的最大速度為第一宇宙速度這一結(jié)論說明以第一宇宙速度沿地表勻速圓周運動的軌跡是沿地球隧道簡諧運動的參考圓.如圖5所示，安倍在東京或者里約時，參考圓上相應位置的軌跡切線垂直于地球隧道，即相應速度方向垂直于地球隧道，故而沿地球隧道方向的速度投影為零；安倍在地心處時，參考圓上相應位置的軌跡切線平行于地球隧道，即相應速度方向平行于地球隧道，故而速度投影

為第一宇宙速度.

2016年里約奧運會閉幕式上日本八分鐘向人們展示了安倍從東京沿地球隧道到達里約的動畫，安倍的這一運動過程可以借助萬有引力和簡諧運動知識給出深入的討論.安倍的運動速度先增大后減小，可以看成是簡諧運動的一部分.安倍從東京到達里約大約需要42分鐘.安倍在地心處達到最大速度，最大速度為第一宇宙速度.如果安倍能夠在地球隧道中做簡諧運動，其相應的參考圓為以第一宇宙速度沿地表運行物體的圓軌跡.