潘 昊,王升濤,吳子輝,胡曉棉

(北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，北京 100094)

金屬材料在軍事、航空航天、汽車等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，它在沖擊加載條件下的彈塑性變形行為一直被關(guān)注。沖擊加載條件下，材料往往受到強(qiáng)烈的載荷作用，處于高壓、高應(yīng)變率狀態(tài)，動(dòng)態(tài)力學(xué)特性與靜態(tài)存在顯著差別[1-2]。隨著檢測(cè)技術(shù)的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)金屬材料在高速加載下具有復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征，如：?jiǎn)尉l材料在極端加載條件下可能會(huì)發(fā)生孿晶[3]，多晶Al材料的強(qiáng)度在高應(yīng)變率104s-1以上的加載下會(huì)大幅增加[4]。另外，也發(fā)現(xiàn)在動(dòng)態(tài)加載下金屬材料的織構(gòu)也會(huì)隨著加載方向及載荷水平發(fā)生變化[5]。

為了從理論上描述金屬材料在動(dòng)態(tài)加載條件下的力學(xué)行為，早期研究基于對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)歸納建立了多種宏觀本構(gòu)模型，如MTS模型、JC模型、SG模型等[6-8]，但這些模型中基本沒(méi)有考慮材料的微結(jié)構(gòu)及其演化，沒(méi)有從材料塑性變形的物理本質(zhì)上描述材料的動(dòng)力學(xué)行為，很難普適地描述材料在不同加載條件下的動(dòng)力學(xué)行為。為此，越來(lái)越多的本構(gòu)模型嘗試從材料塑性變形的微觀機(jī)理出發(fā)，對(duì)位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)、孿晶演化和硬化機(jī)制進(jìn)行描述，并通過(guò)體積平均、自洽場(chǎng)平均等平均化方法得到宏觀應(yīng)力和應(yīng)變、應(yīng)變率、溫度等參數(shù)的關(guān)系[9-11]。晶體塑性理論就是其中的代表，且已成為研究材料準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)行為的重要方法[12]。該方法從描述晶體的滑移系運(yùn)動(dòng)過(guò)程出發(fā)，將材料的宏觀塑性變形和微觀的位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系。但該方法對(duì)材料在高速變形下彈性變形過(guò)程及位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)描述不夠準(zhǔn)確，主要原因包括：(1)大多只考慮應(yīng)力張量與應(yīng)變張量的線性關(guān)系，這種處理方法適用于體積應(yīng)變比較小、壓力小于1 GPa、溫度為常溫的情況。在沖擊加載下，晶體絕熱壓縮且有熵增，溫升較高，并且體應(yīng)變相對(duì)較大，此時(shí)線彈性假設(shè)就不再適用，需要考慮溫度對(duì)彈性變形的影響。(2)位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型較為簡(jiǎn)單，指數(shù)型經(jīng)驗(yàn)形式的位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)方程只適用于準(zhǔn)靜態(tài)或低應(yīng)變率加載的情況，對(duì)于高壓、高應(yīng)變率加載并不適用。(3)硬化形式考慮不充分，以前的模型大多只考慮了應(yīng)變硬化，未考慮壓力的硬化和溫度的軟化過(guò)程。

針對(duì)這些不足，已經(jīng)開展了一定研究，包括：Clayton[13]基于歐氏應(yīng)變，通過(guò)對(duì)三階彈性常數(shù)進(jìn)行變換，實(shí)現(xiàn)了更高壓力下的晶體彈性變形過(guò)程的描述；Austin等[14]和Mayer等[15]分別提出了適用于沖擊加載下位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)和增值過(guò)程的演化方程；Lloyd等[16]采用一維差分方法，對(duì)單晶和多晶Al材料的沖擊波傳播過(guò)程進(jìn)行了模擬。這些研究為基于晶體塑性理論描述材料沖擊加載下的力學(xué)性能變化提供了有益的幫助，但也存在如位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)部分描述過(guò)于復(fù)雜、只有基于一維加載過(guò)程的建模、缺乏對(duì)更高壓力加載下材料強(qiáng)度及織構(gòu)演化過(guò)程的描述等缺點(diǎn)。

本文中，基于經(jīng)典晶體塑性理論，針對(duì)金屬材料在高壓、高應(yīng)變率下的塑性變形特點(diǎn)，采用高階的歐拉彈性方程和更合理的位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)模型和硬化模型，建立充分考慮材料微結(jié)構(gòu)演化的熱彈-黏塑性理論模型。和傳統(tǒng)的晶體塑性模型相比，本文中的模型不僅能更準(zhǔn)確地描述材料在高壓下的動(dòng)態(tài)力學(xué)行為，也更適用于更大的應(yīng)變率范圍。采用該模型也研究了單晶、多晶Al材料在高壓、高應(yīng)變率加載下強(qiáng)度變化特征和織構(gòu)演化規(guī)律。

1 熱彈-黏塑性晶體塑性模型

晶體塑性理論已經(jīng)有了多種研究框架[17-19]，本文中在Kalidindi等[20]的晶體塑性模型基礎(chǔ)上，針對(duì)高壓、高應(yīng)變率的加載情況，采用高階歐拉彈性方程，同時(shí)考慮熱激活和聲子拖曳的位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)模型，并考慮加工硬化，壓力硬化和溫度軟化，建立了單晶體的熱彈-黏塑性晶體塑性模型。

晶體的變形梯度張量可以分解為彈性變形和塑性變形兩部分[20]：

F=FeFp

(1)

式中：Fe和Fp分別表示彈性和塑性部分的變形梯度張量。塑性變形梯度的演化可以表示為：

(2)

式中：Lp為塑性速度梯度張量。 只考慮位錯(cuò)滑移對(duì)塑性變形的貢獻(xiàn)，則：

(3)

1.1 彈性變形方程

歐氏應(yīng)變的定義為：

(4)

基于歐氏應(yīng)變，同時(shí)考慮熵增Δη對(duì)應(yīng)力的影響，第二Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量為[13]：

(5)

(6)

1.2 位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)

1.2.1位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)

位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)及演化過(guò)程是晶體滑移變形的核心過(guò)程，位錯(cuò)滑移運(yùn)動(dòng)的控制機(jī)制包括短程作用和長(zhǎng)程作用。所謂短程作用是指克服由位錯(cuò)交互作用所形成的障礙，晶格的熱振動(dòng)過(guò)程有助于克服該障礙，此時(shí)的位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)受熱激活過(guò)程控制。長(zhǎng)程作用是指位錯(cuò)、析出相質(zhì)點(diǎn)和晶界等引起的長(zhǎng)程內(nèi)應(yīng)力，此時(shí)的位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)主要受聲子的拖曳作用[22]。同時(shí)考慮熱激活機(jī)制和聲子拖曳機(jī)制時(shí)，位錯(cuò)滑移的平均速率可以表示為：

(7)

式中：λ是材料內(nèi)部長(zhǎng)程作用的長(zhǎng)度，為0.1～10 μm；tTA是熱激活過(guò)程特征時(shí)間，tD是聲子拖曳的特征時(shí)間。根據(jù)Arrhenius方程：

(8)

式中：ve是有效的越過(guò)障礙的頻率，k是玻爾茲曼常數(shù)，G是活化自由能。G可以表示為：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式(7)可以改寫為：

(14)

1.2.2位錯(cuò)演化

沖擊加載下，材料會(huì)產(chǎn)生更多的位錯(cuò)，根據(jù)位錯(cuò)理論，并非所有的位錯(cuò)都對(duì)滑移系的剪切應(yīng)變有影響，位錯(cuò)可分為可動(dòng)和非可動(dòng)位錯(cuò)兩部分。各部分的增值及湮滅過(guò)程如下[15,24]：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

式中：ρI是非可動(dòng)位錯(cuò)密度，ρD是可動(dòng)位錯(cuò)密度，η為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，一般取η=0.1，εD=8 eV/b，vI是位錯(cuò)合并時(shí)的特征速度，d表示材料的平均晶粒尺寸，ka是位錯(cuò)湮滅因子。

1.2.3硬化

根據(jù)Taylor關(guān)系[25]，材料的剪切力與位錯(cuò)滿足：

(21)

式中：τβ是初始狀態(tài)下應(yīng)力值，與晶格的阻礙和材料的夾雜相關(guān)，β表征位錯(cuò)糾纏的長(zhǎng)程相互作用系數(shù)，G為剪切模量。根據(jù)SG本構(gòu)模型，有：

G=G0[1+dpV1/3-h(T-300)]

(22)

以上模型所采用的參數(shù)分別為：λ=0.1～10 μm[22],k=1.38×10-23J/K,ve=1010～1011s-1[22],b=2.86×10-7mm[14],g0=0.65[14],ρ=2.7 g/cm3,θ0=427 K,h=6.626×10-34J·s,cb=5 150 m/s,η=0.1,εD=8 eV/b[16,24],vI=5 m/s[24],ρ0=10-7cm-1[24],ka=10[24],d=10 μm[24],β=1.638[14],G0=25.2 GPa,τβ=27.627 GPa[14]。

1.3 多晶本構(gòu)模型

由晶體塑性模型可以給出各個(gè)晶粒的物理性質(zhì)(應(yīng)力應(yīng)變結(jié)果)，將各晶粒的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系擴(kuò)展至多晶，則需要滿足多晶材料取向分布特征的同時(shí)，還要滿足晶粒與晶粒之間變形協(xié)調(diào)條件和晶界處的應(yīng)力平衡條件。本文中所用求解方法包括Taylor模型和晶體塑性有限元模型，兩種模型的具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下。

1.3.1Taylor模型[26]

令所有的晶粒在加載過(guò)程中擁有同樣的變形梯度，根據(jù)樣品初始的織構(gòu)分布函數(shù)，給出每個(gè)晶粒的初始取向(φ0,θ0,ω0)及旋轉(zhuǎn)矩陣Q0，通過(guò)旋轉(zhuǎn)變化計(jì)算各個(gè)晶體的初始彈性常數(shù)和Grüneisen系數(shù)等，再由單晶體的晶體塑性方程，求解每個(gè)晶粒在當(dāng)前變形梯度下的應(yīng)力及新的取向(φ,θ,ω)，令總的應(yīng)力為多個(gè)晶粒的平均，就可以得到多晶材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：

(23)

式中：N為需要統(tǒng)計(jì)的晶粒數(shù)，V為各晶粒的體積。該模型比較適合于簡(jiǎn)單加載條件，滿足變形協(xié)調(diào)條件，但并不滿足應(yīng)力平衡條件。相關(guān)研究[27-28]表明，對(duì)于FCC、HCP多晶材料的簡(jiǎn)單拉伸及壓縮變形問(wèn)題，在不考慮晶粒間的滑移作用下，Taylor模型中所作的假設(shè)仍近似成立，獲得的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和織構(gòu)演化與其他模型的結(jié)果基本一致。

1.3.2晶體塑性有限元模型(crystalplasticityfiniteelementmethod,CPFEM)[20]

將晶體塑性模型作為有限元程序的一個(gè)材料模塊， 1個(gè)晶?？梢杂?個(gè)或多個(gè)單元構(gòu)成，通過(guò)有限元計(jì)算，獲得多晶體材料在邊界載荷的作用下，整體和局部的變形以及與其他介質(zhì)的相互作用。在計(jì)算過(guò)程中，可通過(guò)改變界面之間的滑移線(面)類型，模擬晶粒之間的相互作用如滑移、摩擦等。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，本文中假設(shè)晶粒與晶粒是束縛滑移，暫不考慮晶粒之間的滑移作用。有限元方法保證了計(jì)算單元之間是滿足變形協(xié)調(diào)和應(yīng)力平衡的，因此該模型中各晶粒之間也滿足變形協(xié)調(diào)和應(yīng)力平衡條件。CPFEM能夠靈活地施加邊界條件，較為適用于多晶材料的復(fù)雜沖擊-卸載問(wèn)題。

2 結(jié)果與討論

2.1 位錯(cuò)速度與剪應(yīng)力的關(guān)系

采用上述同時(shí)考慮熱激活效應(yīng)和聲子拖曳效應(yīng)的模型計(jì)算了Al材料的位錯(cuò)滑移速度和剪應(yīng)力之間的關(guān)系，并將結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及只考慮熱激活效應(yīng)、只考慮聲子拖曳效應(yīng)的模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，如圖1所示。

本文模型的計(jì)算得到的位錯(cuò)滑移速度在100～400 MPa的壓力下都能和實(shí)驗(yàn)結(jié)果較好吻合，而只考慮熱激活效應(yīng)或聲子拖曳效應(yīng)，所得位錯(cuò)滑移速度將不能很好吻合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。若只考慮熱激活效應(yīng)，在剪應(yīng)力較低時(shí)，計(jì)算得到的位錯(cuò)速度與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為接近；但當(dāng)剪應(yīng)力較大時(shí)，模型計(jì)算得到的位錯(cuò)速度偏高，和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的差距隨著剪應(yīng)力的增加而逐漸變大，甚至可以超過(guò)剪切波速，與物理規(guī)律不符。若只考慮拖曳效應(yīng)，在剪應(yīng)力較低時(shí)，模型計(jì)算得到的位錯(cuò)速度較實(shí)驗(yàn)結(jié)果明顯偏高。

圖1 不同模型的Al材料位錯(cuò)滑移速度和剪應(yīng)力及與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig.1 Dislocation glide speed-shear stress curves of Al materials by different theoretical models compared with experimental results

2.2 Al材料剪切強(qiáng)度

采用上述模型，模擬了單晶鋁材料在<100>、<110>和<111>加載方向上的剪切強(qiáng)度隨壓力變化的情況，加載應(yīng)變率為105s-1。計(jì)算得到的剪切強(qiáng)度隨加載壓力的關(guān)系如圖2所示，圖中散點(diǎn)為文獻(xiàn)[29]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可見(jiàn)本文中計(jì)算的不同壓力下單晶Al 材料的剪應(yīng)力與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好。另外，當(dāng)Al材料發(fā)生塑性變形后，不同加載方向的剪切強(qiáng)度都隨壓力的增加而單調(diào)增加。但在相同加載壓力下，不同加載方向的剪切強(qiáng)度大小不同，其中<100>加載方向上剪切強(qiáng)度最低，<110>方向上剪切強(qiáng)度最高，<111>方向上的剪切強(qiáng)度介于兩者之間。可見(jiàn)，即使對(duì)于對(duì)稱性較高的FCC 晶體，其單晶材料也具有明顯的各向異性。

進(jìn)一步，在獲得單晶材料力學(xué)特性的基礎(chǔ)上，采用Taylor假設(shè)，模擬了500個(gè)晶粒(隨機(jī)取向)的多晶Al材料剪切強(qiáng)度隨加載壓力的變化，如圖3所示。加載條件為一維應(yīng)變加載，D(2,2)=105s-1，即只在y方向受壓，而其余方向?yàn)楣讨Ъs束。由圖3可見(jiàn)，本文中模擬的剪切強(qiáng)度-壓力的關(guān)系與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[30-31]符合較好。另外，圖3中還給出了Austin等[32]的計(jì)算結(jié)果，圖中點(diǎn)劃線和虛線分別表示其模型預(yù)測(cè)的Al材料剪切強(qiáng)度的上下界。和該模型相比，本文模型采用了高階歐拉應(yīng)變描述材料的彈性變形，能更準(zhǔn)確地描述高壓下的剪切強(qiáng)度。綜合來(lái)看，本文發(fā)展的熱彈-黏塑性晶體塑性模型能比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)Al材料在高壓、高應(yīng)變率加載條件下的力學(xué)行為。

圖2 單晶Al材料剪切強(qiáng)度隨加載壓力的變化Fig.2 Effect of loading pressure on shear strength of single-crystal Al materials

圖3 多晶Al材料剪切強(qiáng)度隨加載壓力的變化Fig.3 Effect of loading pressure on shear strength of polycrystalline Al materials

2.3 織構(gòu)演化規(guī)律

采用上述晶體塑性模型，對(duì)一維應(yīng)變沖擊加載下Al 材料織構(gòu)的變化情況進(jìn)行了研究，加載條件仍為D(2,2)=105s-1。圖4 是500個(gè)晶粒{101}方向上織構(gòu)(初始為隨機(jī)織構(gòu))隨加載壓力的變化情況，可見(jiàn)隨著加載壓力的增加，織構(gòu)發(fā)生了一定程度的變化，特別是當(dāng)加載壓力大于20 GPa 后，織構(gòu)的變化更為明顯。這表明，即使只有一個(gè)方向能夠變形，在沖擊加載下，Al 材料的晶體同樣會(huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn)，出現(xiàn)晶體擇優(yōu)取向的現(xiàn)象。更深層次上，導(dǎo)致晶體旋轉(zhuǎn)的主要原因是剪切變形，在一維應(yīng)變沖擊加載下，有效塑性變形應(yīng)約占總變形的2/3，當(dāng)壓力較高、相應(yīng)的剪切變形較大時(shí)，晶體的擇優(yōu)取向效應(yīng)更明顯。

圖4 多晶Al材料不同加載壓力下的織構(gòu)演化結(jié)果Fig.4 Texture evolution of polycrystalline Al materials under different loading pressures

3 結(jié) 論

針對(duì)典型金屬材料在高溫、高壓加載條件下的力學(xué)響應(yīng)，基于晶體塑性理論建立了熱彈-黏塑性晶體塑性模型。該模型同時(shí)考慮了熱激活效應(yīng)和聲子拖曳效應(yīng)，并采用了適用于中高應(yīng)變率加載的位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)及硬化方程，能更加準(zhǔn)確地描述金屬材料在不同加載壓力下的彈塑性變形過(guò)程。采用該模型研究了加載方向?qū)尉тX材料剪切強(qiáng)度的影響，結(jié)果表明單晶鋁材料具有明顯的各向異性。最后，研究了多晶Al材料在沖擊加載條件下織構(gòu)的演化過(guò)程，發(fā)現(xiàn)即使在較低的壓力下，織構(gòu)也會(huì)發(fā)生擇優(yōu)取向，在更高的壓力下，織構(gòu)的擇優(yōu)取向更加明顯。本文中所做的研究主要針對(duì)以位錯(cuò)滑移為主要變形機(jī)制的Al材料，尚未考慮孿晶等其他塑性變形機(jī)制，將在后續(xù)研究中予以考慮。