房亮，劉三陽

（西安電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西西安710071）

考慮非線性矩陣方程：

其中Ai,Bj,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n是n×n非奇異復(fù)矩陣，Q為Hermite正定矩陣。矩陣A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置。此類非線性矩陣方程來源于隨機(jī)控制、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)學(xué)、隨機(jī)過程等實(shí)際應(yīng)用問題［1-5］。當(dāng)m=n=1時(shí)，非線性矩陣方程（1）是隨機(jī)控制理論中一類特殊的隨機(jī)代數(shù)Riccati微分方程［1］。當(dāng)所有Ai=0,i=1,2,…,m時(shí)，方程（1）在一類最優(yōu)插值問題中起重要作用［2，5］。

矩陣方程（1）正定解的研究是近些年數(shù)值代數(shù)的研究熱點(diǎn)之一，在一些特殊情形下，已有諸多研究結(jié)果。如文獻(xiàn)［6-9］深入研究了X±A*X-1A=Q的正定解及其擾動(dòng)問題。文獻(xiàn)［10-11］提供了幾種求解非線性矩陣方程=I的迭代方法。對(duì)減號(hào)方程，文獻(xiàn)［5］證明了其必有唯一正定解，文獻(xiàn)［12-13］分別用矩陣微分的方法討論了唯一正定解的擾動(dòng)問題。最近，BEREIG［14］研 究 了 線 性 矩 陣 方 程 X+A*XA- B*XB=Q正定解的存在性和唯一性問題。當(dāng)m=n=1時(shí)，文獻(xiàn)［15-17］分別討論了非線性矩陣方程

（其中Q正定）正定解的存在性及求解的迭代算法。

在此基礎(chǔ)上，本文考慮更一般的矩陣方程（1），其中m,n≥1。利用廣義Lakshmikantham-Bhaskar不動(dòng)點(diǎn)定理，得到方法（1）存在唯一正定解的條件，并給出唯一正定解的迭代算法。同時(shí)，討論正定解的擾動(dòng)問題，給出一個(gè)易于計(jì)算的擾動(dòng)上界，并推導(dǎo)其Rice條件數(shù)的顯式表達(dá)式。

1 符號(hào)與引理

文中，Cn×n,Hn×n和H+(n)分別表示n × n階復(fù)矩陣、n×n階Hermite矩陣和Hermite正定矩陣的集合。A≥0(A＞0)表示A為Hermite半正定（正定）矩陣。σ1(A)和σn(A)分別表示A的最大和最小奇異值；λ1(A)和λn(A)分別表示A的最大和最小特征值。對(duì)A,B∈Hn×n，記A≥ B(A＞B)，若A-B ≥ 0(＞ 0)；記

符號(hào)tr(A)表示矩陣A的跡，‖·‖tr表示跡范數(shù)(A)，其 中 σi(A),i=1,2,…,n 為矩陣A的奇異值。易知‖·‖tr是酉不變的，且對(duì)Hermite半正定矩陣A，有‖A‖tr=tr(A)。如果無特殊說明，符號(hào)‖·‖表示譜范數(shù)（即 ‖A‖=σ1(A)）。顯然，對(duì)任意正定矩陣Q，都有‖Q‖=λ1(Q)且 ‖Q-1‖-1= λn(Q)。

引理1［3］令f為 (0,∞)上的一個(gè)單調(diào)算子，且A,B是2個(gè)以a為下界的正算子，即對(duì)正數(shù)a有A＞ aI和B＞ aI。若存在f′(a)，則對(duì)任意酉不變范數(shù) ‖ ·‖都有

引理2［3］設(shè)A,B均為n× n半正定矩陣。則

令(X,≤ )為一個(gè)偏序集，在積空間 X×X上定義偏序：對(duì)任意(x,y),(u,v)∈X×X,

稱映射F:X×X→X具有混合單調(diào)性，若F(x,y)關(guān)于x遞增，同時(shí)關(guān)于y遞減，即對(duì)任意x1≤x2,y2≤ y1，有 F(x1,y1)≤ F(x2,y2)。

若 x=F(x,y),y=F(y,x)，稱 (x,y)是 F的耦合不動(dòng)點(diǎn)。

引理3［18］（廣義耦合不動(dòng)點(diǎn)定理）令(X,≤ )為一個(gè)偏序集，設(shè)X上有一個(gè)距離d，使得(X,d)是一個(gè)完備度量空間。令F:X×X→X為混合單調(diào)映射，且存在常數(shù)δ∈[0,1)，使得對(duì)任意x≥u,y≤v,有

假設(shè)：

（i）存 在 x0,y0∈ X 使 得 x0≤ F(x0,y0)，y0≥F(y0,x0)，或者 x0≥ F(x0,y0),y0≤ F(y0,x0)。

（ii）X×X中的每對(duì)元素都有下界和上界，即對(duì) 每 2 個(gè) (x,y),(x?,y?)∈X × X 均 存 在(u,v)∈ X × X可與(x,y),(x?,y?)比較。

2 正定解的存在性

其中，

證明考慮映射：對(duì)X,Y∈Ω，

Ω上的連續(xù)映射。證明分為5步：

（i）由條件易知

從而對(duì)任意X,Y∈Ω，

可見F(X,Y)∈ Ω，也即F:Ω × Ω → Ω。

（ii）對(duì) ?X1,X2,Y1,Y2∈ Ω，X1≤ X2，Y1≥ Y2，

可見F(X,Y)具有混合單調(diào)性。

（iii） 由 引 理 1 和 引 理 2， 對(duì) 任 意X,Y,U,V∈Ω，滿足

有

同理有

從而

其中δ已由式（3）給出。

有

類似可得

（v）任給 (X,Y)，(X*,Y*)∈ H+(n)× H+(n)，令

不 難 看 出 (U,V)≤(X,Y)，且 (U,V)≤(X*,Y*)，即H+(n)×H+(n)中的每對(duì)元素都有下界。

3 正定解的擾動(dòng)分析

考慮擾動(dòng)方程：

3.1 擾動(dòng)上界

定理2 令

則非線性矩陣方程（1）和其擾動(dòng)方程（4）分別有唯一正定解X和X?，且

證明 由θ＞0及定理1知，矩陣方程（1）有唯一正定解X≥Q。由 θ＜ 1及

再證估計(jì)式（5）：

用式（4）減去式（1）可得

整理得

3.2 Rice條件數(shù)

下面給出正定解Rice條件數(shù)的顯式表達(dá)式。

情形1復(fù)數(shù)域情形

由定理2知，若‖ΔAi‖,‖ΔBj‖,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n和‖ΔQ‖充分小，則擾動(dòng)方程（4）有唯一正定解?。

其中，

記h(Δ X)為ΔX的高階無窮小量：

定義線性算子L：Hn×n→ Hn×n：

對(duì)任意W ∈ Hn×n，

定義算子M:Hn×n→ Hn×n:

則式（9）等價(jià)于W-MW=V。

于是‖M‖＜1，I-M可逆。從而對(duì)任意矩陣V ∈ Hn×n，方程（9）有唯一解，故 L可逆。于是式

（8）可改寫為

則有

根據(jù) Rice的條件數(shù)理論［19］，定義矩陣方程（1）的唯一正定解的條件數(shù)為

其中，ξ,μ1,μ2,...,μm,η1,η2,...,ηn,ρ均為正參數(shù)。在式（10）中 取 ξ=μ1=…=μm=η1=…=ηn=ρ=1，可得絕對(duì)條件數(shù)Cabs(X)；取

得相對(duì)條件數(shù)Crel( X )。

令L為算子L的矩陣，易得

記

其中k為滿足k2=-1的虛數(shù)單位。

對(duì)i=1,2,…,m,j=1,2,…,n，令

Π為向量置換矩陣，使得vec(KT)= Πvec(K)。

對(duì)i=1,2,…,m;j=1,2,…,n，記

則可得

定理3令則由式（10）定義的條件數(shù)可表示為其中，

K=(ρ Sc,μ1Uc(1),...,μmUc(m),η1Vc(1),...,ηnVcnS,,,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n如c前定義。

注1由式（11），可得相對(duì)條件數(shù)為

其中，

情形2實(shí)數(shù)域情形

若方程（1）所有的系數(shù)矩陣A1,A2,...,Am,B1,B2,...,Bn,Q都是實(shí)矩陣，則其唯一正定解也是實(shí)矩陣。此時(shí)，類似于定理3，有

定理4令A(yù)1,A2,…,Am,B1,B2,…,Bn,Q都是實(shí)矩陣，設(shè)

則由式（11）定義的條件數(shù)可表示為

其中，

注2 由式（13），可得相對(duì)條件數(shù)為

其中，J1=(‖Q‖F(xiàn)Sr, ‖A1‖F(xiàn),...,‖Am‖F(xiàn),‖F(xiàn), …, ‖Bn‖F(xiàn))。

4 數(shù)值例子

本節(jié)利用數(shù)值實(shí)例來說明理論結(jié)果。程序采用 Matlab 7.1語言，機(jī)器精度為10-16。迭代結(jié)束條件為

例1 令m=n=2，考慮矩陣方程（1）的正定解。矩陣A1,A2,B1,B2,Q如下：

計(jì)算可得

由定理1，利用迭代式（2），迭代17步后可得矩陣方程（1）的唯一正定解

誤差為

誤差為

例2 令m=n=1，考慮矩陣方程X+A?X-1A-B?X-1B=Q 及擾動(dòng)方程?+?-1?-?-1?=?，其中，

經(jīng)計(jì)算，

由定理1迭代18次后得到唯一正定解：

此時(shí)誤差為

進(jìn)一步，不難驗(yàn)證對(duì)每個(gè)j=3,4,…,7,擾動(dòng)后矩陣方程?+?-1?-???-1?=?滿足定理2的所有假設(shè)，故分別有唯一正定解X?，且可分別由迭代（2）得到。此外，記 ΔX=X?-X，可分別通過式（5）得到‖ΔX‖的上界估計(jì)，具體數(shù)值見表1。

表1 X的擾動(dòng)估計(jì)Table 1 Perturbation bound of X

例3 考慮矩陣方程（1）的唯一正定解的Rice條件數(shù)，其中 m=1,n=2，a1=0.025+10-k，

由式（14）得，當(dāng)k取不同值時(shí)的Crel(X) 見表2，可見此例中唯一正定解是良態(tài)的。

表2 不同值下的Rice條件數(shù)Table 2 Rice condition number for different k

5 結(jié) 論