李 翀，謝秀萍

（福州大學 經濟與管理學院，福州 350116）

0 引言

灰色系統(tǒng)理論的研究對象之一是灰色預測模型，其中，GM(1，1)模型又是灰色預測理論的基礎模型。目前關于GM(1，1)模型的研究主要是從模型的性質以及適用范圍[1,2]，背景值構建[3,4]；初始值選擇[5,6]；與其他算法的組合[7,8]；引入時間項[9,10]；建模序列的優(yōu)化[11,12]；模型求解[13]等。GM系列模型是以確定數據為建模序列，無法直接對含有不確定數據的序列進行有效建模。隨著信息復雜性的增長，具有不確定特征的序列已隨處可見，這類的數據序列進行建模已引起眾多學者的關注。根據建模序列數據類型可以分為兩種：區(qū)間灰數序列預測[14-17]和灰色異構數據序列預測[17,18]。其中區(qū)間灰數序列建模方法主要有：（1）基于序列的幾何特征[14,15]；（2）基于序列的表征信息[16,17]；（3）組合模型[17,18]等。目前，無論是區(qū)間灰數序列還是異構數據序列預測模型，主要思想是將灰數轉化為實數構建預測模型，再還原為區(qū)間灰數。對于灰度波動較大的區(qū)間灰數序列，此類模型不僅對灰度變化較大的區(qū)間灰數擬合精度低，并且不能反映灰數灰度的未來的發(fā)展趨勢。

對于區(qū)間灰數序列，本文將分析在核和“灰度不減”公理下構建的傳統(tǒng)預測模型的誤差情況。重新構造兩組能夠反映上、下界變化特征的核序列，分別構建DGM(1，1)模型；根據將兩組預測值與傳統(tǒng)預測模型結合；最后推導得到新的區(qū)間灰數預測模型，并用算例驗證了模型的可行性。

1 基本概念

定義1[19]：既有下限a(k)又有上限b(k)的灰數稱為區(qū)間

定義2[19]：區(qū)間灰數?(k)的取值范圍稱為測度或信息域，記做u(k)=b(k)-a(k)。

定 義 3[19]：存 在 區(qū) 間 灰 數 ?(k)∈[a(k)，b(k)],則 稱灰數，記為為灰數?(k)的核；

公理1[19]：（灰度不減公理）兩個灰度不同的灰數進行和、差、積、商運算時，運算結果的灰度不小于灰度較大的灰數，為計算方便，通?？蓪⑦\算結果的灰度取為灰度較大的灰數的灰度。

推論1[19]：兩個信息域不同的區(qū)間灰數進行和、差、積、商運算時,運算結果的信息域不小于信息域較大的區(qū)間灰數的信息域。

設存在區(qū)間灰數序列X(?)={? (1)，?(2)，...，?(n)} ，其中 ?(k)∈[a(k)，b(k)]，根據定義1和定義2，由每個灰元的“核”和“測度”分別構成X(?)的核序列X0(?0)和測度序列UX，記作：

2 基于“灰度不減”公理的區(qū)間灰數預測模型

2.1 基于“灰度不減”公理的區(qū)間灰數預測模型建模原理

設 有 區(qū) 間 灰 數X(?)={? (1)，?(2)，...，?(n)},?(k)其核序列和測度序列分別為：

對核序列X0(?0)構建預測模型得到擬合序列

根據定義2和定義3，建立方程組：

解方程組得：

稱（1）為區(qū)間灰數序列X(?)的傳統(tǒng)預測模型。

2.2 傳統(tǒng)預測模型誤差分析

由公式（1）可知，序列X(?)的上、下限預測值分別為：

（1）當核預測值不存在誤差時。假設?0(k+1)=?0即將模型誤差都轉移到測度預測誤差上，則式（1）可調整為：

則區(qū)間灰數下、上限誤差值分別為：

由公式（2）、公式（3）可知，當核預測值不存在誤差時，區(qū)間灰數的上、下限誤差值存在關系ε1(k+1)+ε2(k+1)=0，且ε1(k+1)≥0，ε2(k+1)≤0

（2）當測度預測值不存在誤差時，假設預測誤差都轉移到核預測上，即其中即將測度預測值的誤差都轉移到核預測誤差上，則式（1）可調整為：

此時，區(qū)間灰數下、上限誤差值相等，為：

綜合公式（2）至公式（4）可得傳統(tǒng)區(qū)間灰數預測模型的下、上限的誤差分別為：

下、上限的平均誤差為：

3 基于“灰度不減”公理改進的區(qū)間灰數預測模型

3.1 基于“灰度不減”公理改進的區(qū)間灰數預測模型構建

上限預測誤差為ε2(k+1)=0

證畢。

由命題1可知對于傳統(tǒng)區(qū)間灰數預測模型，當對上、限分別取核預測值分別為和時，區(qū)間灰數預測誤差為0。當定義上、下限的核序列分別為時，可以提高模型預測精度。

為GM(1，1)模型的離散形式，簡稱DGM(1,1)模型；其中

累減還原式為：

由式（9）和式（10）可得到序列

=[ρ，ρ]T，其中：

將上、下限核預測值分別帶入公式（1）的上、下限預測模型，得到新的區(qū)間灰數預測模型為：

稱式（13）為改進的區(qū)間灰數預測模型。

3.2 基于“灰度不減”公理改進的區(qū)間灰數預測模型建模步驟

基于傳統(tǒng)區(qū)間灰數預測模型改進的區(qū)間灰數預測模型具體建模步驟為：

（1）由定義2得到序列X(?)的測度序列，得到最大測度值；

（2）由定義4分別確定序列X(?)的下、上限核序列；

（3）分別構建上、下限核序列的預測模型；

（4）將上、下限核序列的預測帶入公式（1）。

3.3 基于“灰度不減”公理改進的區(qū)間灰數預測模型性質分析

（1）模型的適用范圍

本文所研究的預測模型，通過對上、下限取不同的核序列，并分別建立DGM(1，1)模型，再結合“灰度不減公理”確定上、下限預測值。因此，模型的適用范圍主要取決于DGM(1，1)模型的適用范圍。

（2）模型預測值測度分析：

對于模型（13），其預測值的測度為：

與傳統(tǒng)區(qū)間灰數預測模型想比，其預測區(qū)間的測度隨著區(qū)間灰數上下限的變化而變化，對于測度變化較大的區(qū)間灰數序列預測具有較好的適應性。

（3）預測值誤差分析

4 算例分析

為了便于建模精度比較，將文獻[20]的算例和建模方法與傳統(tǒng)區(qū)間灰數建模方法及本文構建的區(qū)間灰數序列的預測模型的擬合結果進行比較，以驗證新模型的有效性。

表1 X(?)中的區(qū)間灰數

根據本文建模過程構建表1中序列X(?)的預測模型，具體步驟如下：

（1）計算序列X(?)的測度最大值

由定義2得到區(qū)間灰數序列X(?)的測度序列為測度最大值為測隊最小值為測度極值之差為顯然區(qū)間灰數序列X(?)的測度變化較大。

（2）構造上、下限核序列

（3）構造上、下限核序列的預測模型

對上、下限核序列建立DGM(1，1)模型，可得：

（4）區(qū)間灰數預測模型構建

由式（13）可得：

根據上式得到列X(?)的預測值，并與公式（1）的計算結果進行比較，如下頁表2所示。

表2 模擬結果比較

由表2可知，本文構建模型的平均相對誤差為1.61%，遠小于傳統(tǒng)方法，同時也小于文獻[20]方法的平均相對誤差，也就是本文模型有良好的預測精度。由表3對比三種方法得到的預測值的測度發(fā)現(xiàn)，公式（1）得到的測度預測值是保持不變的，而其他兩種方法的測度具有時變性。綜合考慮擬合值的預測誤差和測度的時變性，本文方法具有較好的擬合和預測效果。

表3 預測值測度比較

5 結論

基于核和“灰度不減”公理構建的區(qū)間灰數預測模型，對于灰度或測度波動大的序列擬合效果不好，且無法預測序列測度的發(fā)展趨勢。本文首先分析了傳統(tǒng)區(qū)間灰數預測模型的上、下限預測值的誤差組成，為提高區(qū)間灰數上下限的擬合精度，在原模型基礎上，分別構造新的上、下限核序列；然后分別建立上、下限核序列預測模型；最后將上、下限核序列預測值帶入傳統(tǒng)預測模型中，推導得到新的預測模型。新的預測模型不僅遵循了“灰度不減”公理，同時通過對上、下限取不同的核預測值提高了模型的擬合精度。實現(xiàn)對測度波動較大序列的有效擬合，同時考慮序列的動態(tài)發(fā)展，使測度具有時變性，從而擴大了模型的應用范圍。