李雪蕊，林 云

（重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065）

0 引 言

隨著通信技術(shù)和信號處理的飛速發(fā)展，自適應(yīng)濾波器在工程實(shí)踐中的應(yīng)用愈加廣泛，如信道均衡、回聲消除和系統(tǒng)辨識等。在自適應(yīng)濾波算法中，常見的有最小均方算法（Least Mean Square， LMS）和最小二乘算法（Recursive Least Square，RLS）。其中，LMS算法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度低，缺點(diǎn)是當(dāng)輸入信號自相關(guān)矩陣的特征值分布范圍廣時，算法收斂速度緩慢。RLS算法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，缺點(diǎn)是穩(wěn)定性差，計(jì)算復(fù)雜度高[1]。為了改善LMS算法和RLS算法存在的缺陷，文獻(xiàn)[2]首次提出了仿射投影算法（Affine Projection Algorithm，APA）。APA通過重復(fù)利用過去的輸入信號改善算法的相關(guān)性能，計(jì)算復(fù)雜度和收斂速度均介于LMS與RLS算法之間[3]。但是，當(dāng)系統(tǒng)存在沖激噪聲時，APA算法將會受到嚴(yán)重干擾，無法表現(xiàn)出良好的跟蹤性能。為了解決這一問題，文獻(xiàn)[4]將APA算法與符號算法（Sign Algorithm，SA）相結(jié)合，提出了一種能夠抗沖激干擾的仿射投影符號算法（Affine Projection Sign Algorithm，APSA）。然而，傳統(tǒng)的固定步長參數(shù)的APSA算法無法平衡收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，于是變步長仿射投影符號算法（Variable Step Size Affine Projection Sign Algorithm，VSS-APSA）得到了很大發(fā)展。變步長技術(shù)通過令算法在初始階段具有較大的步長值保證算法的快速收斂，同時在算法接近穩(wěn)態(tài)階段具有較小的步長值，保證了算法具有小的穩(wěn)態(tài)誤差[5-7]。因此，變步長技術(shù)可以很好地調(diào)節(jié)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。文獻(xiàn)[8]首次提出了VSS-APSA，但是其采用最小化函數(shù)更新步長，不能實(shí)時跟蹤系統(tǒng)的變化，且在非穩(wěn)定環(huán)境下性能嚴(yán)重衰減。文獻(xiàn)[9-10]則分別提出了改進(jìn)后的算法。

本文在基于修改后的誤差函數(shù)基礎(chǔ)上，提出了一種利用無噪先驗(yàn)誤差的功率與步長的非線性關(guān)系對步長值進(jìn)行迭代更新的新的VSS-APSA算法。仿真結(jié)果表明，該算法與傳統(tǒng)APSA算法、VSSAPSA算法相比，具有更快的收斂速度、更低的穩(wěn)態(tài)誤差和更高的穩(wěn)定性。

1 傳統(tǒng)的APSA算法

圖1給出了系統(tǒng)辨識模型下的自適應(yīng)濾波器框圖。濾波器的長度為L，第n次迭代的輸入為un=(un,un-1,…,un-L+1)T，ωn為濾波器第n次迭代時對ωo的估計(jì)值。期望信號dn=uTnωo+vn，誤差信號en=dn-uTnωn-1。

APA算法雖然在輸入信號嚴(yán)重相關(guān)時仍具有很快的收斂速度，但是當(dāng)系統(tǒng)存在沖激噪聲時，性能會嚴(yán)重衰減。為此，人們將基于l1范數(shù)的SA算法與APA算法相結(jié)合，提出了能夠抗沖激干擾的APSA算法。APSA算法的濾波器系數(shù)更新公式的推導(dǎo)過程如下：

利用拉格朗日乘數(shù)法，將式（1）改寫為：

對式（2）兩邊關(guān)于ωn求導(dǎo)，并令其等于零，得：

由式（1）、式（2）和式（3），可得APSA算法的濾波器系數(shù)更新公式：

式中，en,p代表后驗(yàn)誤差矢量，μ代表步長參數(shù)，γ代表拉格朗日乘子，Un代表輸入信號矩陣，sign(·)代表符號函數(shù)，en代表先驗(yàn)誤差矢量，T代表矩陣的轉(zhuǎn)置。式（4）中，由于無法在實(shí)踐中獲得en,p，因而用en來近似en,p。

2 VSS-APSA算法

2.1 傳統(tǒng)的VSS-APSA算法

固定步長的APSA算法，主要缺點(diǎn)是無法調(diào)節(jié)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。因此，變步長技術(shù)是一個能夠解決這一問題的好方法。文獻(xiàn)[8]中提出的VSS-APSA基于最小均方偏差（Mean Square Deviation，MSD）準(zhǔn)則，推導(dǎo)過程如下：

其中， ω ～n=ωo-ωn，μn代表可變步長。

對式（5）兩邊取l2范數(shù)平方的期望，得：

對式（6）關(guān)于μn求導(dǎo)，并令其為零，得：

傳統(tǒng)的VSS-APSA算法雖然改善了APSA算法的收斂性能和穩(wěn)態(tài)誤差性能，但是由于去掉了噪聲項(xiàng)，因此計(jì)算的步長值并不是最優(yōu)的，且在變步長μn的更新公式中由于應(yīng)用了最小函數(shù)，因此該算法在非穩(wěn)定環(huán)境下的性能將會嚴(yán)重衰減。

2.2 新提出的VSS-APSA算法

標(biāo)準(zhǔn)的誤差函數(shù)公式為：

本文所用到的修改后的誤差函數(shù)為：

圖2給出了標(biāo)準(zhǔn)誤差函數(shù)和修改后誤差函數(shù)的函數(shù)圖象。

圖2 不同的誤差函數(shù)圖像

由圖2可以看出，修改后的誤差函數(shù)具有非負(fù)性和對稱性，且當(dāng)x=0時取得最小值0，當(dāng)x趨于無窮大時能夠比標(biāo)準(zhǔn)誤差函數(shù)更快地收斂于最大值1。這些特性意味著如果采用修改后的誤差函數(shù)更新步長，在初始階段，函數(shù)的變化速率較快，即算法的收斂速度快；在穩(wěn)態(tài)階段，函數(shù)的變化速率趨于零，即算法的穩(wěn)態(tài)誤差低；當(dāng)出現(xiàn)沖激干擾時，函數(shù)值為1，即步長不再進(jìn)行更新，從而保證了算法具有良好的抗沖激噪聲特性。

本節(jié)提出一種基于修改后的誤差函數(shù)的VSSAPSA算法。通過使用修改后的誤差函數(shù)作為步長函數(shù)，新算法利用無噪先驗(yàn)誤差的功率與步長的非線性關(guān)系對步長值進(jìn)行迭代更新，迭代公式為：

式中，ρ＞0代表比例參數(shù)，en,f=en-vn=(ωo-ωn)Tun代表無噪先驗(yàn)誤差，E(e2n,f)=E(e2n)-E(v2n)代表無噪先驗(yàn)誤差的功率。由于E(e2n,f)在計(jì)算過程中需要用到輸入信號的統(tǒng)計(jì)信息，因此無法直接通過計(jì)算得出所需的期望值。針對這一問題，文獻(xiàn)[11-12]給出了一種遞歸方法對期望值進(jìn)行估計(jì)：

式中，ε代表極小的正數(shù)，作用是避免輸入信號的功率為零時算法停滯；E(e2n)代表誤差信號en的功率，E(v2n)代表環(huán)境噪聲vn的功率，E(u2n)代表輸入信號un的功率，Rn,eu代表輸入信號與誤差信號的互相關(guān)矩陣。

實(shí)際應(yīng)用中，由于無法獲得輸入信號的功率以及輸入信號與誤差信號的互相關(guān)矩陣，因此 文獻(xiàn)[11-12]提供了一種遞歸方法用于對其進(jìn)行近似計(jì)算：

式中，β代表平滑因子。

綜上，本節(jié)提出一種新的VSS-APSA算法，它的濾波器系數(shù)更新公式為：

式中步長μn由式（11）控制。

3 算法仿真與性能分析

仿真采用一個脈沖響應(yīng)長度為L=32的待辨識系統(tǒng)。輸入信號是均值為零的高斯白噪聲，輸出信噪比為30 dB，沖激噪聲由kiAi產(chǎn)生，ki是成功概率P[ki=1]=pr的伯努利過程，本次試驗(yàn)設(shè)定pr=0.05。Ai是均值為零的高斯隨機(jī)過程，且其功率為σ2A=1 000σ2y，σ2y是自適應(yīng)系統(tǒng)的輸出功率。本次試驗(yàn)采用歸一化均方偏差（Normalized Mean Square Deviation，NMSD）作為衡量算法性能的標(biāo)準(zhǔn)，其中其中ω ～i=ωo-ωi。所有的仿真結(jié)果都是通過對100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)結(jié)果取平均而獲得。

圖3給出了在沒有沖激噪聲干擾的情況下，當(dāng)投影階數(shù)K=2、μ1=0.01、μ2=0.000 5、ε=0.000 1時，新算法與APSA[4]的NMSD隨迭代次數(shù)變化的性能曲線圖。由圖3可見，與傳統(tǒng)的APSA算法相比，新算法表現(xiàn)出更快的收斂速度和更低的穩(wěn)態(tài)誤差，且當(dāng)ρ=0.05、β=0.995時，新算法可取得最優(yōu)性能。

圖3 不同參數(shù)下新算法的性能曲線

圖4給出了當(dāng)沖激噪聲干擾存在時，不同投影階數(shù)下傳統(tǒng)APSA、VSS-APSA[8]與新算法的性能曲線圖。其中，在傳統(tǒng)APSA算法中，K=4。雖然VSS-APSA算法在前5 000次迭代性能優(yōu)于新算法，但其跟蹤性能在沖激噪聲出現(xiàn)后嚴(yán)重衰減。這種衰減是由式（8）中的最小函數(shù)導(dǎo)致的。然而，新算法在沖激噪聲出現(xiàn)前后均表現(xiàn)出良好的跟蹤性能，即新算法的抗沖激噪聲性能優(yōu)于傳統(tǒng)的APSA和VSS-APSA。

圖4 不同投影階數(shù)下各算法的性能曲線圖

4 結(jié) 語

本文在基于誤差函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種新的變步長仿射投影符號算法。通過使用修改后的誤差函數(shù)作為步長函數(shù)，提出的算法利用無噪先驗(yàn)誤差的功率與步長的非線性關(guān)系對步長值進(jìn)行迭代更新，并與APSA、傳統(tǒng)VSS-APSA算法進(jìn)行了比較。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)變步長仿射投影符號算法相比，提出的算法具有更快的收斂速度、更小的穩(wěn)態(tài)誤差以及更強(qiáng)的抗沖激干擾特性。