曹裕捷 張彬橋

(1.三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2.梯級(jí)水電站運(yùn)行與控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 宜昌 443002)

電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化(ORPF)是典型的多變量多約束的非線(xiàn)性高維規(guī)劃問(wèn)題[1]，常規(guī)優(yōu)化方法如內(nèi)點(diǎn)法[2]、非線(xiàn)性規(guī)劃法[3]等處理ORPF 并不理想，收斂性較差、計(jì)算量大、耗時(shí)多且易陷入局部最優(yōu).源于仿生思想的智能算法如遺傳算法[4]、粒子群算法[5]、差分進(jìn)化算法[6]等被引入ORPF求解并取得了較好效果.

相比根據(jù)偏好信息加權(quán)將多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題再求解的傳統(tǒng)方法，基于帕累托(Pareto)最優(yōu)[7]的多目標(biāo)智能算法不需事先權(quán)衡各目標(biāo)函數(shù)的偏好參數(shù)即可搜索得到一系列帕累托最優(yōu)解，避免了嚴(yán)重依賴(lài)經(jīng)驗(yàn)的參數(shù)試探工作，在無(wú)功優(yōu)化領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.目前，相關(guān)研究主要集中在引入并改進(jìn)單一智能算法的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化.文獻(xiàn)[8-9]采用快速非支配解排序遺傳算法及其改進(jìn)算法(NSGA、NSGAII)求解以最小化有功網(wǎng)損和電壓偏移為目標(biāo)的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化模型，在局部最優(yōu)解與全局最優(yōu)解間達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡；文獻(xiàn)[10-11]將無(wú)功電壓控制問(wèn)題視為混合整數(shù)非線(xiàn)性?xún)?yōu)化問(wèn)題加以處理，通過(guò)擴(kuò)展PSO 算法使其能解決連續(xù)和離散變量混合控制問(wèn)題，基于全面學(xué)習(xí)思想改進(jìn)步長(zhǎng)更新策略以避免算法早熟并提高收斂能力；文獻(xiàn)[12-13]采用改進(jìn)強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法(SPEA、SPEAII)進(jìn)行多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化，并在目標(biāo)函數(shù)中考慮了碳排放和調(diào)度經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)；文獻(xiàn)[14]引入多目標(biāo)差分進(jìn)化算法求解以系統(tǒng)網(wǎng)損最小、電壓偏移最低、電壓穩(wěn)定裕度最高為目標(biāo)的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化模型，取得了比傳統(tǒng)加權(quán)法更為理想的優(yōu)化結(jié)果.但實(shí)際應(yīng)用表明，隨著無(wú)功優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)在迭代過(guò)程中的性質(zhì)變化，單一智能優(yōu)化算法無(wú)法保證各個(gè)尋優(yōu)階段的全局適應(yīng)性和魯棒性及性能優(yōu)勢(shì).若能使多種智能優(yōu)化算法在不同進(jìn)化階段優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，有望得到更好的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化結(jié)果[15].

本文綜合分析多種智能算法在整體搜索能力、收斂速度、適應(yīng)性和魯棒性等方面的特征，提出一種基于多種智能算法動(dòng)態(tài)混合策略的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化方法(HIA)，以適應(yīng)不同尋優(yōu)階段各算法優(yōu)勢(shì)特征，提高整體尋優(yōu)效率.將新方法應(yīng)用于IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行各項(xiàng)優(yōu)化指標(biāo)的算法對(duì)比測(cè)試，證明新方法在多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化過(guò)程的全局表現(xiàn)更優(yōu).

1 多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)有多種不同形式.為對(duì)比方便，本文選取常見(jiàn)的系統(tǒng)網(wǎng)損最小和電壓偏移最優(yōu)目標(biāo)，分別建立如式(1)、(2)所示的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化模型.

式 中 ，Ploss為 系 統(tǒng) 有 功 網(wǎng) 損 ，Voffset為 節(jié) 點(diǎn) 電 壓 偏 移 ，l為系統(tǒng)總支路數(shù)，n為除平衡節(jié)點(diǎn)外網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)，Gk(i，j)為節(jié)點(diǎn)i和j之間的電導(dǎo)，Ui、Uj分別為節(jié)點(diǎn)i和j的電壓，U0i為i節(jié)點(diǎn)的給定電壓值，ΔUi為i節(jié)點(diǎn)電壓給點(diǎn)最大偏移值，θi和θj分別為節(jié)點(diǎn)i和j相角.

電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化的狀態(tài)變量包含發(fā)電機(jī)無(wú)功出力和各節(jié)點(diǎn)電壓，控制變量包括發(fā)電機(jī)發(fā)出無(wú)功功率大小和發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)電壓水平、電容器組投切以及可調(diào)變壓器變比.這些狀態(tài)變量和控制變量受公式(3)所示的潮流方程等式約束和公式(4)所示的可調(diào)范圍不等式約束.

式中，PGi是發(fā)電機(jī)注入有功，PL是負(fù)荷消耗有功，Gij和Bij分別是節(jié)點(diǎn)i、j間支路電導(dǎo)和電納，NG、NL、NT、NC分別為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)、負(fù)荷節(jié)點(diǎn)、可調(diào)變壓器節(jié)點(diǎn)、補(bǔ)償電容器節(jié)點(diǎn)數(shù)量，VGimax和VGimin是發(fā)電機(jī)電壓的上下限，VLimax和VLimin是負(fù)荷電壓的上下限，QGjmax和QGjmin是發(fā)電機(jī)無(wú)功出力的上下限，Timax 和Timin是可調(diào)變壓器變比的上下限，QCjmax和QCjmin是無(wú)功補(bǔ)償容量的上下限.

2 智能優(yōu)化算法的動(dòng)態(tài)混合策略

2.1 備選多目標(biāo)智能算法集

多目標(biāo)智能優(yōu)化算法是一類(lèi)龐大的算法家族，用其進(jìn)行無(wú)功優(yōu)化的基本思想和計(jì)算流程也類(lèi)似，但在全局和局部搜索能力、跳出局部最優(yōu)解能力和收斂速度等方面卻各有優(yōu)勢(shì).根據(jù)文獻(xiàn)[15]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，本文選取代表性的粒子群算法(PSO)、遺傳算法(GA)、差分進(jìn)化(DE)和導(dǎo)向搜索算法(OSA)構(gòu)成備選算法集進(jìn)行對(duì)比研究，綜合分析并繪制4種算法計(jì)算特性的優(yōu)劣勢(shì)五邊形圖，如圖1所示.五邊形的5個(gè)頂點(diǎn)(A、B、C、D、E)分別表示算法的5個(gè)評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)及其優(yōu)劣程度.圖1清晰反映出4種算法的局限性及其可能的互補(bǔ)性.通過(guò)對(duì)基本思想和計(jì)算流程都具備共性的智能優(yōu)化算法進(jìn)行恰當(dāng)混合，在不同優(yōu)化階段采用不同優(yōu)化算法產(chǎn)生子代個(gè)體，可望實(shí)現(xiàn)多種算法優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)以提高整體尋優(yōu)效率.

圖1 智能算法計(jì)算特征示意圖

2.2 Pareto最優(yōu)與個(gè)體適應(yīng)度

多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)兼顧經(jīng)濟(jì)和電壓穩(wěn)定，且難以確定各目標(biāo)函數(shù)權(quán)重，其解不唯一，即不存在經(jīng)濟(jì)性和電壓穩(wěn)定同時(shí)最優(yōu)的解，而是一組非劣解的集合，稱(chēng)為Pareto最優(yōu)解集.具體定義如下：

多目標(biāo)最優(yōu)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為F=minfi(x)，i=1，2，…，n.其中，fi(x)為第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)，n為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量.當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足公式(5)時(shí)，認(rèn)為x1支配x2，記作x1?x2.

在多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中，通常是在一個(gè)特定的集合中討論解的Pareto最優(yōu).例如集合S={xi，i=1，2，…，n}，若x∈S，且不存在x'∈S使x'?x，則把x稱(chēng)為集合S的非支配解.包含所有非支配解x的集合P稱(chēng)為S的Pareto最優(yōu)解集.所有非支配解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值稱(chēng)為Pareto前沿，如式(6)所示.

可見(jiàn)，多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化即尋找一組控制變量的Pareto最優(yōu)解集.在智能優(yōu)化算法種群迭代過(guò)程中，可基于Pareto最優(yōu)概念來(lái)判斷個(gè)體的優(yōu)劣程度，為支配更多個(gè)體的個(gè)體分配更優(yōu)的適應(yīng)度.

2.3 智能算法動(dòng)態(tài)混合策略

圖2 智能算法動(dòng)態(tài)混合過(guò)程

3 多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化的混合智能算法實(shí)現(xiàn)

3.1 編碼和越限處理

所有備選無(wú)功優(yōu)化智能算法統(tǒng)一采用混合實(shí)數(shù)編碼，連續(xù)控制變量可在其上下限范圍據(jù)實(shí)取值，離散控制變量就近取整.發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)電壓幅值UG(連續(xù)變量)、并聯(lián)電容器補(bǔ)償容量QC(離散變量)和可調(diào)變壓器變比tT(離散變量)的初始種群混合實(shí)數(shù)編碼見(jiàn)式(8).

通過(guò)Pareto支配關(guān)系進(jìn)行個(gè)體適應(yīng)度分配并確定備選算法使用比例.迭代過(guò)程中，當(dāng)控制變量和狀態(tài)變量如無(wú)功功率QG和節(jié)點(diǎn)電壓Ui越限，即違背等式和不等式約束公式(3)和(4)時(shí)，采用式(9)所示的罰函數(shù)進(jìn)行校正，令F較小的個(gè)體支配F較大的個(gè)體.

Ui，max、Ui，min、QGi，max、QGi，min為相應(yīng)越限量的上下限；w1、w2為除PV 節(jié)點(diǎn)外的節(jié)點(diǎn)電壓和發(fā)電機(jī)無(wú)功越限罰因子，通?？稍O(shè)為0.5.

3.2 具體算法流程

基于混合智能算法的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化過(guò)程如下：

(1)系統(tǒng)和種群初始化：輸入目標(biāo)電力系統(tǒng)及控制變量參數(shù)，形成用于潮流計(jì)算的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；生成規(guī)模為n的初始種群S(k)，k=0，最大迭代次數(shù)T.

(2)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算：對(duì)S(k)的個(gè)體用牛拉法計(jì)算系統(tǒng)潮流，根據(jù)式(1)、(2)計(jì)算系統(tǒng)有功網(wǎng)損和電壓偏移，若違反式(3)、(4)，則根據(jù)式(9)計(jì)算越限罰函數(shù)值.

(3)進(jìn)化計(jì)算：根據(jù)S(k)中個(gè)體之間的Pareto支配關(guān)系進(jìn)行適應(yīng)度分配；按照式(7)和圖2步驟，將備選算法j(j=1，2，…，J)作用于父群體并從結(jié)果中隨機(jī)選取數(shù)量為的個(gè)體構(gòu)成，合并所有得到新種群Q(k).

(4)對(duì)Q(k)的個(gè)體進(jìn)行潮流計(jì)算，求得目標(biāo)函數(shù)值和罰函數(shù)值.合并S(k)和Q(k)，得到R(k).

(5)計(jì)算規(guī)模為2n的種群R(k)中個(gè)體之間的Pareto支配關(guān)系并據(jù)此分配個(gè)體適應(yīng)度，并根據(jù)適應(yīng)度值篩選n個(gè)優(yōu)勢(shì)個(gè)體進(jìn)入下一代群體S(k+1).

(6)迭代，k=k+1，若k＞T，則優(yōu)化過(guò)程結(jié)束；否則轉(zhuǎn)到步驟(3).

基于混合智能算法的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化計(jì)算流程圖如圖3所示.

4 算例分析

4.1 算例及參數(shù)

圖3 混合智能算法的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化計(jì)算流程圖

為驗(yàn)證混合智能算法(HIA)求解多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題的有效性，本文采用IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行混合算法和單一PSO、GA、DE、OSA 算法的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化仿真計(jì)算并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析比較.IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)如圖4所示，系統(tǒng)控制變量參數(shù)見(jiàn)表1.

圖4 IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

表1 IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)控制變量

控制變量采用實(shí)數(shù)編碼，初始種群規(guī)模和迭代次數(shù)設(shè)置為100，GA 算法的交叉和變異概率分別設(shè)定為0.8與0.02，交叉和變異參數(shù)取20，PSO 算法的慣性權(quán)重0.5+rand/2，加速系數(shù)均設(shè)置為1.5，DE 算法的交叉概率和變異系數(shù)取0.5和0.3，OSA 算法的導(dǎo)向鄰域控制參數(shù)線(xiàn)性變化.

4.2 Pareto前沿對(duì)比

圖5是HIA 和PSO、GA、DE、OSA 5種算法用于IEEE 30 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化獲得最終代Pareto前沿.由圖5容易發(fā)現(xiàn)HIA 相比其它4種算法獲得了更優(yōu)的Pareto前沿：Pareto最優(yōu)解集在目標(biāo)空間大致沿一定曲線(xiàn)趨勢(shì)展開(kāi)，所含候選解不僅數(shù)量眾多且分布范圍廣闊均勻，網(wǎng)損和電壓偏移目標(biāo)函數(shù)值也最靠近坐標(biāo)軸.

圖5 5種算法的Pareto前沿

Pareto前沿提供了不同目標(biāo)維度下的多個(gè)候選解，供決策者在不同運(yùn)行背景下靈活選取.由于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化包括網(wǎng)損和電壓偏移，可根據(jù)實(shí)際需要在滿(mǎn)足網(wǎng)損及電壓偏移某個(gè)目標(biāo)前提下取另一目標(biāo)的最優(yōu)值.針對(duì)本算例，可在滿(mǎn)足網(wǎng)損小于6.8 MW 前提下比較電壓偏移；或滿(mǎn)足電壓偏移小于3.6 pu.時(shí)比較最小網(wǎng)損.按上述兩種比較方式選出圖5中各算法滿(mǎn)足條件的最優(yōu)解及其網(wǎng)損和電壓偏移目標(biāo)函數(shù)值見(jiàn)表2.

表2 兩種比較方式下的最優(yōu)解

方式1當(dāng)滿(mǎn)足網(wǎng)損小于6.8MW 時(shí)，HIA 獲得了各對(duì)比算法中最小電壓偏移4.128pu.，PSO 和DE則沒(méi)有獲得網(wǎng)損小于6.8MW 的解.方式2當(dāng)滿(mǎn)足電壓偏移小于3.6pu.時(shí)，系統(tǒng)最小網(wǎng)損仍然是HIA 獲取的6.931MW 最優(yōu)解.兩種比較方式都表明基于混合智能算法的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化方法的尋優(yōu)結(jié)果最好.

4.3 外部解比較

Pareto前沿?zé)o法反映算法的收斂速度，需進(jìn)一步比較各算法多次計(jì)算的外部解.本例中的外部解定義如式(12)、式(13)所示.

考慮到智能算法的隨機(jī)性，將各算法獨(dú)立運(yùn)算60次，每次迭代次數(shù)100，按式(12)、式(13)可分別在每代得到fL與fV的60個(gè)外部解取其均值，繪制有功網(wǎng)損fL與電壓偏移fV外部解的代際收斂曲線(xiàn)與盒須分布，如圖6～7所示.

圖6 網(wǎng)損和電壓偏移的外部解收斂曲線(xiàn)

圖7 網(wǎng)損和電壓偏移的外部解盒須圖

由圖6可知，無(wú)論系統(tǒng)網(wǎng)損還是電壓偏移，HIA相比其它算法都具有更快的收斂速度，曲線(xiàn)更靠近坐標(biāo)軸且最終獲得的外部解均值最小，最終Pareto前沿分布范圍更廣.盒須圖常用來(lái)表達(dá)解集個(gè)體的分布情況，其矩形區(qū)域覆蓋50%的樣本，矩形中線(xiàn)表示解集的中位數(shù)，上下邊緣分別表示解集的上下四分位數(shù).通過(guò)觀察圖7所示盒須圖可知，HIA 外部解集不僅具有更小中位數(shù)，且解的分布顯示出更好的集中性，說(shuō)明算法的穩(wěn)定性和一致性較好.

5 結(jié) 論

基于混合智能算法的多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化新方法，通過(guò)多種智能優(yōu)化算法動(dòng)態(tài)混合策略增大迭代過(guò)程中優(yōu)勢(shì)算法的使用比例以產(chǎn)生更多的優(yōu)勢(shì)個(gè)體，提高整體尋優(yōu)效率.將新方法用于標(biāo)準(zhǔn)IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)多目標(biāo)無(wú)功優(yōu)化，并從Pareto前沿、外部解收斂速度及分布情況等方面與單一算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較，新方法獲得了最優(yōu)的Pareto前沿并具備更好收斂性.新方法未考慮特定算法的不同組合效果，后續(xù)可進(jìn)一步研究多種算法協(xié)同互補(bǔ)的內(nèi)部機(jī)理和適配特性以建立更優(yōu)的算法組合備選池和組合策略.