☉江蘇省南京市上元中學(xué) 王圣蕓

我們注意到，最近三年來(lái)，由中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)推廣的首屆國(guó)家教學(xué)成果獎(jiǎng)“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”在全國(guó)開(kāi)展了3次推廣活動(dòng)，該教學(xué)法主要倡導(dǎo)“單元教學(xué)”，特別是“三學(xué)”（學(xué)材再建構(gòu)、學(xué)法三結(jié)合、學(xué)程重生成）得到很多一線教師的積極響應(yīng)，近年來(lái)在《中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）》能檢索出相當(dāng)數(shù)量的文獻(xiàn)．然而我們也注意到，因?yàn)閷?duì)單元教學(xué)的理解比較膚淺，教學(xué)實(shí)踐時(shí)往往表現(xiàn)出一些“只見(jiàn)其形，未得其神”的尷尬課例．本文先梳理近期教學(xué)觀摩所見(jiàn)的一節(jié)“二元一次方程組”單元起始課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)評(píng)課與商榷意見(jiàn)．

一、“二元一次方程組”單元起始課教學(xué)概述

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 實(shí)際問(wèn)題，引入新知

問(wèn)題背景：籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分．

問(wèn)題1：籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分，某隊(duì)在一次比賽中勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)，得到16分，你能得到怎樣的關(guān)系式？

教學(xué)組織：學(xué)生列出方程2x＋y=16．教師跟進(jìn)追問(wèn)這是什么方程，類比一元一次方程的定義，引導(dǎo)學(xué)生歸納定義出這是二元一次方程，并形成課題與板書(shū)．接下來(lái)安排一組練習(xí)，鞏固二元一次方程的概念，以及如何靈活變換不同表示方法．

跟進(jìn)練習(xí)：（1）在方程x＋y=10中，用x表示y，得______，用y表示x，得______.

（2）在方程x-2y-1=0中，用x表示y，得______，用y表示x，得______.

（3）在方程3x-2y=1中，用x表示y，得______，用y表示x，得______.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 列表研究“不定方程”的解

探究：滿足方程2x＋y=16，且符合問(wèn)題實(shí)際的解：

表1

跟進(jìn)練習(xí)：列表探究方程x＋y=10的自然數(shù)解：

表2

教學(xué)組織：通過(guò)列表分析實(shí)際問(wèn)題的解，發(fā)現(xiàn)在表格中有一組“公共解”，為進(jìn)一步定義二元一次方程組的解提供了一個(gè)歸納的情境．并通過(guò)PPT呈現(xiàn)圖1：

圖1

在此基礎(chǔ)上歸納出二元一次方程組的解的定義．

順便將開(kāi)課階段的問(wèn)題情境適當(dāng)改編呈現(xiàn)，如下：

籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得2分，負(fù)一場(chǎng)得1分，某隊(duì)在10場(chǎng)比賽中得到16分，那么這個(gè)隊(duì)勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？

學(xué)生就可發(fā)現(xiàn)上面列表發(fā)現(xiàn)的那一組公共解就是這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解．

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 研究“消元”解二元一次方程組

例1 用加減消元法解下列方程：

例2 用代入消元法解下列方程：

教學(xué)組織：教師準(zhǔn)備了上述兩組例題，結(jié)果因?yàn)榻虒W(xué)時(shí)間不足，只能“匆匆示范”，學(xué)生是否真正掌握、深刻理解消元思想，因?yàn)闆](méi)有見(jiàn)到有質(zhì)量的對(duì)話與展示，難以評(píng)價(jià)．

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 完善生成“結(jié)構(gòu)化板書(shū)”

教師根據(jù)本課所學(xué)，將主要內(nèi)容和黑板上已形成的部分內(nèi)容進(jìn)行關(guān)聯(lián)、轉(zhuǎn)化，形成如圖2所示的結(jié)構(gòu)化板書(shū)，成為結(jié)課階段一個(gè)教學(xué)亮點(diǎn)．

圖2

二、評(píng)課與商榷

教學(xué)研究的經(jīng)典話題一般是“教什么”“教誰(shuí)”“怎么教”．這些我們熟悉的教研觀點(diǎn)被國(guó)外包裝為所謂的PCK理論，再經(jīng)由國(guó)內(nèi)一些數(shù)學(xué)教育專家學(xué)者的推介，成為目前引發(fā)關(guān)注的MPCK研究．事實(shí)上，通俗來(lái)說(shuō)，就是教學(xué)內(nèi)容，對(duì)學(xué)情的研判，如何組織教學(xué)．以下就圍繞這三個(gè)方面，對(duì)上面的課例進(jìn)行評(píng)析與商榷．

1.學(xué)材再建構(gòu)的前提是深刻理解教學(xué)內(nèi)容

這里所指的“深刻理解”就是被鄭毓信教授反復(fù)推介的旅美數(shù)學(xué)教育研究者馬立平博士在名著《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握與教學(xué)》中提及的“深刻理解”，即追求數(shù)學(xué)知識(shí)的深度、廣度與貫通度．以二元一次方程組為例，消元求解二元一次方程組當(dāng)然是全章核心內(nèi)容，但是二元一次方程（組）的定義，它的相關(guān)概念如二元一次方程（組）的解，如何驗(yàn)證一組數(shù)對(duì)是否為某二元一次方程的解也是十分重要的準(zhǔn)備知識(shí)．不可像上文課例中一樣，“一帶而過(guò)”．事實(shí)上“精彩是不容錯(cuò)過(guò)的”，比如，師生在得出二元一次方程的定義之后，可聯(lián)系、類比一元一次方程的定義、一般形式（形如ax＋b=0，其中a≠0），給出二元一次方程的一般形式ax＋by=c（其中a、b、c為常數(shù)，且a、b不能為0），二元一次方程組的一般形式c、m、n、k為常數(shù)）．也許有老師說(shuō)，教材上都沒(méi)有給出它們的一般形式，為什么一定要補(bǔ)充？這就需要我們想清這類一般形式在整個(gè)數(shù)式、方程學(xué)習(xí)征途中的前后一致性．學(xué)生以后會(huì)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的一般形式、一元二次方程的一般形式、二次函數(shù)的一般形式，在七年級(jí)是有必要或值得向?qū)W生補(bǔ)充這些簡(jiǎn)單方程或方程組的“一般形式”的．

2.基于學(xué)情，適合的教學(xué)內(nèi)容才是好的

如上所述，單元教學(xué)是基于深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的前后一致、邏輯連貫而預(yù)設(shè)的，但在具體教學(xué)實(shí)施時(shí)，還需要考慮和研判學(xué)情，不能將課前的所有預(yù)設(shè)全盤(pán)托出，“完成所有課前預(yù)設(shè)”的教學(xué)是糟糕的，因?yàn)樾闹兄挥薪虒W(xué)設(shè)計(jì)，而沒(méi)有了學(xué)生和學(xué)情的觀察與研判．這樣來(lái)看，課前的預(yù)設(shè)要盡可能采取開(kāi)放式教學(xué)的問(wèn)題設(shè)計(jì)，比如，安排讓學(xué)生討論二元一次方程組的解法時(shí)，就需要一些十分簡(jiǎn)單的二元一次方程組，以便學(xué)生能從不同角度快速消元、轉(zhuǎn)化成功，而不宜在起始課就給出復(fù)雜形式的二元一次方程組，也不宜一下子推出多個(gè)二元一次方程組安排學(xué)生來(lái)求解，因?yàn)楸菊n主要任務(wù)是生成新知、定義新知、理解新知、運(yùn)用新知，而新知的重點(diǎn)內(nèi)容體現(xiàn)了二元一次方程及解的概念、二元一次方程組及解的概念，學(xué)生理解“公共解”的意義，并能分析一組有序數(shù)組是否為方程組的公共解．可見(jiàn)，在上文課例中給出兩組用消元法解二元一次方程組的習(xí)題是超量的，使得教學(xué)主題發(fā)生偏離，需要?jiǎng)h減，將更多的教學(xué)時(shí)間讓位于前面概念的歸納與理解鞏固．

3.預(yù)設(shè)開(kāi)放教學(xué)，相機(jī)停留與推進(jìn)學(xué)程

南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授倡導(dǎo)“從開(kāi)放題走向開(kāi)放式教學(xué)”，在一線教學(xué)實(shí)踐中并沒(méi)有得到太多的關(guān)注，原因是多方面的．筆者認(rèn)為，開(kāi)放式教學(xué)之所以難在一線教師中推廣，與當(dāng)前“習(xí)題單”式的導(dǎo)學(xué)案營(yíng)造的教學(xué)生態(tài)有很大關(guān)系，這類導(dǎo)學(xué)案習(xí)題量大，數(shù)學(xué)課堂被大量、密集的習(xí)題占據(jù)，教師也就不可能有開(kāi)放式教學(xué)．二是，開(kāi)放式教學(xué)需要教師展開(kāi)追問(wèn)與即時(shí)評(píng)價(jià)，而這些都對(duì)教師專業(yè)基本功提出了很高的要求．但是，我們并不能因?yàn)殡y就放棄開(kāi)放教學(xué)的追求與努力，而應(yīng)該作為心向往之的努力目標(biāo)．具體來(lái)說(shuō)，開(kāi)放式教學(xué)所設(shè)計(jì)的問(wèn)題需要精心準(zhǔn)備、打磨，比如，安排學(xué)生探究二元一次方程的解時(shí)，可以先充分放開(kāi)探究任意數(shù)組，只要滿足方程的等式成立，然后限制到考慮正整數(shù)解，這樣符合要求的有序數(shù)對(duì)就很有限了，便于學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，而且教師也能充分駕馭、即時(shí)點(diǎn)評(píng)、跟進(jìn)追問(wèn)、引導(dǎo)學(xué)生互評(píng)．

三、寫(xiě)在后面

單元教學(xué)是當(dāng)前教研熱點(diǎn)，但是教學(xué)研究并不是簡(jiǎn)單的“蹭熱點(diǎn)”，而要真正靜心閱讀與實(shí)踐反思（相關(guān)建議可參閱鄭毓信教授的文獻(xiàn)［3］），想清單元教學(xué)的課前用力點(diǎn)何在，如何基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)情、理解教學(xué)來(lái)優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，真正讓課堂簡(jiǎn)約起來(lái)、開(kāi)放起來(lái)，是值得我們認(rèn)真思考的.當(dāng)然，所有的努力都會(huì)指向我們的專業(yè)基本功的精進(jìn)與發(fā)展．