趙 超，楊慶東

(北京信息科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100192)

0 引言

在機(jī)械設(shè)備復(fù)雜的工況環(huán)境中，噪聲對(duì)機(jī)械信號(hào)特征提取造成了嚴(yán)重障礙，信號(hào)去噪成為信號(hào)分析中的關(guān)鍵一步。Huang等[1]提出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)方法能對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)分解及平穩(wěn)化處理。該方法將信號(hào)分解成單分量成分，通過Hilbert變換揭示信號(hào)局部瞬時(shí)變化規(guī)律，具備自適應(yīng)性強(qiáng)、多分辨率的特點(diǎn)，在地震信號(hào)、語音識(shí)別、軸承故障診斷[2]等方面得到廣泛應(yīng)用。小波包分析是小波變換進(jìn)一步細(xì)化的信號(hào)處理方法，具有多尺度分解的特性[3]，可有效克服小波分解在高頻段頻率分辨率及低頻段時(shí)間分辨率方面的局限性，且隨著小波包變換尺度增加，白噪聲能量急劇降低，小波包變換對(duì)白噪聲具備較強(qiáng)的抑制作用。小波包能量法用于信號(hào)降噪[4-7]，在水聲信號(hào)識(shí)別、礦山爆破等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

本文結(jié)合了EMD和小波包能量法的各自優(yōu)勢(shì)，提出了一種基于EMD和小波包能量法的信號(hào)去噪方法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。

1 EMD理論

EMD信號(hào)分解算法根據(jù)信號(hào)自身的特點(diǎn),自主地抽取信號(hào)內(nèi)在的固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function，IMF),是一種適用于分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)的方法[8]。在該算法中，抽取合格的IMF分量必須滿足2個(gè)條件:

1)IMF函數(shù)在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)，局部極值點(diǎn)和過零點(diǎn)數(shù)目必須相等或者相差不超過1個(gè);

2)在任意時(shí)刻點(diǎn)，局部上包絡(luò)線和下包絡(luò)線的平均值為零。

運(yùn)用EMD方法對(duì)原始信號(hào)s(t)進(jìn)行分解，具體步驟如下：

1)首先找出信號(hào)s(t)所有局部極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；

2)通過三次樣條插值法分別將局部極大值點(diǎn)擬合形成數(shù)據(jù)的上包絡(luò)線，局部極小值點(diǎn)擬合形成數(shù)據(jù)的下包絡(luò)線；

3)將上一步得出的上包絡(luò)線和下包絡(luò)線進(jìn)行求均值運(yùn)算，得到m1(t)；

4)用信號(hào)s(t)減去平均包絡(luò)m1(t)得到新信號(hào)h10(t)。判斷h10(t)是否滿足合格IMF分量的2個(gè)條件，如果滿足，則h10(t)就是原始信號(hào)的一階IMF分量;若不滿足，則把h10(t)當(dāng)作新的原始信號(hào)s(t)，重復(fù)上述4步，直到第k次后得到滿足條件的IMF 分量h1k(t)，則h1k(t)就是原始信號(hào)的一階IMF分量。將其定義為c1(t)=h1k(t)；

5)原始信號(hào)s(t)減去一階IMF分量c1(t)得到一個(gè)新信號(hào)r1(t)；

6)對(duì)r1(t)重復(fù)以上5步得到c2(t)和r2(t)，按照步驟對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行n次，得到n個(gè)IMF分量和一個(gè)殘余分量(res)rn(t)。當(dāng)?shù)趎階IMF分量cn(t)或其殘余分量rn(t)小于預(yù)設(shè)值，或當(dāng)殘余分量rn(t)是單調(diào)函數(shù)或常量時(shí),信號(hào)分解過程停止。經(jīng)過分解后，原始信號(hào)可表示為

(1)

式中ci(t)為第i個(gè)IMF分量。

根據(jù)以上步驟可以看出，EMD分解方法能對(duì)非平穩(wěn)、非線性信號(hào)進(jìn)行分解，具有自適應(yīng)性。在“篩分”的過程中，消除了模態(tài)波形的疊加，使波形更加對(duì)稱，其本質(zhì)是對(duì)信號(hào)進(jìn)行平穩(wěn)化處理。

2 小波包能量法

小波包分解是比小波分解更精細(xì)的分解方法，不僅可分解信號(hào)高頻部分，也可分解信號(hào)低頻部分，克服了小波僅能對(duì)信號(hào)的低頻部分進(jìn)一步分解的缺點(diǎn)，提高了時(shí)頻分辨率。圖1為經(jīng)過3層小波包分解的信號(hào)結(jié)構(gòu)圖,圖2為白噪聲分量的能量圖。

圖1 小波包分解

圖2 白噪聲能量圖

從圖1和圖2可看出，隨著小波包變換層數(shù)的增加，白噪聲的能量會(huì)逐漸減小。運(yùn)用小波包能量法對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪[5]時(shí)，首先選定小波基和分解層數(shù)n，將信號(hào)進(jìn)行n次小波包分解，在第n層得到2n個(gè)小波包，然后對(duì)其進(jìn)行能量計(jì)算。能量定義為

(2)

式中：E(n,i)為在分解層數(shù)n上第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的能量值；ps(j,n,k)為小波包變換系數(shù)。

信號(hào)經(jīng)過小波包n層分解后，求出第n層所有節(jié)點(diǎn)的能量值，選取能量值大的N個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到重構(gòu)信號(hào)s′(t)，當(dāng)重構(gòu)信號(hào)s′(t)和原始信號(hào)s(t)之間的均方誤差(MSE)數(shù)值最小時(shí)，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)去噪。均方誤差定義為

(3)

綜上分析，小波包變換對(duì)信號(hào)的分析能力更強(qiáng)，具有比小波變換更精細(xì)的時(shí)頻局部化和多尺度分辨能力。小波包能量法對(duì)白噪聲具有抑制作用，在小波包分解過程中，小波包變換層數(shù)的增加使白噪聲能量迅速減小，能夠提高去噪效率。

3 EMD-小波包能量法去噪

結(jié)合EMD和小波包能量法的各自特點(diǎn)，本文提出了一種EMD-小波包能量法去噪方法。因?yàn)樵肼曅盘?hào)往往分布在高頻分量中，而低頻分量為信號(hào)的有效成分；因此，首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行EMD分解，得到從高頻到低頻排列的IMF分量和殘余分量rn(t)，之后，依據(jù)相關(guān)分析法判別前幾項(xiàng)高頻IMF分量是否存在噪聲[9]。其相關(guān)分析過程如下：

1)互相關(guān)分析

原始信號(hào)的白噪聲在分解前與原始信號(hào)的互相關(guān)為0，但在分解過程中白噪聲也隨之產(chǎn)生了變化，使IMF分量中的白噪聲與原始信號(hào)的互相關(guān)不再是0，但是相關(guān)性很小。根據(jù)互相關(guān)系數(shù)小于最大互相關(guān)系數(shù)的1/10來判斷IMF分量為噪聲分量[10]?；ハ嚓P(guān)系數(shù)為

Rs,ci(τ)=E[s(t)ci(t+τ)]

(4)

2)自相關(guān)分析

原始信號(hào)的白噪聲在零點(diǎn)處存在最大自相關(guān)，在其余點(diǎn)自相關(guān)為0。在EMD分解之后，IMF分量中的白噪聲在零點(diǎn)處仍存在最大自相關(guān)，其余點(diǎn)的自相關(guān)系數(shù)迅速衰減接近為0。IMF分量中一般信號(hào)的自相關(guān)系數(shù)在零點(diǎn)處取最大值,在非零點(diǎn)處并不一定為0,而是隨時(shí)間差τ的變化而變化，衰減速度慢，據(jù)此判斷IMF分量是否為噪聲分量。自相關(guān)系數(shù)為

Rci(τ)=E[ci(t)ci(t+τ)]

(5)

為了準(zhǔn)確表現(xiàn)IMF分量在不同時(shí)刻取值的相關(guān)程度,使用歸一化自相關(guān)系數(shù),即

(6)

通過對(duì)前幾項(xiàng)高頻IMF分量進(jìn)行相關(guān)分析，判別并去除噪聲分量，將剩余的IMF分量利用小波包能量法去噪，然后對(duì)去噪后的IMF分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)去噪。

EMD-小波包能量法去噪的具體步驟如下：

1)對(duì)帶有噪聲的原始信號(hào)s(t)進(jìn)行EMD分解，得到從高頻到低頻依序排列的IMF分量和1個(gè)殘余分量rn(t)；

2)對(duì)IMF分量進(jìn)行相關(guān)分析，根據(jù)相關(guān)系數(shù)大小，判定前幾個(gè)高頻分量是否為噪聲分量；

3)將確定為噪聲的IMF分量去掉，并將剩余的IMF分量分別進(jìn)行小波包分解(最后一個(gè)IMF分量和殘余分量rn(t)就不需要進(jìn)行小波包分解)。

4)對(duì)IMF分量小波包分解后的節(jié)點(diǎn)求其能量值，并求每個(gè)節(jié)點(diǎn)能量在分量總能量的占比。

6)將經(jīng)過小波包能量法去噪得到的IMF分量與最后未作處理的殘余分量rn(t)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到去噪后的信號(hào)s′(t)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證EMD-小波包能量法的有效性，本文采用bumps作為原始信號(hào)，在此基礎(chǔ)上加入白噪聲，構(gòu)成含躁信號(hào)，如圖3所示。

圖3 原始信號(hào)與含躁信號(hào)

圖4 信號(hào)EMD分解的IMF分量及殘余分量c1～c10、r10

對(duì)含躁信號(hào)進(jìn)行EMD自適應(yīng)分解，得到10個(gè)頻率從高到低的模態(tài)分量c1～c10和1個(gè)殘余分量r10，如圖4所示。對(duì)前3個(gè)高頻IMF分量進(jìn)行相關(guān)分析，根據(jù)式(4)求其互相關(guān)系數(shù)如表1所示，根據(jù)式(5)、(6)求其歸一化自相關(guān)圖形如圖5所示。

表1 互相關(guān)系數(shù)

圖5 c1～c3分量的歸一化自相關(guān)系數(shù)圖

由表1看出IMF分量中的白噪聲與原始信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)較小，c1、c2分量的互相關(guān)系數(shù)小于最大互相關(guān)系數(shù)的1/10，c3分量的互相關(guān)系數(shù)則大于最大互相關(guān)系數(shù)的1/10；由圖5看出，在零點(diǎn)處存在最大自相關(guān)，其余點(diǎn)的歸一化自相關(guān)系數(shù)迅速衰減接近0。c1和c2分量比c3分量的衰減速度快，綜上判斷c1和c2分量為噪聲分量。

對(duì)去掉噪聲分量后的IMF分量c1～c9進(jìn)行小波包分解。本文采用db1小波基進(jìn)行4層小波包分解，然后求出分解后每個(gè)節(jié)點(diǎn)的能量，并進(jìn)行歸一化處理，如圖6所示。

圖6 IMF分量及其能量分布

根據(jù)能量圖，不同節(jié)點(diǎn)按照能量百分比進(jìn)行排列，選取能量比重大的幾個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，使重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)s(t)的均方誤差最小，因此選取前4個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重構(gòu)。

為了驗(yàn)證EMD-小波包能量法去噪效果，我們分別用小波包能量、EMD和EMD-小波包能量法在同等條件下對(duì)原始信號(hào)s(t)進(jìn)行去噪處理，結(jié)果如圖7所示。

圖7 3種去噪后的信號(hào)

可以看出，EMD-小波包能量法的去噪效果最好。一般評(píng)價(jià)去噪效果采用信號(hào)的信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)作為標(biāo)準(zhǔn)。

信噪比為

sSNR=10lg{∑x(t)2/∑[x(t)-s′(t)]2}

(7)

均方根誤差為

(8)

式中：x(t)為原始純凈信號(hào)；s′(t)為去噪后的信號(hào)；n為數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度。

分別對(duì)以上3種方法求其信噪比和均方根誤差，計(jì)算結(jié)果如表2所示。從表2可以看出，經(jīng)過EMD-小波包能量法去噪的信號(hào)，在信噪比和均方根誤差上都優(yōu)于其他2種去噪方法。

表2 去噪結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)束語

為了去除信號(hào)中的白噪聲，本文提出了一種將EMD和小波包能量?jī)烧呓Y(jié)合的去噪方法。利用EMD將信號(hào)分解為IMF分量，去除噪聲分量，然后將剩余的IMF分量進(jìn)行小波包能量去噪。本文提出的去噪方法可以有效去除白噪聲，便于信號(hào)特征提取。仿真結(jié)果表明，EMD-小波包能量法相較于EMD和小波包能量法，在信噪比和均方根誤差值方面均得到改善，能夠有效改善去噪效果，為機(jī)械信號(hào)特征提取提供了新的技術(shù)參考。由于本文的仿真實(shí)驗(yàn)僅加入了高斯白噪聲，未涉及其他類型的噪聲，對(duì)其他類型噪聲的去噪效果需要進(jìn)一步研究驗(yàn)證。