封華梅

(陜西省一八五煤田地質(zhì)有限公司，陜西 榆林 719000)

0 引言

似大地水準(zhǔn)面指的是從地面點(diǎn)沿正常重力線量取正常高所得端點(diǎn)構(gòu)成的封閉曲面，與大地水準(zhǔn)面的差值為正常高與正高之差[1]。大地高與正高或正常高之間的差距，分別稱為大地水準(zhǔn)面差距和高程異常[2]。求解大地水準(zhǔn)面差距或高程異常的主要方法有幾何法[3]、重力法[4]及組合法等[5]。利用GNSS/水準(zhǔn)擬合法是幾何確定似大地水準(zhǔn)面的一種方法，其中多項(xiàng)式擬合是建立擬合模型的一種。其原理就是在區(qū)域范圍內(nèi)的GNSS網(wǎng)中，存在若干個(gè)聯(lián)測(cè)了水準(zhǔn)高程的GNSS點(diǎn)(稱GNSS水準(zhǔn)重合點(diǎn))，根據(jù)GNSS水準(zhǔn)重合點(diǎn)上已知的大地高和正常高確定GNSS水準(zhǔn)重合點(diǎn)上的高程異常，然后再由GNSS水準(zhǔn)重合點(diǎn)的平面坐標(biāo)與高程異常的函數(shù)關(guān)系構(gòu)造某一曲面來(lái)逼近似大地水準(zhǔn)面，進(jìn)而推算出測(cè)區(qū)中未進(jìn)行水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)的GNSS點(diǎn)的高程異常，從而得到測(cè)區(qū)內(nèi)所需GNSS點(diǎn)的正常高[6]。

1 函數(shù)模型理論

函數(shù)模型擬合的最大優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于趨勢(shì)性變化的擬合效果較好，但需要合適的函數(shù)模型形式，并需要確定合適的參數(shù)個(gè)數(shù)。若函數(shù)模型的針對(duì)性強(qiáng)，則擬合與推估的效果好。函數(shù)模型的形式一經(jīng)確定，計(jì)算過(guò)程中一般不再變化?；谶x定的函數(shù)模型及其相應(yīng)的擬合原則，很容易求得模型中的待估參數(shù)，如此即完成了函數(shù)模型的構(gòu)造與擬合。基于擬合的函數(shù)模型，即可求解未知點(diǎn)的信號(hào)。然而，任何待定的模型均難以“準(zhǔn)確”地表征逼近場(chǎng)的一切特征。于是難免有部分“剩余誤差”；另一方面，任何函數(shù)模型逼近均基于足夠的已知點(diǎn)信息，這類已知信息的任何誤差都將對(duì)函數(shù)模型的待估參數(shù)的估計(jì)帶來(lái)影響。這種影響又必將對(duì)后續(xù)未知點(diǎn)值的推估帶來(lái)誤差[7]。

1.1 多項(xiàng)式擬合模型

多項(xiàng)式函數(shù)的數(shù)學(xué)模型是

ξ(x，y)=F(x，y，β)

(1)

式中:ξ(x，y)—點(diǎn)(x，y)處的高程異常值；F(x，y，β)—所選擇的函數(shù)形式。

將(1)式表示成

ξ(x，y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy

(2)

式中:a0～a5—待定系數(shù)。

通常采用較多的模型是二次多項(xiàng)式模型，以此推導(dǎo)平差過(guò)程：

利用公共點(diǎn)上GNSS測(cè)定的大地高和水準(zhǔn)測(cè)量的正常高計(jì)算出該點(diǎn)上的高程異常，若測(cè)區(qū)內(nèi)有n(n>6)個(gè)這樣的公共點(diǎn)，則可算出高程異常ξi(i=1，2，…，n)，根據(jù)模型可以列出n個(gè)誤差方程

(3)

寫成矩陣形式為

V=BX-L

(4)

其中：

V=[v1v2…vn]T

X=[a0a1a2a3a4a5]T

L=[ξ1ξ2…ξn]T

根據(jù)最小二乘法原理VTPV=min可得

X=(BTB)-1BTL

(5)

就可解算出擬合方程的待定系數(shù)，然后根據(jù)模型解算出未知點(diǎn)上的高程異常值。

1.2 GNSS/水準(zhǔn)擬合的精度分析

目前GNSS/水準(zhǔn)擬合的精度主要通過(guò)內(nèi)符合精度和外符合精度來(lái)評(píng)定[8]。

內(nèi)符合精度：根據(jù)參與擬合的已知點(diǎn)的實(shí)測(cè)高程異常ξi與擬合高程異常ξ＇i的差值vi進(jìn)行計(jì)算，若參與擬合的已知點(diǎn)數(shù)為n，則內(nèi)符合精度σ內(nèi)為

(6)

外符合精度:根據(jù)檢核點(diǎn)的實(shí)測(cè)高程異常ξi與擬合高程異常ξ＇i的差值vi進(jìn)行計(jì)算，若檢核點(diǎn)的數(shù)為m，則外符合精度σ外為

(7)

2 基于MATLAB程序的實(shí)例分析計(jì)算

為了分析GNSS/水準(zhǔn)擬合法在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用的可靠性，在此將利用小保當(dāng)煤礦工業(yè)廣場(chǎng)和風(fēng)井廣場(chǎng)的實(shí)測(cè)控制點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證分析，采用以下評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)：最小擬合誤差Vmin、最大擬合誤差Vmax、內(nèi)符合精度σ內(nèi)、外符合精度σ外。

2.1 測(cè)區(qū)概況介紹

該區(qū)域位于小保當(dāng)煤礦工業(yè)廣場(chǎng)和風(fēng)井廣場(chǎng)之間，形狀為長(zhǎng)方形，東西長(zhǎng)約3.6 km，南北寬約1.4 km，面積約5 km2。本區(qū)域西高東低，局部均相對(duì)平坦。在該區(qū)域均勻分布GNSS/水準(zhǔn)重合點(diǎn)21個(gè)，在相對(duì)獨(dú)立坐標(biāo)系的成果見表1。

2.2 參與計(jì)算的已知點(diǎn)選取

根據(jù)選點(diǎn)原則，在測(cè)區(qū)均勻選擇部分GNSS/水準(zhǔn)重合點(diǎn)進(jìn)行參與計(jì)算，通過(guò)分析選擇XG02、XG03、XG04、XG05、XG06、XG07、XG08、XG10、XG11、XG12、XGJ8、YF04、YF06、EF03等14個(gè)點(diǎn)參與計(jì)算。

表1 GNSS/水準(zhǔn)重合點(diǎn)成果表

2.3 基于MATLAB程序計(jì)算求取擬合系數(shù)

通過(guò)Matlab程序?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，部分代碼顯示如下

format long g；

m=length(P(：，1))；

B=zeros(m，6)；

for i=1：m；

B(i，：)=[1，P(i，1)，P(i，2)，P(i，1)×P(i，1)，P(i，2)×P(i，2)，P(i，1)×P(i，2)]；

end

ss=P(：，3)；

cs=pinv(B′×B)×B′×ss。

將數(shù)據(jù)代入計(jì)算出二次多項(xiàng)式擬合模型系數(shù)為

a0=-0.000 000 233 687 411 332 634

a1= 0.000 104 563 005 212 421

a2=-0.000 261 039 683 129 869

a3= 0.000 000 004 476 835 742 444 78

a4=0.000 000 054 012 643 907 004 7

a5=-0.000 000 029 420 139 308 138 1

2.4 通過(guò)計(jì)算的模型系數(shù)進(jìn)行精度評(píng)定

通過(guò)Matlab程序?qū)?shù)據(jù)計(jì)算精度，部分代碼顯示如下

m=length(P(：，1))；

fori=1：m；

v(i，：)=[cs(1)+cs(2)×P(i，1)+cs(3)×P(i，2)+cs(4)×P(i，1)×P(i，1)+cs(5)×P(i，2)×P(i，2)+cs(6)×P(i，1)×P(i，2)]；

end

v

利用Matlab程序進(jìn)行計(jì)算，并分別給出計(jì)算結(jié)果。參與計(jì)算的點(diǎn)殘差值見表2，未參與計(jì)算的點(diǎn)殘差值見表3。

表2 參與計(jì)算點(diǎn)殘差值表

表3 未參與計(jì)算點(diǎn)殘差值表

根據(jù)上述(6)式計(jì)算，內(nèi)符合精度為σ內(nèi)=0.030 m；上述(1～10)式計(jì)算，外符合精度為σ外=0.058 m。

3 結(jié)論

(1)各種GNSS/水準(zhǔn)擬合法的精度都達(dá)到了厘米級(jí)的精度，選用合適的模型可以代替三、四等水準(zhǔn)測(cè)量。

(2)在平緩地區(qū)GNSS/水準(zhǔn)擬合法的精度大于起伏地區(qū)，所以地形對(duì)GNSS/水準(zhǔn)擬合法精度的影響較大。

(3)選擇不同擬合點(diǎn)數(shù)對(duì)精度的影響不是很大，通過(guò)比較并不是點(diǎn)數(shù)選擇的越多其擬合精度就越好。