王海芳,任 明,王晨煒,褚天爭(zhēng),李 亮

(東北大學(xué)秦皇島分校 控制工程學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

單向閥在液壓系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛,其結(jié)構(gòu)常為錐閥形式.由于系統(tǒng)內(nèi)油液空穴、泵的壓力脈動(dòng)、閥的自激振動(dòng)等原因,單向閥常會(huì)產(chǎn)生振顫現(xiàn)象,進(jìn)而導(dǎo)致管壓力波動(dòng);同時(shí),因閥芯不斷與閥座撞擊[1-3],導(dǎo)致閥座和閥芯出現(xiàn)凹痕,易出現(xiàn)滲漏,進(jìn)而導(dǎo)致錐閥失去密封性,使液壓油可以雙向流動(dòng),從而導(dǎo)致整個(gè)液壓系統(tǒng)功能的喪失.目前,對(duì)單向閥閥芯的分析主要集中于兩方面的內(nèi)容:一方面是對(duì)單向閥進(jìn)行振動(dòng)分析[4-5],即建立閥的振動(dòng)模型,然后基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析單向閥產(chǎn)生振動(dòng)的原因,最后分析各因素對(duì)錐閥振動(dòng)特性的影響;另一方面是對(duì)閥進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析[6-7],利用可靠性理論對(duì)閥的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真分析,最終得到結(jié)構(gòu)的失效概率,有利于閥結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì).

本文以先導(dǎo)溢流閥的單向錐閥為例,將振動(dòng)分析與可靠性的基本理論相結(jié)合,建立了表示錐閥閥芯的兩種工作狀態(tài)的振動(dòng)可靠性功能函數(shù);應(yīng)用振動(dòng)理論建立了錐閥的振動(dòng)模型,選用可靠性理論中的蒙特卡洛法進(jìn)行了仿真分析;應(yīng)用Matlab仿真,得到了錐閥的可靠性曲線以及變異系數(shù)曲線.

1 可靠性基本理論及方法

1.1 基本原理

機(jī)械可靠性分析和設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)是求解研究對(duì)象的可靠度,設(shè)可靠度為

(1)

式中:fX(x)為研究對(duì)象包含的基本隨機(jī)參數(shù)向量X=(x1,x2,…,xn)T的聯(lián)合概率密度函數(shù),狀態(tài)函數(shù)Z=g(x)用以表示研究對(duì)象的兩種狀態(tài),即

(2)

式中:狀態(tài)函數(shù)方程g(x)=0是一個(gè)n維極限狀態(tài)曲面.

1.2 振動(dòng)的可靠性功能函數(shù)的建立

機(jī)械的振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則包括:最大振動(dòng)響應(yīng)不超過(guò)許用響應(yīng);避開(或落入)共振;避開流體誘發(fā)的振動(dòng)[8].而在研究錐閥的振動(dòng)時(shí),結(jié)構(gòu)的1階固有頻率ωn與激勵(lì)頻率ω相等時(shí),結(jié)構(gòu)發(fā)生共振.根據(jù)可靠性的基本理論,離散結(jié)構(gòu)失效分析的狀態(tài)函數(shù)可定義為

(3)

式中:ωj為外載荷的第j個(gè)激振頻率;ωni為第i個(gè)固有頻率.

對(duì)于錐閥而言,常把ωni=(0.9～1.1)ωj作為共振區(qū),這就是共振準(zhǔn)則[9].結(jié)合式(3),可以確定離散結(jié)構(gòu)的錐閥閥芯發(fā)生共振失效分析的狀態(tài)函數(shù)為

(4)

而對(duì)于錐閥可靠性分析而言,為了工程計(jì)算方便,將閥視為整體,則式(4)可改寫為

(5)

2 錐閥振動(dòng)模型的建立

選取先導(dǎo)溢流閥的先導(dǎo)錐閥進(jìn)行振動(dòng)模型建立,雖然影響先導(dǎo)錐閥的振動(dòng)與噪聲的因素很多,如油液振動(dòng)、空穴和液壓沖擊、閥的撞擊和磨擦等[10-11],但在簡(jiǎn)化的振動(dòng)模型中,主要考慮錐閥質(zhì)量、彈簧元件的存在與油液的阻尼因素,以及外加液壓振動(dòng)沖擊等的激勵(lì)作用,構(gòu)成簡(jiǎn)化的質(zhì)量-阻尼-彈簧振動(dòng)模型,如圖1所示.

圖1 先導(dǎo)錐閥振動(dòng)模型示意圖Fig.1 The schematic diagram of the vibration model ofpilot operated poppet valve

單向閥中的閥芯有一定的質(zhì)量,它與彈簧一起組成了一個(gè)“質(zhì)量-彈簧”振動(dòng)系統(tǒng),引起這個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)的原因無(wú)非兩種情況:① 外部因素引起,即共振;② 由于自身特性引起,即自振.而本文主要研究的是共振.

當(dāng)外加在振動(dòng)系統(tǒng)上的能量源的頻率與該系統(tǒng)的固有頻率成整數(shù)倍關(guān)系時(shí),即會(huì)發(fā)生共振.錐閥式單向閥的固有頻率可按如下推導(dǎo).如圖1所示,其開口截面積可近似表示為

(6)

式中:S為開口截面積;d′為開口中徑,d′=(d1+d)/2,d1為閥芯頂端直徑,d為閥座直徑;x為閥口開度;α為錐閥角度.

根據(jù)薄壁小孔節(jié)流原理[12]得

(7)

式中:Q為通過(guò)開口的流量;c為流量系數(shù);ρ為液體密度;Δp為閥芯前后壓差.

由式(7)得

(8)

(9)

式中:A=Q2/2(cπd′sina)2(當(dāng)Q一定時(shí)A為常數(shù));x為閥口的開度.

在忽略液動(dòng)力和摩擦力情況下,在開度為x0的工作點(diǎn)上,考慮彈簧在液壓系統(tǒng)中的影響后,根據(jù)位移激振的強(qiáng)迫振動(dòng)理論,運(yùn)用動(dòng)靜法原理[13-15],得出閥芯振動(dòng)微分方程為

(10)

式中:m為閥芯質(zhì)量與1/3彈簧質(zhì)量之和;B為閥芯承受壓力差的有效面積;k為彈簧剛度.

式(10)左邊第1項(xiàng)為慣性力,第2項(xiàng)為液壓力,第3項(xiàng)為彈簧力.將式(9)代入式(10)得到

(11)

式(11)為“質(zhì)量-彈簧”振動(dòng)系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩的運(yùn)動(dòng)微分方程,其固有頻率ωn表示為

(12)

將式(8)代入式(12)得

(13)

有阻尼振蕩頻率為

(14)

式中:ζ為阻尼比.

將式(13)代入式(14)中得

(15)

3 蒙特卡洛法仿真

3.1 蒙特卡洛法

蒙特卡洛法(Monte Carlo)是一種用數(shù)值模擬求解與隨機(jī)變量有關(guān)的實(shí)際工程問(wèn)題的方法,對(duì)隨機(jī)變量的數(shù)值模擬相當(dāng)于一種“實(shí)驗(yàn)”,所以蒙特卡洛法又稱為統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)法[16-17].運(yùn)用蒙特卡洛法進(jìn)行仿真分析有著十分重大的意義,它可以替代現(xiàn)實(shí)中的實(shí)驗(yàn),得到與實(shí)驗(yàn)后基本相同的結(jié)果,從而省去大量時(shí)間、人力、財(cái)力,十分快捷有效.

由式(1)顯示的可靠度是基本隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)fX(x)在可靠域g(x)>0中的多重積分.失效概率Pf可以表示為失效域F的指示函數(shù)IF(x)的數(shù)學(xué)期望形式,即

(16)

(17)

式中:RMC為蒙特卡洛法數(shù)值模擬所獲得的可靠度[18-19].蒙特卡洛法數(shù)值模擬法進(jìn)行結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度分析的過(guò)程如圖2所示.

圖2 蒙特卡洛法可靠性分析的流程圖Fig.2 The flow chart of using Monte Carlomethod to analyse reliability

3.2 估計(jì)失效概率與變異系數(shù)

(18)

(22)

(23)

對(duì)于很小的Pf,式(21)的變異系數(shù)可寫為

(24)

則所需要樣本量N可以表達(dá)為給定變異系數(shù)的函數(shù),即

(25)

若失效概率在10-k(k為整數(shù))數(shù)量級(jí)上,且變異系數(shù)ζN=0.1,則需要N=10k+2個(gè)隨機(jī)樣本.若放松精度要求至ζN=0.3(中等精度),則大致需要N=10k+1樣本.為了使蒙特卡洛方法估計(jì)結(jié)果具有一定精度,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),一般推薦隨機(jī)樣本量滿足

(26)

式(26)表明,至少得到10～100失效域的失效樣本,才能使失效概率估計(jì)值具有較好的“平均效果”及較小的變異系數(shù).

3.3 Matlab仿真

利用Matlab軟件,通過(guò)蒙特卡洛法對(duì)液壓閥閥芯的振動(dòng)可靠性進(jìn)行仿真[21-23],從而得到錐閥的可靠度、變異系數(shù)與樣本量的關(guān)系.具體的參數(shù)如表1所示,表中m,k,d,x,ζ均服從正態(tài)分布.

表1 液壓錐閥的主要參數(shù)設(shè)置Tab.1 The main parameters of hydraulic poppet valve

圖3 N=2 500時(shí)的可靠度曲線Fig.3 Curve of reliability when N=2 500

圖4 N=2 500時(shí)的變異系數(shù)曲線Fig.4 Curve of variation coefficient when N=2 500

由上述數(shù)值曲線可知:當(dāng)樣本量N數(shù)值比較小時(shí),可靠度的振蕩幅度較大,變異系數(shù)的數(shù)值也較大;而N值越大時(shí),可靠度以及變異系數(shù)達(dá)到平緩,當(dāng)N=2 500時(shí),根據(jù)式(24)計(jì)算可得變異系數(shù)ζN=0.1,符合圖4在N=2 500時(shí)的變異系數(shù)值.因此,當(dāng)樣本量越大時(shí),可靠度的估計(jì)值更接近于目標(biāo)值.

4 結(jié)論

(1) 以典型液壓元件錐閥為例,應(yīng)用可靠性理論進(jìn)行錐閥閥芯的振動(dòng)可靠性分析.將機(jī)械的振動(dòng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則與可靠性基本理論相結(jié)合,根據(jù)位移激振的強(qiáng)迫振動(dòng)理論,運(yùn)用動(dòng)靜法原理,得出閥芯振動(dòng)微分方程.將錐閥簡(jiǎn)化為質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)的振動(dòng)模型,進(jìn)而求解出其無(wú)阻尼和有阻尼固有頻率.結(jié)合共振準(zhǔn)則,建立了表示錐閥閥芯的兩種工作狀態(tài)的振動(dòng)可靠性功能函數(shù).

(2) 基于建立的振動(dòng)可靠性功能函數(shù),應(yīng)用蒙特卡洛法和Matlab對(duì)閥芯的振動(dòng)可靠性進(jìn)行仿真,得到了錐閥的可靠度曲線以及變異系數(shù)曲線.以其閥芯為例,在滿足可靠條件的情況下,當(dāng)樣本量N數(shù)值比較小時(shí),可靠度及其變異系數(shù)的振蕩幅度較大,數(shù)據(jù)收斂性較差,隨著N值增大可靠度及其變異系數(shù)逐漸達(dá)到平緩.當(dāng)取樣本量為2 500時(shí),擬定閥芯目標(biāo)可靠度為96%,相應(yīng)的目標(biāo)變異系數(shù)為0.1,從得到的仿真曲線中可以看出,得到的可靠度與變異系數(shù)均與目標(biāo)值接近.這表明,樣本量取值越大時(shí)閥芯的可靠度越接近目標(biāo)值,所得到的可靠性結(jié)果精度也越高.