梅宇軒

摘 要：隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展進(jìn)步，目前的航空航天事業(yè)也得到了極大的進(jìn)步，很多技術(shù)都得到了很大的革新。但是自第一顆衛(wèi)星入軌到現(xiàn)在，所有的運(yùn)載火箭都采用了多級(jí)火箭的方式。但是很多的火箭事故都是源自于一級(jí)火箭關(guān)閉、二級(jí)火箭點(diǎn)火的節(jié)點(diǎn)或者二級(jí)火箭關(guān)閉、三級(jí)火箭點(diǎn)火的節(jié)點(diǎn)，火箭級(jí)數(shù)越多，其發(fā)生事故的概率就越大。本文章通過建立數(shù)學(xué)模型的方法，解釋了一級(jí)火箭無法將衛(wèi)星送入到軌道的現(xiàn)象。同時(shí)也為提高火箭效率以及安全性提供了思路。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;一級(jí)火箭;運(yùn)載;衛(wèi)星

從人類第一次對(duì)于太空的嘗試到現(xiàn)在，已經(jīng)有成千上萬枚的火箭進(jìn)入到了太空，為人們的生活以及科技的發(fā)展都帶來了巨大的變革，同時(shí)對(duì)于研究外太空也帶來了巨大的方便。但是在另一方面，火箭在進(jìn)入到太空途中發(fā)生的事故也是不勝枚舉。這就造成了很大的財(cái)產(chǎn)損失，甚至對(duì)于升空航天員的生命安全也構(gòu)成了巨大的威脅。因此，保證火箭發(fā)射的成功率一直都是相關(guān)科學(xué)家要攻克的問題。通過一些研究分析發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在我們所用的運(yùn)載火箭都是三級(jí)火箭，火箭發(fā)射失敗在很多時(shí)候是發(fā)生在一級(jí)火箭關(guān)閉、二級(jí)火箭點(diǎn)火的節(jié)點(diǎn)或者二級(jí)火箭關(guān)閉、三級(jí)火箭點(diǎn)火的節(jié)點(diǎn)，中國作為航天強(qiáng)國，但是依然也出現(xiàn)了這方面為問題，2017年7月2日19時(shí)23分，中國搭載著實(shí)踐十八號(hào)衛(wèi)星的長征五號(hào)遙二火箭發(fā)射失敗，后經(jīng)調(diào)查，是多項(xiàng)問題引起一級(jí)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)提前關(guān)閉，二級(jí)火箭根本就沒有點(diǎn)火。那既然火箭分級(jí)點(diǎn)火容易出現(xiàn)問題，那么為什么不采用一級(jí)火箭呢？現(xiàn)在的科技已經(jīng)有了長遠(yuǎn)的進(jìn)步，但是運(yùn)載火箭還是按照最初的設(shè)計(jì)，采用三級(jí)的方式，這又是為什么呢？這個(gè)問題的解決，必然能夠?qū)τ谔骄刻諑矸浅７e極的意義。

一、問題的提出

自二戰(zhàn)以來，航天事業(yè)得到了空前的發(fā)展，人們對(duì)于太空的認(rèn)知也達(dá)到了一個(gè)新的高度。運(yùn)載火箭對(duì)于航天事業(yè)起到的意義非常的重大，但是火箭在發(fā)射的過程中出現(xiàn)問題造成的危害也非常的大。運(yùn)載火箭出現(xiàn)問題，很多時(shí)候是出現(xiàn)在二級(jí)或者三級(jí)火箭點(diǎn)火的時(shí)候。既然這么容易出現(xiàn)事故，那為什么不采用以及火箭的方式呢？基于此，筆者就以此問題做出了數(shù)學(xué)模型，以此來做進(jìn)一步的分析。

二、問題的分析

運(yùn)載火箭要進(jìn)入太空，首先就要超越第一宇宙速度，另外一方面，火箭升空需要燃燒燃料，火箭在升空的過程中要燃燒燃料，其質(zhì)量的減小必然會(huì)造成加速度的增大，但是燃料燃燒所能提供的推力是有一定極限的，這也就意味著火箭的加速度不會(huì)無限大，并且火箭所能攜帶的燃料也是有極限的。所以火箭能否達(dá)到第一宇宙速度是要受多方面因素的制約的。

三、模型假設(shè)

（1）火箭的引擎是足夠強(qiáng)大的，不存在各方面的問題隱患。

（2）火箭升空只收到地球的引力以及自身推力的影響，忽略其他天體對(duì)火箭的影響。

（3）地球是固定于空間中的一個(gè)均勻球體，質(zhì)量存在于地心。

（4）衛(wèi)星軌道是一個(gè)規(guī)則的圓周，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

（5）火箭初速度為0，忽略火箭所受到的阻力和重力。

四、變量說明

m（t）：火箭的在t時(shí)刻的質(zhì)量

v（t）： 火箭在t時(shí)刻的速度

u：? 相對(duì)火箭的推進(jìn)速度

mP： 火箭的有效載荷

mf： 火箭的燃料質(zhì)量

ms：火箭的結(jié)構(gòu)質(zhì)量

五、模型的建立

由萬有引力定律可得到衛(wèi)星所受到的引力大小為：

另一方面，衛(wèi)星所受到的重力與引力相一致，即可得到：

通過聯(lián)立可得出：

其中取重力加速度g=9.81，由于衛(wèi)星繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其速度為v，所受到的向心力為mV2/r，所以有：

取R=6400km，r-R=600km，由此得出v=7.6km/s，所以要把衛(wèi)星送入到600km高的軌道，火箭的末速度至少為7.6km每秒。

由于火箭在上升的過程中要不斷的燃燒燃料，導(dǎo)致其質(zhì)量減小，則可得出下面的關(guān)系式子：

火箭噴出的氣體相對(duì)于地球的速度為v（t）-u，由動(dòng)能守恒定律可得：

通過聯(lián)立可得火箭推進(jìn)力的數(shù)學(xué)模型為：

令t=0，則V0=0，m（0）=m0，通過對(duì)上式的求解，可得出：

從以上式子可以推斷出，火箭的速度與u的值以及火箭的結(jié)構(gòu)重量有很大的關(guān)系。

目前的火箭噴氣速度u=3km/s，并且由于現(xiàn)在的火箭技術(shù)的限制，有

又火箭的實(shí)時(shí)質(zhì)量等于火箭的結(jié)構(gòu)質(zhì)量與火箭的燃料質(zhì)量之和，即有

取

通過聯(lián)立可得火箭的末速度為：

由假設(shè)知u=3，，所以可求出一級(jí)火箭的上限速度為6.6km/s，所以，采用一級(jí)火箭的方式是不能夠?qū)⑿l(wèi)星送入到軌道當(dāng)中的，因此只能采用多級(jí)火箭的方式。

目前我國的航空航天事業(yè)取得了舉世矚目的成績，而在開展太空活動(dòng)的同時(shí)，對(duì)于安全的要求是非常高的，本文章采用了建立數(shù)學(xué)模型的方法，證明了利用一級(jí)火箭是不能夠?qū)⑿l(wèi)星送入軌道的。利用多級(jí)火箭雖然能夠?qū)⑿l(wèi)星送入軌道，但無疑增添了發(fā)生危險(xiǎn)的概率。本文章同時(shí)也解釋了一級(jí)火箭不能夠?qū)⑿l(wèi)星送入軌道的原因，這也對(duì)于以后提高火箭的安全系數(shù)有很大的幫助，同時(shí)也希望火箭的推進(jìn)技術(shù)能夠有更大幅度的進(jìn)步，為衛(wèi)星入軌提供更大的安全保障。