孔志文 王文英

各位老師們：

大家好！我是北京市朝陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校的數(shù)學(xué)教師孔志文.很高興能有機(jī)會(huì)參加這次教學(xué)研討活動(dòng)，向各位老師們學(xué)習(xí).

我說(shuō)課的題目是《函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例》.下面我將從教學(xué)背景說(shuō)明、教學(xué)內(nèi)容分析、學(xué)習(xí)者分析、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)、教學(xué)特點(diǎn)及反思這六個(gè)方面對(duì)本節(jié)課進(jìn)行說(shuō)明.

1 教學(xué)背景說(shuō)明

1.1 指導(dǎo)思想

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》提出，通過(guò)數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)，“學(xué)生能有意識(shí)地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，感悟數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)聯(lián)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn).”可見(jiàn)，數(shù)學(xué)建模在高中數(shù)學(xué)課程中的地位和作用.

1.2 理論依據(jù)

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生的‘再創(chuàng)造.”將現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，讓學(xué)生置身于“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，可為學(xué)生創(chuàng)設(shè)“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和探究的環(huán)境，促進(jìn)學(xué)生積極探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型.

2 教學(xué)內(nèi)容說(shuō)明

《函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例》選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)人教A版必修1中的第3.2.2節(jié).函數(shù)模型的應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)有著重要的意義.它主要包含三個(gè)方面的內(nèi)容：利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，建立確定性函數(shù)模型解決問(wèn)題和建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.本節(jié)課的主要內(nèi)容為建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題.

3 學(xué)習(xí)者分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解了函數(shù)的圖象與性質(zhì)之間的關(guān)系，尤其是學(xué)習(xí)了3.2.1幾類(lèi)不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型，對(duì)利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題有一定的了解.授課班級(jí)學(xué)生有過(guò)用幾何畫(huà)板研究簡(jiǎn)單基本函數(shù)的經(jīng)歷，但不夠熟練，學(xué)生有著較強(qiáng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)表和散點(diǎn)圖的處理缺乏有效手段，對(duì)擬合函數(shù)認(rèn)可度不夠，這些都給學(xué)生選擇合適的模型造成一定的困難.

為了更好地了解任教班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，我擬定了2個(gè)試題（詳細(xì)情況請(qǐng)參看附件），用以了解學(xué)生對(duì)常見(jiàn)函數(shù)的熟練程度及求解能力.

通過(guò)對(duì)課前調(diào)查第1題（求二次函數(shù)解析式，見(jiàn)附件），發(fā)現(xiàn)所有學(xué)生（30人）能夠運(yùn)用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式.

通過(guò)對(duì)課前調(diào)查第2題（求類(lèi)指數(shù)函數(shù)解析式，見(jiàn)附件），發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生能夠正確求解類(lèi)指數(shù)函數(shù)的解析式.

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容分析和學(xué)習(xí)者分析，我確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)如下：

教學(xué)重點(diǎn)：建立合適的擬合函數(shù)模型解決問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)：建立、選擇合適的函數(shù)模型.

4 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析.我確定本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過(guò)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，了解數(shù)學(xué)建模的一般過(guò)程，會(huì)建立確定性函數(shù)模型;

（2）借助信息技術(shù)，利用數(shù)據(jù)畫(huà)出函數(shù)圖象，探究出合適的擬合函數(shù)模型;在建立模型的過(guò)程中，掌握建模解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路和方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想;

（3）學(xué)生經(jīng)歷探究函數(shù)模型，體驗(yàn)合作探究的樂(lè)趣，體驗(yàn)函數(shù)是描述變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

5 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

為了達(dá)成上述教學(xué)目標(biāo)，在具體教學(xué)中，我把這次課分為以下五個(gè)階段：

下面對(duì)每個(gè)階段教學(xué)中希望解決的問(wèn)題和教學(xué)步驟作出說(shuō)明：

5.1 創(chuàng)設(shè)情境

這個(gè)階段學(xué)生需要理解實(shí)際問(wèn)題，并將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，即通過(guò)閱讀、理解題意，能知道以身高為自變量、體重為因變量進(jìn)行研究.對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，此背景很容易理解，不需要教師過(guò)多解釋.

問(wèn)題：某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表.

（1）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)模型的解析式.

（2）若體重超過(guò)相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？

活動(dòng)意圖說(shuō)明 以學(xué)生熟悉的問(wèn)題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.5.2 小組合作建模

本節(jié)課在計(jì)算機(jī)房分組合作學(xué)習(xí)，每個(gè)組員都需要清楚自己的任務(wù)，在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，大家才能緊張有序地進(jìn)行學(xué)習(xí)，否則，在機(jī)房學(xué)習(xí)很容易浪費(fèi)時(shí)間.因此，我設(shè)計(jì)了活動(dòng)1，保證學(xué)生能高效進(jìn)行探究活動(dòng).

活動(dòng)1 明確小組任務(wù).

①根據(jù)表中的數(shù)據(jù)各組員獨(dú)立地找到男性體重和身高的函數(shù)關(guān)系;

②小組每個(gè)成員把自己得到的函數(shù)關(guān)系和同組同學(xué)的函數(shù)關(guān)系比較，是不是同一類(lèi)函數(shù)？如果是同一類(lèi)函數(shù)，函數(shù)解析式是否相同？

③如果是同一類(lèi)函數(shù)，為什么不是同一個(gè)函數(shù)解析式，請(qǐng)通過(guò)討論說(shuō)服本組其他同學(xué)？如果不是同一類(lèi)函數(shù)，可以嗎？給出理由;

④請(qǐng)各組派一個(gè)成員代表本組闡述本組想法、做法.

活動(dòng)意圖說(shuō)明 合作學(xué)習(xí)首先要做的就是讓全體成員明確在本小組的任務(wù)是什么，每個(gè)成員將自己探究出的函數(shù)模型和本組其他成員比較，分析產(chǎn)生不同的原因.通過(guò)討論、交流找到模型不一樣的原因，這個(gè)環(huán)節(jié)指向模型的選擇、建立及檢驗(yàn).

各組學(xué)生明確自己的任務(wù)后，就得開(kāi)始建立模型了.由于部分學(xué)生使用幾何畫(huà)板不熟練，并且沒(méi)有用幾何畫(huà)板作散點(diǎn)圖的經(jīng)歷，為了幫助全體同學(xué)掌握畫(huà)散點(diǎn)圖的技能，我設(shè)置了活動(dòng)2，目的是讓每一個(gè)同學(xué)都會(huì)畫(huà)散點(diǎn)圖.

活動(dòng)2 請(qǐng)同學(xué)們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖.

活動(dòng)意圖說(shuō)明 將表格數(shù)據(jù)變成點(diǎn)，這是研究函數(shù)的第一步;通過(guò)本活動(dòng)，學(xué)生感悟到畫(huà)散點(diǎn)圖是研究函數(shù)的基本手段之一，是研究函數(shù)的常用方法.學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程，充分體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想在研究函數(shù)問(wèn)題中的作用，也為進(jìn)一步選擇函數(shù)模型作鋪墊.

教師在巡視過(guò)程中，適時(shí)給不會(huì)用幾何畫(huà)板畫(huà)散點(diǎn)圖的同學(xué)給予點(diǎn)撥之后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入活動(dòng)3，選擇函數(shù)模型并初步求解.

活動(dòng)3 根據(jù)上面的散點(diǎn)圖，你認(rèn)為我們學(xué)過(guò)的哪一類(lèi)函數(shù)的圖象與之比較接近，并求出其解析式.

根據(jù)散點(diǎn)圖的走向，結(jié)合學(xué)生自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，容易判斷出函數(shù)可能是指數(shù)函數(shù)也可能是二次函數(shù).可能的結(jié)果如下：

活動(dòng)意圖說(shuō)明 根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)，從學(xué)過(guò)的函數(shù)中選擇適合的函數(shù)模型，然后通過(guò)待定系數(shù)法求解，學(xué)生對(duì)不同函數(shù)的熟練程度，選擇的函數(shù)模型不一樣.

5.3 匯報(bào)、交流、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)需要在這個(gè)階段突破.通過(guò)各個(gè)小組代表的交流、討論、生生評(píng)價(jià)、教師點(diǎn)評(píng)，學(xué)生掌握建立、求解函數(shù)模型的方法及檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)劣的方法.由于任務(wù)1中要求同組學(xué)生取得統(tǒng)一結(jié)果，各組代表就可以將本組統(tǒng)一結(jié)果和全班同學(xué)交流，即活動(dòng)4.

活動(dòng)4 請(qǐng)各組派一個(gè)組員將本組求出的函數(shù)圖象與散點(diǎn)圖在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出來(lái)，并判斷求出的函數(shù)是否滿(mǎn)足題意？

各組可能的結(jié)果如下：

活動(dòng)意圖說(shuō)明 根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢(shì)，學(xué)生會(huì)選擇不同類(lèi)型的函數(shù)模型，通過(guò)待定系數(shù)法求出相應(yīng)的解析式，作出擬合函數(shù)圖象，根據(jù)擬合效果，讓組內(nèi)和不同組學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià).通過(guò)師生評(píng)價(jià)、生生評(píng)價(jià)，同學(xué)們逐步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的多樣性，而非唯一，只要保證散點(diǎn)圖均勻分布在求出的函數(shù)圖象兩側(cè)即可.

在此活動(dòng)中，學(xué)生不僅交流自己組的函數(shù)模型（結(jié)果），也會(huì)交流函數(shù)是如何得到的？比如，二次函數(shù)，先選擇其中3個(gè)點(diǎn)，然后用待定系數(shù)法求解（見(jiàn)上），學(xué)生都能感受到求解過(guò)程中計(jì)算量較大（事實(shí)上，在數(shù)學(xué)建模過(guò)程計(jì)算量都會(huì)較大，因此借助軟件計(jì)算或者計(jì)算器計(jì)算就顯得非常必要），然后將求得的函數(shù)圖象與散點(diǎn)圖進(jìn)行比較.

學(xué)生在完成任務(wù)1的過(guò)程中，還會(huì)產(chǎn)生這么個(gè)問(wèn)題？同組同學(xué)選用的不是同類(lèi)函數(shù)，該如何選擇呢？

活動(dòng)5 本小組中擬合函數(shù)是同類(lèi)型函數(shù)，但解析式不同的，請(qǐng)分別在不同坐標(biāo)系中作出求得的擬合函數(shù)圖象，并討論哪個(gè)擬合函數(shù)更好？應(yīng)用求得的函數(shù)解析式，解決問(wèn)題.

預(yù)設(shè)：在本活動(dòng)中，學(xué)生可能會(huì)想到類(lèi)指數(shù)函數(shù)，通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象擬合、討論、比較，學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷囊庾R(shí).

活動(dòng)意圖說(shuō)明 選定了函數(shù)的類(lèi)型，選擇的點(diǎn)不一樣，求出來(lái)的解可能是不同的，擬合效果也大不相同，這不借助信息技術(shù)是很難作出判斷的.這是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠駶M(mǎn)足條件的難點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié).本節(jié)課只要求學(xué)生能做出感性判斷（散點(diǎn)均勻分布在所求函數(shù)兩側(cè)）即可，要增強(qiáng)模型優(yōu)化意識(shí).

至此，學(xué)生經(jīng)歷了建立擬合函數(shù)模型的全過(guò)程：畫(huà)散點(diǎn)圖、選擇模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，同時(shí)深刻體會(huì)到計(jì)算機(jī)的不可或缺作用.

5.4 歸納、提升

為了進(jìn)一步幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的過(guò)程、培養(yǎng)學(xué)生的概括和語(yǔ)言表達(dá)能力，我在課堂小結(jié)設(shè)置了2個(gè)問(wèn)題，其中問(wèn)題2是引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)習(xí)方式的變化引起的問(wèn)題解決方式的變化：合作討論解決問(wèn)題、實(shí)驗(yàn)解決問(wèn)題等等.

活動(dòng)6 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)請(qǐng)回答以下2個(gè)問(wèn)題：

（1）請(qǐng)你談?wù)勛约航?jīng)歷的數(shù)學(xué)建模過(guò)程;

（2）在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，你遇到了什么困難？如何解決的？

活動(dòng)意圖說(shuō)明 學(xué)生通過(guò)回顧本節(jié)課所學(xué)經(jīng)歷的合作過(guò)程以及研究方法，有利于學(xué)生系統(tǒng)地了解數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，對(duì)擬合函數(shù)模型有了更清晰的理解.學(xué)生回顧利用幾何畫(huà)板作出擬合函數(shù)的圖象，觀(guān)察散點(diǎn)在圖象的分布情況，從而選擇合適的模型，深刻體會(huì)信息技術(shù)在建模中的應(yīng)用.

5.5 課后實(shí)踐

請(qǐng)各小組通過(guò)網(wǎng)絡(luò)找到我國(guó)2005—2014年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，并將其列表.然后依據(jù)表格數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)2015年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.

6 教學(xué)特點(diǎn)及反思

6.1 教學(xué)特點(diǎn)

1.教師設(shè)置活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷畫(huà)散點(diǎn)圖、選擇模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷冗^(guò)程，置身于“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.本節(jié)課以幾何畫(huà)板為工具，借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行交流、展示，學(xué)生深度參與，本節(jié)課為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)開(kāi)了一扇門(mén).

3.發(fā)展性評(píng)價(jià).數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)不是一節(jié)課就能培養(yǎng)出來(lái)的，而是經(jīng)過(guò)多年的學(xué)習(xí)實(shí)踐積累起來(lái)的，因此在課堂上對(duì)同學(xué)的點(diǎn)滴成功及時(shí)給予肯定，鼓勵(lì)他們通過(guò)信息手段、同組討論、實(shí)驗(yàn)等方式解決遇到的困難.

6.2 反思不足

本節(jié)課一定有不少值得改進(jìn)的地方，比如素材中的數(shù)據(jù)可由學(xué)生們自己來(lái)收集、整理，因?yàn)楸竟?jié)課在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下這還是比較容易實(shí)現(xiàn)的，這樣更真實(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程：收集數(shù)據(jù)、畫(huà)散點(diǎn)圖、選擇模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?其次，學(xué)生在選擇3點(diǎn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)時(shí)，由于數(shù)據(jù)的真實(shí)性，相關(guān)參數(shù)求解花費(fèi)時(shí)間較多，是不是可以考慮在上本課前，給學(xué)生培訓(xùn)MATLAB的簡(jiǎn)單應(yīng)用，這樣能節(jié)省一些時(shí)間.

以上就是我的說(shuō)課內(nèi)容，不足之處，懇請(qǐng)各位老師批評(píng)、指正.謝謝！