徐維軍, 董鵬翠, 彭子衿

(1.華南理工大學(xué) 工商管理學(xué)院,廣東 廣州 510641; 2.廣州市金融服務(wù)創(chuàng)新與風(fēng)險(xiǎn)管理研究基地,廣東 廣州 510641)

0 引言

近年來，租賃以其集融資與融物于一體的特點(diǎn)吸引了越來越多的企業(yè)，租賃業(yè)己成為當(dāng)今的“朝陽產(chǎn)業(yè)”?！?018上半年中國(guó)融資租賃業(yè)發(fā)展報(bào)告》顯示，我國(guó)融資租賃企業(yè)數(shù)量、注冊(cè)資金和業(yè)務(wù)總量一直在穩(wěn)步增長(zhǎng)。截至2018年6月底，全國(guó)融資租賃企業(yè)(不含單一項(xiàng)目公司、分公司、SPV公司和收購海外的公司)總數(shù)約為10,611家，較上年底的9,676家定比增長(zhǎng)9.7%；全國(guó)融資租賃合同余額約為63,500億元，較上年底的60,800億元定比增長(zhǎng)4.4%。隨著租賃公司的數(shù)量以及業(yè)務(wù)量的快速增長(zhǎng)，租賃公司之間的競(jìng)爭(zhēng)也會(huì)越來越激烈，其中開展優(yōu)惠活動(dòng)是其增強(qiáng)自身競(jìng)爭(zhēng)力的一種方式。因此當(dāng)面對(duì)各種租賃選擇時(shí)，承租人如何決策才能使得花費(fèi)最少已成為了眾多學(xué)者研究的內(nèi)容。

在設(shè)備租賃活動(dòng)中，出租方擁有設(shè)備的所有權(quán)，承租方只有在與出租方簽訂了包含雙方權(quán)利及義務(wù)的合同后才能獲得設(shè)備的使用權(quán)，因此許多學(xué)者在Karp[1]的基礎(chǔ)上引進(jìn)了“合同”因素[2]。Duan等[3]利用博弈論研究了兩個(gè)有競(jìng)爭(zhēng)力的二級(jí)運(yùn)營(yíng)商的投資和定價(jià)策略，根據(jù)收益閾值可以實(shí)現(xiàn)運(yùn)營(yíng)商投資和價(jià)格的均衡。Aurora等[4]介紹了承租方和出租方在識(shí)別、分類、確認(rèn)和計(jì)量租賃合同時(shí)遇到的一些關(guān)鍵概念?？紤]到合同內(nèi)容的多樣性，董玉成等[5]考慮了允許承租方退貨的購買合同，研究了可退貨在線租賃問題；王揚(yáng)等[6]考慮了允許出租方回購的購買合同，以非線性指數(shù)價(jià)格函數(shù)為回購合同約束建立了在線租賃模型；楊興雨等[7]分別研究了租賃合同約束下的單階段和多階段在線租賃問題，得到了最優(yōu)在線租賃策略及其績(jī)效比；徐寅峰等[8]研究了存在周期性折扣租賃合同時(shí)的最優(yōu)在線策略；張桂清等[9]研究了以較優(yōu)惠的價(jià)格租賃多個(gè)時(shí)間單位的租賃策略；肖鳴宇和沈正翔[10]研究了帶有多折扣選項(xiàng)的滑雪租賃問題的最優(yōu)離線和在線策略?，F(xiàn)實(shí)生活中除了純租賃和純購買設(shè)備外，還有一些其他的方式，比如可以先付一定的購買金以減少之后的租金。為此，Lotker等[11,12]從隨機(jī)算法的角度對(duì)不確定因素下的多選擇策略進(jìn)行了分析，給出隨機(jī)算法下的在線策略及競(jìng)爭(zhēng)比；Hu和Xu[13]改進(jìn)了Lotker[12]等人給出的隨機(jī)策略及競(jìng)爭(zhēng)比；Fujiwara等[14]從確定性角度對(duì)該問題進(jìn)行了分析，并給出了一個(gè)最優(yōu)下界。

通常租賃公司的客戶群體比較穩(wěn)定，而且提供的產(chǎn)品可替代性較強(qiáng)，因此為了吸引更多的客戶，租賃公司就會(huì)采取各種各樣的營(yíng)銷策略。本文考慮了出租方想增加客戶同時(shí)又不想損失太多利益、從而只為每個(gè)承租方提供一份優(yōu)惠合同的情況，研究了存在優(yōu)惠合同時(shí)承租人的在線租賃問題。

1 模型介紹與問題描述

在Karp提出的經(jīng)典租雪橇問題中，承租方每期需要做出繼續(xù)租用還是立即購買設(shè)備的決策。如果承租方是在設(shè)備需求期數(shù)已知的情況下做決策，則該承租方稱為離線者，其面臨的決策問題稱為離線問題。如果承租方對(duì)設(shè)備未來需求期數(shù)未知?jiǎng)t為在線者，在線者只有在每個(gè)租賃期開始時(shí)才知道是否繼續(xù)使用設(shè)備，如需繼續(xù)使用，可以選擇租用或者購買設(shè)備，一旦購買則決策結(jié)束，這種決策問題稱為在線問題。經(jīng)典的租雪橇問題使用競(jìng)爭(zhēng)比理論評(píng)價(jià)在線策略的優(yōu)劣，從而得到最優(yōu)在線策略。

競(jìng)爭(zhēng)比理論的基本框架如下：將可供在線者選擇的策略集記為Ω，離線者可輸入的不確定序列集記為Φ。首先由在線者選擇出一個(gè)在線策略A(A∈Ω)，離線者會(huì)根據(jù)在線者的輸出策略輸入一個(gè)有限的序列I(I∈Φ)，同時(shí)會(huì)在設(shè)備需求序列已知的情況下選出使得自己費(fèi)用最小的策略，該策略即是最優(yōu)離線策略。將在線策略A和最優(yōu)離線策略的總費(fèi)用分別記為CostA(I)和Costopt(I)。競(jìng)爭(zhēng)比理論可以看作是在線者與離線者之間的博弈，在線者的目的是在未知離線者輸入的情況下選出使得自己費(fèi)用最小的在線策略A，離線者是在已知在線者選擇的情況下輸入使得策略A費(fèi)用最大的設(shè)備需求序列。假設(shè)I是離線者的任一輸入序列，如果存在一個(gè)與I無關(guān)的常數(shù)β使得CostA(I)≤β×Costopt(I)恒成立，則β的最小值稱為在線策略A的競(jìng)爭(zhēng)比。競(jìng)爭(zhēng)比為β的在線策略可以保證對(duì)于離線者發(fā)出的任意輸入序列，其費(fèi)用不會(huì)超過最優(yōu)離線策略費(fèi)用的β倍。將策略集Ω中競(jìng)爭(zhēng)比最小的策略稱為最優(yōu)在線策略，記為A*，其對(duì)應(yīng)的競(jìng)爭(zhēng)比即為最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比。

本文在經(jīng)典設(shè)備在線租賃研究的基礎(chǔ)上，考慮了現(xiàn)實(shí)租賃市場(chǎng)中出租方為了吸引更多客戶，從而為承租方提供了一份包含租賃期數(shù)和折扣信息的優(yōu)惠合同情形。文中假設(shè)設(shè)備每期的租賃費(fèi)用為1，購買費(fèi)用為p(p>1)。優(yōu)惠合同的內(nèi)容為：承租方連續(xù)租用設(shè)備T期(T是整數(shù))，且在優(yōu)惠合同期初付清所有的費(fèi)用dT(d是租賃優(yōu)惠折扣)，若承租人在優(yōu)惠合同期間停止使用，費(fèi)用不予退回。

考慮到現(xiàn)實(shí)租賃活動(dòng)中，由于承租方在優(yōu)惠合約期限內(nèi)違約無法獲得補(bǔ)償，優(yōu)惠合同中的租期不宜太長(zhǎng)，應(yīng)小于某閾值，否則對(duì)客戶的吸引力度不夠。本文中設(shè)備的單位租金為1，購買價(jià)格為p，因此只有對(duì)設(shè)備的需求期數(shù)在區(qū)間(0,p)內(nèi)承租方才會(huì)選擇租賃，否則直接選擇購買，為了便于分析，本文取其均值作為租期的閾值，即T

優(yōu)惠合同的存在使得承租方在每期決策時(shí)多了一種選擇，承租方在每期獲取設(shè)備使用權(quán)時(shí)，需要考慮獲取方式為單期租賃的普通合同、連續(xù)多期租賃的優(yōu)惠合同還是購買合同。承租方對(duì)每臺(tái)設(shè)備最多只有一次選擇優(yōu)惠合同的機(jī)會(huì)，一旦簽訂優(yōu)惠合同，出租方不會(huì)對(duì)合同期內(nèi)停止使用設(shè)備的承租方進(jìn)行退款。本文研究的內(nèi)容包括承租人是否會(huì)選擇簽訂優(yōu)惠合同，什么時(shí)候簽訂以及什么時(shí)候選擇購買合同。

基于以上模型介紹以及問題描述可知，當(dāng)存在一份優(yōu)惠合同時(shí)，最優(yōu)離線策略有以下結(jié)論：

定理1假設(shè)設(shè)備每期的租金為1，購買價(jià)格為p(p>1)，優(yōu)惠合同中的租期為T(T

(1)

接下來，將討論不同情形下在線策略的費(fèi)用，然后利用競(jìng)爭(zhēng)比評(píng)價(jià)策略的優(yōu)劣，從而選出最優(yōu)在線策略和最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比。

2 放棄優(yōu)惠合同時(shí)的最優(yōu)在線策略

當(dāng)承租人放棄優(yōu)惠機(jī)會(huì)，即選擇不簽訂優(yōu)惠合同時(shí)，可供選擇的確定性策略記為A(t)：在前t-1期一直選擇單期租賃設(shè)備，到第t期如果仍需要設(shè)備則選擇購買設(shè)備。在線策略A(t)的費(fèi)用為：

(2)

其中，l是設(shè)備實(shí)際的需求期數(shù)。

證明在線租賃問題中的需求期數(shù)由離線者決定，離線者是在已知在線者策略的情況下做出使得在線策略費(fèi)用最多的選擇，而在線者的目的是找出無論l取何值都能使得競(jìng)爭(zhēng)比達(dá)到最小的t，記為t*。用l表示使用設(shè)備的實(shí)際期數(shù)，rt(l)表示在線策略A(t)的費(fèi)用與最優(yōu)離線策略費(fèi)用的比值。根據(jù)在線算法可知，R(t)=maxlrt(l)表示在線者對(duì)輸入的需求期數(shù)未知時(shí)確定性策略A(t)的競(jìng)爭(zhēng)比，所對(duì)應(yīng)的l值為離線者選擇的輸入序列；R*=minimaxlrt(l)表示在線策略的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比，對(duì)應(yīng)的t值記為t*，則A(t*)是最優(yōu)在線策略。下面將對(duì)t分情況討論，從而找出t*以及最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比：

表1 不同情形下rt(l)的值及關(guān)于l的單調(diào)性

綜上所述，放棄優(yōu)惠機(jī)會(huì)時(shí)的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比為：

R(t*)=min{R1(t),R2(t),R3(t),R4(t)}

3 選擇簽訂優(yōu)惠合同時(shí)的最優(yōu)在線策略

如果承租人不放棄優(yōu)惠機(jī)會(huì)，則可供選擇的確定性策略記為S(t1,t2)：在前t1-1期一直選擇單期租賃設(shè)備，到第t1期如果仍需要設(shè)備則選擇簽訂優(yōu)惠合同，到t2期仍需要設(shè)備則選擇購買設(shè)備，其中t2≥t1+T。在線策略S(t1,t2)的費(fèi)用為：

(3)

引理假設(shè)f(x)是某個(gè)區(qū)間[a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，c是一個(gè)常數(shù)，則在該區(qū)間內(nèi)有minxmax{f(x),c}=max{minxf(x),c}成立。

證明若對(duì)于任意的x∈[a,b)都有f(x)≥c，則有下面的式子成立： 左邊=minxmax{f(x),c}=maxxf(x)=max{minxf(x),c}=右邊。

若存在一個(gè)x0∈[a,b)使得f(x0)

相應(yīng)地，左邊=minxmax{f(x),c}=c=max{minxf(x),c}=右邊。因此引理成立。

證明在線策略S(t1,t2)的費(fèi)用與最優(yōu)離線策略費(fèi)用的比值rt1,t2(l)可由公式(1)和公式(3)得到，接下來通過對(duì)t1分情況來討論競(jìng)爭(zhēng)比。

情形1當(dāng)1≤t1

情形1-1當(dāng)t1+T≤t2≤p+(1-d)T時(shí)，由公式(1)和公式(3)可得在線費(fèi)用與最優(yōu)離線費(fèi)用的比值以及單調(diào)性如表2情形1-1所示。從單調(diào)性的分析中可以得到：

=max{rt1,t2(t1),rt1,t2(t2)}

接下來在1≤t1

mint1,t2R11(t1,t2)=mint1,t2R11(t1,t2=p+(1-d)T)

>R11(t1=dT,t2=p+(1-d)T)

情形1-2當(dāng)t2>p+(1-d)T時(shí)，在線費(fèi)用與最優(yōu)離線費(fèi)用的比值以及單調(diào)性如表2情形1-2所示。從單調(diào)性的分析中可以得到：

=max{rt1,t2(t1),rt1,t2(t2)}

mint1,t2R12(t1,t2)>R12(t1=dT,t2=p+(1-d)T)

綜合情形1-1和情形1-2的分析可得，當(dāng)1≤t1

R1=min{mint1,t2R11(t1,t2),

(4)

情形2當(dāng)dT≤t1

情形2-1當(dāng)t1+T≤t2≤p+(1-d)T時(shí)，在線費(fèi)用與最優(yōu)離線費(fèi)用的比值以及單調(diào)性如表2 情形2-1所示。從單調(diào)性的分析中可以得到：

=max{rt1,t2(t1),rt1,t2(t2)}

mint1,t2R21(rt1,t2)=mint1,t2R21(t1,t2=p+(1-d)T)

=R21(t1=dT,t2=p+(1-d)T)

情形2-2當(dāng)t2>p+(1-d)T時(shí)，在線費(fèi)用與最優(yōu)離線費(fèi)用的比值以及單調(diào)性如表2情形2-2所示。從單調(diào)性的分析中可以得到：

mint1,t2R22(rt1,t2)>R22(t1=dT,t2=p+(1-d)T)

綜合情形2-1和情形2-2的分析可得，當(dāng)dT≤t1

R2=min{mint1,t2,R21(t1,t2),

(5)

情形3當(dāng)T≤t1

情形3-1當(dāng)t1+T≤t2≤p+(1-d)T時(shí)，在線費(fèi)用與最優(yōu)離線費(fèi)用的比值以及單調(diào)性如表2情形3-1所示。從單調(diào)性的分析中可以得到：

R31(t1,t2)=max{rt1,t2(tT),rt1,t2(t1),rt1,t2(t2)}

mint1,t2R31(rt1,t2)

>R31(t1=p-dT,t2=p+(1-d)T)

情形3-2當(dāng)t2>p+(1-d)T時(shí)，在線費(fèi)用與最優(yōu)離線費(fèi)用的比值以及單調(diào)性如表2情形3-2所示。從單調(diào)性的分析中可以得到：

R32(t1,t2)=max{rt1,t2(tT),rt1,t2(t1),rt1,t2(t2)}

mint1,t2R32(t1,t2)>>R32(t1=p-dT,t2=p+(1-d)T)

綜合情形3-1和情形3-2的分析可得，當(dāng)T≤t1

R3=min{mint1,t2R31(t1,t2),mint1,t2R32(t1,t2)}

(6)

情形4當(dāng)p-dT≤t1p+(1-d)T，因此t2≥t1+T，在線費(fèi)用與最優(yōu)離線費(fèi)用的比值以及單調(diào)性如表2情形4所示。從單調(diào)性的分析中可以得到：

R41(t1,t2)=max{rt1,t2(tT),rt1,t2(t1),rt1,t2(t2)}

R4=mint1,t2R41(t1,t2)=mint1R41(t1,t2=t1+T)

R4≥mint1max{f(t1),g(t1)}

≥max{f(p+(1-d)T),g(p-dT)}

(7)

情形5當(dāng)t1≥p+(1-d)T時(shí)，t2≥t1+T恒成立，在線費(fèi)用與最優(yōu)離線費(fèi)用的比值以及單調(diào)性如表2情形5所示。從單調(diào)性的分析中可以得到：

R5=mint1,t2R51(t1,t2)=mint1R51(t1,t2=t1+T)

=R51(t1=p+(1-d)T,t2=t1+T)

(8)

從定理3中可看到，選擇簽訂優(yōu)惠合同時(shí)的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比與不存在合同時(shí)的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比是相等的，該值只與設(shè)備的價(jià)格有關(guān)，與優(yōu)惠合同內(nèi)容無關(guān)。然而這并不能說明關(guān)于優(yōu)惠合同存在的研究是無意義的，因?yàn)閮煞N情況下的最優(yōu)離線費(fèi)用是不相等的，不存在優(yōu)惠合同時(shí)的最優(yōu)離線費(fèi)用一定大于優(yōu)惠合同存在時(shí)的最優(yōu)離線費(fèi)用。因此對(duì)于承租者來說，雖然競(jìng)爭(zhēng)比一樣，但其最終支付的費(fèi)用是小于合同不存在情況的。除此之外，定理3還給出了選擇簽訂優(yōu)惠合同時(shí)的最佳簽訂合同時(shí)間、最佳購買設(shè)備時(shí)間與合同中租期、折扣之間的函數(shù)關(guān)系，這為承租者的決策提供了理論依據(jù)。

表2 不同情形下rt1,t2(l)的值及關(guān)于l的單調(diào)性

4 數(shù)值分析

汽車融資租賃是指出租人根據(jù)承租人對(duì)汽車和供貨人的選擇，將其從供貨人處取得的汽車按照合同約定出租給承租人并收取租金的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)。中國(guó)的汽車租賃租賃市場(chǎng)于2008 年起步，目前處于成長(zhǎng)初期。有數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)汽車金融的滲透率約為25%，其中融資租賃的比例只有2%不到，然而在美國(guó)等發(fā)達(dá)國(guó)家汽車金融的滲透率高達(dá)80%，其中融資租賃占比超過40%。融資租賃是一種強(qiáng)有力的促銷手段，未來在中國(guó)汽車市場(chǎng)將會(huì)迎來快速的發(fā)展。汽車融資租賃企業(yè)想要增強(qiáng)自身的競(jìng)爭(zhēng)力，需要不斷拓展業(yè)務(wù)以及加強(qiáng)模式創(chuàng)新，從而為承租方提供更多的選擇。面對(duì)選擇時(shí)如何做出最優(yōu)決策對(duì)承租人來說意義重大。

假設(shè)某汽車融資租賃企業(yè)的某種設(shè)備每期的租賃費(fèi)用為1，購買價(jià)格p為100，企業(yè)提供的租賃優(yōu)惠合同中的租期為T，折扣為d。由定理3可知當(dāng)承租人選擇簽訂優(yōu)惠合同時(shí)的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比與合同內(nèi)容無關(guān)，僅與設(shè)備的購買價(jià)格有關(guān)，為1.99。圖1顯示了承租人放棄優(yōu)惠機(jī)會(huì)時(shí)的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比隨合同中租期和折扣的變化而變化的情況。從圖中可以看出，最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)恒大于2，且隨著合同中租期的增加或者折扣的減少而增大。對(duì)比兩種情形下的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比可看出，對(duì)承租者來說當(dāng)存在優(yōu)惠合同時(shí)，選擇簽訂優(yōu)惠合同是較優(yōu)的策略。

圖1 不放棄優(yōu)惠合同時(shí)最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比與合同中的租期、折扣的關(guān)系圖(P=100)

圖2 最佳簽訂優(yōu)惠合同時(shí)間與合同中的 租期、折扣的關(guān)系圖(P=100)

當(dāng)承租人選擇簽訂優(yōu)惠合同時(shí)，接下來對(duì)汽車承租人最佳簽訂優(yōu)惠合同時(shí)間和最佳購買設(shè)備時(shí)間進(jìn)行數(shù)值分析。圖2顯示了最佳簽訂優(yōu)惠合同時(shí)間隨著合同中租期和折扣的變化而變化的情況，從圖中可以看出，最佳簽訂優(yōu)惠合同時(shí)間隨著合同中連續(xù)租賃期數(shù)的增加而推遲，隨著合同中優(yōu)惠力度的增加而推遲。圖3顯示了最佳購買設(shè)備時(shí)間隨著合同中租期和折扣的變化而變化的情況，最佳購買設(shè)備時(shí)間隨著合同中連續(xù)租賃期數(shù)的增加而推遲，隨著合同中優(yōu)惠力度的增加而推遲。

圖3 最佳購買設(shè)備時(shí)間與合同中的 租期、折扣的關(guān)系圖(P=100)

5 結(jié)論

針對(duì)設(shè)備租賃市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的現(xiàn)狀，本文基于經(jīng)典的Karp租雪橇在線競(jìng)爭(zhēng)比模型，研究了存在一份優(yōu)惠合同時(shí)承租者的在線決策問題。當(dāng)存在優(yōu)惠合同時(shí)，承租者有權(quán)利選擇是否簽訂該合同，因此本文研究了放棄合同和簽訂合同兩種情形下的最優(yōu)在線策略以及最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)比，同時(shí)得到了簽訂合同情形下的最佳簽訂合同時(shí)間和最佳購買設(shè)備時(shí)間。最后通過汽車租賃的數(shù)值算例說明，當(dāng)存在優(yōu)惠合同時(shí)選擇簽訂合同是更好的選擇，簽訂合同的最佳時(shí)間隨著合同中租期或者折扣的增加而推遲，最佳購買時(shí)間隨著合同中租期的增加而推遲、隨著折扣的增大而提前?，F(xiàn)實(shí)租賃市場(chǎng)中，出租方提供的優(yōu)惠活動(dòng)形式是多種多樣的，除了優(yōu)惠合同外，影響承租方?jīng)Q策的因素還有通貨膨脹、利率以及承租方的風(fēng)險(xiǎn)偏好等，不同影響因素下承租方的在線決策問題都可以使用在線算法和競(jìng)爭(zhēng)比理論進(jìn)行研究。