李明照，袁仕芳，田勇

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020)

本文中，Rm×n為所有m×n實(shí)矩陣集合；Cm×n為所有m×n復(fù)矩陣集合；SRn×n為所有n階實(shí)對(duì)稱矩陣集合；ASRn×n為所有n階實(shí)反對(duì)稱矩陣集合；Q為所有分裂四元數(shù)集合；S為所有n維分裂四元數(shù)列向量集合；為所有m×n分裂四元數(shù)矩陣集合；為所有m階反Hermite分裂四元數(shù)矩陣集合；In為n階單位矩陣；0m×n為m×n零矩陣. 對(duì)于A∈Cm×n，Re(A)，Im(A)和A+分別表示矩陣A的實(shí)部、虛部和廣義逆. 對(duì)于任意和AH分別表示矩陣A的共軛矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣和共軛轉(zhuǎn)置矩陣.

任意分裂四元數(shù)q可以用實(shí)數(shù)q0,q1,q2,q3唯一表示：

其中，i2=-j2=-k2=-1，ij=-ji=k ，jk=-kj=-i ，ki=-ik=j .

任意分裂四元數(shù)q還可以用復(fù)數(shù)c1,c2唯一表示：

其中，c1=q0+q1i ，c2=q2+q3i.

對(duì)于分裂四元數(shù)q=c1+c2j，c1,c2∈C，它的復(fù)表示矩陣為

其中，Re(A1)，Im(A1)，Re(A2)，Im(A2)∈Rm×n.

分裂四元數(shù)矩陣A的共軛矩陣唯一表示為：

分裂四元數(shù)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣唯一表示為：

分裂四元數(shù)矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣唯一表示為：

AH還可以唯一表示為：

f(A)與A是一一對(duì)應(yīng)的. 若則f(AB)=f(A)f(B).

分裂四元數(shù)矩陣A=A1+A2j ，A1,A2∈Cm×n，定義算子

顯然ΦA(chǔ)與A是一一對(duì)應(yīng)的.

1）A=B當(dāng)且僅當(dāng)ΦA(chǔ)=ΦB；2）ΦA(chǔ)+B=ΦA(chǔ)+ΦB；3）ΦlA=lΦA(chǔ)；4）ΦA(chǔ)C=ΦA(chǔ)f(C).

本文利用分裂四元數(shù)矩陣的復(fù)表示矩陣、列拉直算子、Kronecker積來(lái)討論分裂四元數(shù)矩陣方程的反Hermite解，其中

文獻(xiàn)[1-10]研究了四元數(shù)矩陣、分裂四元數(shù)矩陣、四元數(shù)矩陣方程以及分裂四元數(shù)矩陣方程，其中，王茂香等[4]研究了分裂四元數(shù)線性方程組的Cramer法則；趙琨等[5]得到了分裂四元數(shù)矩陣方程的解. 本文將在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上討論方程（14）的反Hermite解.

1 幾個(gè)定義、引理和定理

定義1設(shè)設(shè)定義一個(gè)列向量vecS(A)：

定義2設(shè)設(shè)b1=(b21,b31,…,bn1)，b2=(b32,b42,…,bn2),…，bn-2=(b(n-1)(n-2),bn(n-2))，bn-1=(bn(n-1)). 定義一個(gè)列向量vecA(B)：

引理1[10]3241i）設(shè)X∈Rn×n，則

其中vecS(X)定義參照式（15）定義.

其中ei是In的第i個(gè)列向量.

ii）設(shè)X∈Rn×n則

其中，ei是In的第i個(gè)列向量. 顯然，有

對(duì)于A∈Cm×n，X∈Cn×s，B∈Cs×t，

在分裂四元數(shù)矩陣中不再成立. 我們現(xiàn)在研究vec(ΦA(chǔ)XB)的表示形式.

引理2[10]3240設(shè)其中A1,A2∈Cm×n，X1,X2∈Cn×s，B1,B2∈Cs×t. 則

定理1對(duì)于任意有

證明

定理2設(shè)

則有

證明對(duì)于則

定理3設(shè)則

2 矩陣方程AXAH+BYBH=C的反Hermite解

引理3[6]對(duì)于A∈Rm×n，b∈Rn矩陣方程Ax=b有解的充要條件是AA+b=b. 在有解的條件下，通解可以表示為

其中y∈Rn是一個(gè)任意的向量. 當(dāng)rank(A)=n時(shí)，x=A+b是方程Ax=b的唯一解.x=A+b是Ax=b的極小范數(shù)解.

定理4對(duì)于設(shè)Mn=diag(KA,KS,KS,KS)，則方程（15）有反Hermite解的充要條件是：

在有解的條件下，記方程（15）的解集合為AHE. 則

y是有適當(dāng)階數(shù)的任意向量.

證明矩陣方程（14）可變?yōu)?/p>

由定理4有：