孫為民

（南京大學物理學院，江蘇南京210093）

核子自旋結構問題的研究，自20世紀80年代后期發(fā)軔以來，在實驗與理論的交互推動和促進下有了驕人的發(fā)展［1］，在高能物理現(xiàn)象學界，形成了“高能自旋物理”獨特的小型專業(yè)領域。JI［2］的原創(chuàng)性基礎研究首次給出了核子自旋的規(guī)范不變分解方案，多年來，此方案被學界公認為最標準的分解形式，指引著自旋物理的研究方向和工作脈絡。2008 年，CHEN 等［3］提出并建立了一種新的、完全QCD意義的核子自旋分解的整體性方案，在自旋物理領域引發(fā)了一股熱潮［4-5］。 此后，研究者從不同角度，改進和發(fā)展了CHEN等的方案，并提出不同的意見和看法，極大地豐富了現(xiàn)有的知識結構與理論體系。其中LEADER［6］獨樹一幟，認為CHEN等［3］堅持的“規(guī)范不變性”完全沒有必要，現(xiàn)實規(guī)范理論中，甚至連一個物理系統(tǒng)的總動量、總角動量算符也并非規(guī)范不變的。因此，他認為堅持“規(guī)范不變性”的分解原則是多余和不足取的，在構造一般意義的動量、角動量分解方案時，最基本的要求是“各部分的動量、角動量算符”是“相應的粒子場算符的平移、轉動生成元”。據此提出最原始的“正則形式”的總動量和角動量分解方式才是自然和物理上唯一正確的。此后，CHEN［7］回應并指出，如果定義與考慮“物理的規(guī)范場、費米子場”算符，那么，文獻［3］中的“動量、角動量算符”自然也滿足這一“生成元判據”。文獻［7］討論的情形，實質上是限于所謂的“庫倫規(guī)范”的 GIE（Gauge invariant extention，規(guī)范不變擴展形式），從數學角度看，這種所謂的“物理場”算符，就是通常所說的“Dirac變量”。文獻［4］認為，對于一般的 GIE（即推廣的Dirac變量），這種“生成元判據”自然是滿足的。因而，這一點似乎已經有了“定論”。

本文將重新探討這一問題。事實上，“生成元判據”的檢驗，需用到量子化場算符的“等時對易關系”，而在規(guī)范理論中，選擇不同的量子化規(guī)范，會有不同的“算符等時對易關系”，產生的Hilbert空間都不一樣。Dirac變量（也就是GIE）是規(guī)范不變的，它們之間的“等時對易關系”，也不一定就是“標準形式”。 然而，文獻［4］卻完全默認了這一點，自然認為這種“生成元判據”一定滿足物理場。原則上，應從特定規(guī)范下的算符量子化方案出發(fā)加以檢驗。規(guī)范場理論對一般規(guī)范條件下的（算符）量子化形式無統(tǒng)一的處理方法，通常是對給定形式做特定的討論。一般而言，任意2種不同規(guī)范下的量子理論的聯(lián)系，即所謂的“量子規(guī)范變換”，是非常困難的，早在 20世紀 70年代，STROCCHI等［8］就提出了基本理論框架，描述了“量子規(guī)范變換”的構造語言，其中討論的是量子電動力學，但并未得到一般情形的顯式構造。本文將針對檢驗規(guī)范場理論中“生成元判據”的基本問題，在最簡單的“自由電磁場理論”中，選取一類較普遍的“靜態(tài)規(guī)范”作為實例，采用構造性方法，建立從“庫倫規(guī)范”到“靜態(tài)規(guī)范”的“量子規(guī)范變換”。然后，討論新規(guī)范下的自由電磁場量子理論，包括 Poincaré群生成元的具體構造，并檢驗這種生成元判據的正確性。主要工作包括兩部分：首先，建立理論構造的基礎，對于電磁場的量子理論，本文所得的構造形式是新的；然后，用此理論具體分析“生成元判據”問題。本文討論的是最簡單的規(guī)范場系統(tǒng)，即自由電磁場，結果表明，這種“生成元判據”的成立依賴于具體的“規(guī)范條件”，即特定 GIE場的“定義條件”。本文工作對規(guī)范場理論以及核子自旋結構研究，均有一定的參考作用。

1 量子規(guī)范變換基本形式

本節(jié)的主要目的是建立“量子規(guī)范變換”的構造形式。 首先，依照文獻［4］的觀點，即規(guī)范勢Aμ的“規(guī)范不變擴展”，將某一特定“經典規(guī)范條件”下的Aμ用場強Fμν表達（往往是一個非定域形式的積分表達式），使其成為“規(guī)范不變式”，與“洛倫茲不變擴展”類似。比如，一個相對論性粒子的“靜止質量”平方滿足：pμpμ=m2，從任何一個慣性參照系（假定考慮狹義相對論的平直閔可夫斯基時空）中看都是不變的。 GIE的基本實例，即“庫倫規(guī)范GIE”。 庫倫規(guī)范條件：?iAi=0，可以唯一確定規(guī)范勢Aμ（只要加上物理的邊界條件：Aμ(x,t)||x|→∞=0），利用Fμν= ?μAν- ?νAμ，就可以得到庫倫規(guī)范中的電磁勢

式（1）稱為“庫倫規(guī)范 GIE”。 在自由電磁場情形下，式（1）可化為

其中，A⊥i是矢量勢Ai的橫向部分。在核子自旋結構問題的研究中，提出了多種GIE形式，有“光錐規(guī)范條件”A+=0的 GIE，“軸規(guī)范條件”A3=0的GIE等［9］。這些都是為特定目的設計的。在LEADER提出的規(guī)范場理論中，認為動量、角動量算符分解的“生成元判據”是“適用于物理的規(guī)范場和費米場算符”的，因而是正確的。這里的“物理場”等同于數學上“推廣的 Dirac變量”，其實，就是GIE表達式，即“規(guī)范不變的場”。在特定規(guī)范條件（即GIE的“定義條件”）下，自然回到了原有的Aμ場。本文工作中，筆者試圖從根本上進行檢驗，則需要研究由“GIE算符”出發(fā)的生成元算符的構造，及其之間的基本對易關系。GIE場事實上代表了特定規(guī)范下的規(guī)范勢，因此，需要從這一類特定規(guī)范下的“量子規(guī)范理論”出發(fā)進行討論。

STROCCHI等［8］所建立的理論框架為量子電動力學的“量子規(guī)范變換”提供了一種普遍性的語言，但他們并未給出任意2個“規(guī)范條件”下相應“量子電動力學理論”之間明顯構造性的聯(lián)系形式。本文將在一定意義上，從標準的庫倫規(guī)范到較為廣泛的“靜態(tài)規(guī)范”之間，針對自由的電磁場理論建立“量子規(guī)范變換”的明顯構造形式，并討論這類“靜態(tài)規(guī)范”下的量子化電磁場理論，包括Poincaré變換生成元的具體構造方式，從而明確回答了“生成元判據”是否成立這一問題。

“靜態(tài)規(guī)范”是指這一形式的“線性規(guī)范條件”：PiAi=0，其中，Pi=(P1,P2,P3)是一個三分量的常數或微分算子，不包含對時間變量的微商運算，要求Pi中不顯含時間或空間坐標（從而排除了Poincaré規(guī)范x?A=0這類情形），目的是保持整體理論表述形式的時空平移不變。

特定規(guī)范下的GIE，實質上就是此規(guī)范下的Aμ場。PiAi=0規(guī)范下的APμ場，同庫倫規(guī)范?iAi=0下的ACμ場，由于對應于同樣的場強Fμν，兩者之間，必然相差一個標量函數的四維梯度［10］：

其中，標量函數f(x)實質上是依賴于場位形的。取式（2）的空間分量：，再由條件，就有

式（3）為決定未知函數f(x)的一個非齊次偏微分方程，可用標準的格林函數法求解，得到

具體采用哪一種格林函數，由邊界條件決定。于是，有

類似地，由

得

最后，有

接下來建立“靜態(tài)規(guī)范”PiAi=0下的量子場理論。規(guī)范場量子化問題的討論，實質是獨立自由度的考慮和量子場Hilbert空間的建立。通常在庫倫規(guī)范量子化中，只有2個橫場自由度被量子化，生成的Fock空間，只包含橫極化光子態(tài)，而在洛倫茲規(guī)范量子化中，Aμ的4個分量皆被量子化，生成的量子態(tài) Fock空間中，包含4種極化光子，且具有不定度規(guī)。

借助經典場意義的對映關系式（5）和（7）來構造PiAi=0規(guī)范下量子理論的基本思想。若庫倫規(guī)范勢ACμ中包含2個橫向的物理自由度，那么，由式（5）和式（7）所構造的APμ亦如此。 既然，物理自由度數目一樣，那么，可以直接在原有的“庫倫規(guī)范的Fock空間”上，建立“新規(guī)范PiAi=0”的量子理論。下面將進行具體描述。

取定庫倫規(guī)范量子化的Fock空間。此Fock空間有唯一的真空態(tài)和一套完整的橫場算符的集合。理論上，任何一個物理態(tài)都可由場算符的多項式作用于真空態(tài)而得到。定義一種新的量子規(guī)范勢算符APi：

這在數學上無疑是正確和可接受的，從物理意義看，無非是從原有的庫倫場出發(fā)定義了一套新的場，是在場算符的意義上而非經典場函數的意義上定義的，此過程自然保證滿足“算符規(guī)范條件”：0。 注意，此過程沒有改換 Hilbert空間，即Hilbert空間始終沒變，只是定義了一套新的場，滿足另一種“規(guī)范條件”罷了。再定義：

于是，一套完整的“規(guī)范勢算符”APμ(x)構造成功。

以上便是本文工作基礎構造的出發(fā)點。雖然，規(guī)范條件PiAPi=0的形式有無窮多種選擇，原有的庫倫規(guī)范Fock空間上，就有無窮多套新規(guī)范勢算符APμ，但其對應的“場強算符”卻完全相同，均為

先看場算符之間“等時對易關系”的形式。庫倫規(guī)范量子化中，共軛場變量為(AiC,EiC)，其中電場為其間的標準等時對易子為

利用式（8），同時記EPi=ECi，可得

注意到，式（16）右端不再是標準的“三維橫向Diracδ函數”形式，這是因為需要與“算符規(guī)范條件”PiAPi=0相一致。在一般的靜態(tài)規(guī)范下，有可算出之間的等時對易式。利用式（8），就可得

其中，僅涉及橫波極化和相應的自由光子態(tài)的產生湮滅算符。由式（8）可得

式（19）為“扭曲的平面波展開”式。

下面討論新的量子化方案（規(guī)范條件PiAi=0決定的量子化形式）的定域性問題和微觀因果性問題。眾所周知，庫倫規(guī)范下電磁場的量子化理論不是“定域”的，對任意2個時空點x,y，有

顯然，一般情形下，此“對易子函數”對于類空間隔的兩點也是非零的。因此，新規(guī)范下的理論也是非定域的。但是，與庫倫規(guī)范相同，電磁場場強算符在類空間隔兩點處總是對易的，則新規(guī)范下的理論也滿足“微觀因果性”的要求。

接下來，討論 Poincaré變換生成元。 原有的“庫倫規(guī)范”量子化中，理論上Fock空間承載了Poincaré群的一個無限維幺正表示。有10個守恒的 Poincaré群的生成元算符，即能量算符（哈密頓量算符）、動量算符、角動量算符、boost生成元算符等。在規(guī)范場理論的動量與角動量分解問題中，筆者關心的是動量、角動量算符。下面先構造哈密頓算符，因為，依照形式場論的觀點，哈密頓算符應該是理論上的時間平移生成元。

因物理自由度仍是2個，Hilbert空間也沒有變動，依據“規(guī)范不變性”的要求，有

由式（8），有

由式（8）的變換關系，易得

本文的理論構造，實質上就是在庫倫規(guī)范量子化的Fock空間上，復制出一套“靜態(tài)規(guī)范”0的自由電磁場量子理論。由于規(guī)范條件0的形式無限多，因此相應的“理論復本”也有無限多個。比如，可取“扭曲的庫倫規(guī)范”：cij?iAj=0，其中cij是一組數值系數，滿足對稱性要求：cij=cji，這類“規(guī)范條件”由cij來標記。其實，如果數值系數連續(xù)變化，“規(guī)范條件”樣式就是連續(xù)的流形，若允許有更多的選擇，整體結構會異常豐富，而所有“規(guī)范理論的復本”都是定義在原庫倫規(guī)范的Hilbert空間上的。因此，可討論從一種“理論復本”到另一種“理論復本”之間的過渡，或曰變換。很明顯，這種兩兩變換的體式，形成了一個“變換群”，與前文的討論結果一樣，這種變換不是通過Fock空間上的幺正變換來實現(xiàn)的。無論從數學角度還是量子規(guī)范場論角度看，這樣的研究都是有意義的。

2 生成元判據

文獻［4］所言的“物理的規(guī)范場”，其實就是GIE場。從橫場算符的角度看，庫倫規(guī)范場ACi是“規(guī)范不變的”，依據式（8）和式（9）的構造，新的場，也是規(guī)范不變的。前文已經建立了量子化的理論要素，這里研究“自由電磁場”，因此，不存在“分解問題”（除總角動量分解為軌道和自旋部分外），需要說明的是，即便是“整體的動量、角動量算符”，也有非平凡的現(xiàn)象出現(xiàn)。

先看“動量算符”。在原有的庫倫規(guī)范中，有

式（29）反映了理論空間平移不變的特點。規(guī)范條件PiAPi=0的構造式中，Pi是不顯含時空坐標的，因此，此“規(guī)范條件”是空間平移不變的。利用式（8）中的構造，可得

于是，動量算符P同樣也起著APi場的空間平移生成元作用。

再分析“角動量算符”。 庫倫規(guī)范中，ACi(x)是三維矢量場算符，滿足“生成元關系”：

那么，對于APi場，類似的關系式滿足嗎？從物理學角度看，從現(xiàn)有的ACi場出發(fā)，由式（8）的定義，給出場。因此，在相同的“量子場Hilbert空間”上，可由式（8）得到對應的“生成元變換式”。 注意，式（31）之所以成立，是因為ACi是轉動的三維矢量。若由式（8）所定義的APi場是一個三維矢量場，則同樣有否 則 必 有由 式（8），有因 此 ，只 有 當Pi=(P1,P2,P3)是一個真正意義的“三維矢量”時，才可說APi是一個真正轉動的“三維矢量場”。庫倫規(guī)范條件?iAi=0無疑是符合這一要求的，但任意構造的“靜態(tài)規(guī)范”PiAi=0往往不滿足此條件，如“軸規(guī)范條件”A3=0，前文所述的“扭曲的庫倫規(guī)范條件”cij?iAj=0。

至此，可以得到結論：文獻中的“角動量算符生成元判據”在“靜態(tài)規(guī)范”的自由電磁場情形下，通常是不滿足規(guī)范條件的。

那么，這一結論的物理意義是什么？前文已述，庫倫規(guī)范的Fock空間架設了Poincaré變換群的無限維幺正表示，所以，10個 Poincaré群生成元算符有良好的定義，由式（8）和式（9）的構造性定義可以指明新的APμ(x)場算符的洛倫茲變換方式：若Pi=(P1,P2,P3)非真正的三維矢量，那么規(guī)范條件PiAi=0就不是“空間轉動協(xié)變”的，此情形可類比于“庫倫規(guī)范”?iAi=0中的討論。庫倫規(guī)范條件是“空間轉動不變的”，但在boost變換下，卻非協(xié)變的，因此，在一般的boost變換下，可以定義標準的“boost生成元”算符，但不再滿足“標準的boost算符同真正四維矢量場的對易式”。事實上，在一般的boost變換下，庫倫規(guī)范勢ACμ“先做一次標準的boost，再繼續(xù)上一次附加的規(guī)范變換”，以保證在新的慣性參照系中，庫倫條件滿足：?′iA′i(x′)=0。同樣，當規(guī)范條件PiAi=0明顯非轉動協(xié)變時，對易關系式[Ji,APj]的具體形式（偏離了“三矢量變換”的標準形式）恰好表明，在三維空間轉動下先做一次標準的“矢量轉動”，再做一次“附加的規(guī)范變換”，以此，在轉動后的新坐標系中，恢復“非協(xié)變的靜態(tài)規(guī)范”：PiAPi=0。

于是得到，在自由電磁場情形下，由于GIE條件的多樣性，即便對“物理的規(guī)范場”，通常也未能滿足文獻中所提出的“角動量算符的生成元判據”。

3 總結與展望

針對自由電磁場理論，建立了從庫倫規(guī)范到特定“靜態(tài)規(guī)范”的“量子規(guī)范變換”。這種顯式構造，令“靜態(tài)規(guī)范”下量子理論的結果更為充分與豐富。本研究可進一步推廣，如當“規(guī)范條件”PiAi=0未能“唯一確定規(guī)范”時，本文所構造的“靜態(tài)規(guī)范”下的量子理論其實是不唯一的，當PiAi=0條件下無法唯一確定規(guī)范時，相應的經典場方程（3）不能唯一確定“規(guī)范變換函數”f(x)，于是，相應的量子場算符AμP(x)的構造方式就不唯一。本文只選擇了一種最簡單的構造形式，PiAi=0條件下的剩余規(guī)范自由度如何影響理論構造，有待進一步研究。

關于“生成元判據”，雖然本文只檢驗了“自由電磁場”的情形，但其物理問題的實質是清楚的，即如果“靜態(tài)規(guī)范條件”PiAi=0不是“轉動不變的”，相應的“物理場”算符就不滿足標準的“轉動生成元關系”。原則上，可做類似推廣，但“生成元判據”成立的基礎，即“規(guī)范條件”（GIE的定義條件）的轉動變換不變性，不會改變。筆者期望在將來的工作中，這一問題有更明確的結論，包括由這一理論框架向非阿貝爾規(guī)范場情形的推廣。