陳幼玲

（古田縣第二小學(xué)，福建 古田 352200）

培養(yǎng)學(xué)生的推理能力、幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求。數(shù)學(xué)推理是“人們在數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)作用下，由若干數(shù)學(xué)條件，結(jié)合一定的數(shù)學(xué)知識、方法，對數(shù)學(xué)對象形成某種判斷的思維操作過程”。[1]小學(xué)階段的數(shù)學(xué)推理主要包括含有歸納、類比等以經(jīng)驗和直覺為依據(jù)的合情推理，以及以確定發(fā)展為依據(jù)的演繹推理。[2]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》認(rèn)為，合情推理就是“從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果”；演繹推理就是“從已有的事實和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算”。思考的經(jīng)驗是學(xué)生“在思維操作中開展活動獲得的經(jīng)驗，如歸納的經(jīng)驗、類比的經(jīng)驗、證明的經(jīng)驗?！盵3]如果教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷推理過程，就能有效培養(yǎng)他們的推理能力，幫助他們積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗，教學(xué)就會一舉多得、事半功倍?，F(xiàn)以北師版四年級上冊《運算律》單元的教學(xué)為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生在推理過程中積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗。

一、推理中形成思考的經(jīng)驗

數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。它是學(xué)生對數(shù)學(xué)對象理解和掌握的過程，是學(xué)生從數(shù)學(xué)角度理性思維發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象、用數(shù)學(xué)知識和方法解決問題的過程。為了幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗，教師要引導(dǎo)學(xué)生獨立、自覺地深入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，在具體的教學(xué)情境中經(jīng)歷分析、對比、歸納、整理、判斷、推理等思維過程，幫助他們在揭示知識本質(zhì)的過程中逐漸形成數(shù)學(xué)思考的獨特經(jīng)驗。

教學(xué)加法交換律時，學(xué)生口算4+6和6+4并用4+6=6+4表示后，照樣子寫出算式2+3=3+2，62+53=53+62，234+567=567+234……學(xué)生經(jīng)過仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)交換兩個加數(shù)的位置，和不變。用生活中的事例解釋發(fā)現(xiàn)時，有的畫圖（圖1）驗證，從電影院到學(xué)校的距離和從學(xué)校和到電影院的距離一樣；有的舉例驗證：四年級1班有27名男生和24名女生，用27+24或24+27計算，結(jié)果都表示全班人數(shù)……用a、b表示兩個加數(shù)時，他們很快用a+b=b+a表示加法交換律。最后，學(xué)生用規(guī)律解釋358+276豎式計算和276+358驗算的道理。

圖1

教學(xué)乘法交換律時，學(xué)生先由3×5=15和5×3=15引出3×5=5×3，接著舉出類似例子發(fā)現(xiàn)“兩個數(shù)相乘交換乘數(shù)的位置積不變”的規(guī)律，然后解釋發(fā)現(xiàn)，并用含有字母的式子表示規(guī)律——a×b=b×a，再用規(guī)律解釋5×107=535和驗算107×5的道理，最后比較兩個運算律的異同，理解并掌握規(guī)律的內(nèi)涵。

學(xué)生模仿舉例中用了類比推理，初步感知交換律；學(xué)生發(fā)現(xiàn)交換律的過程用了歸納推理，體驗了規(guī)律抽象概括過程，初步形成歸納的經(jīng)驗——個例猜想不能表示普遍規(guī)律，必須通過驗證；應(yīng)用規(guī)律解釋算理是演繹推理（如大前提是a+b=b+a，小 前 提 是 358+276=634，結(jié) 論 是276+358=634）的過程，學(xué)生從中初步形成數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗——簡單演繹推理有利于掌握知識本質(zhì)。探究乘法交換律時，學(xué)生剛形成數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗得到了豐富。

二、推理中豐富思考的經(jīng)驗

數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗是學(xué)生直接或間接參與數(shù)學(xué)思維活動產(chǎn)生形成的。教師要充分引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考過程，關(guān)注學(xué)生思考什么，怎么思考，思考結(jié)果怎樣等。教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、操作、實驗、猜想、驗證、歸納和類比等數(shù)學(xué)活動，成為他們形成數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗的開發(fā)者和促進(jìn)者，幫助他們在推理過程中形成思考的經(jīng)驗。

教學(xué)加法結(jié)合律時，教師先引導(dǎo)學(xué)生觀察（4+8）+ 6 = 4 +（8 + 6）和（19 + 62）+ 38 =19+（62+38）兩組等式，再模仿舉例。學(xué)生經(jīng)過仔細(xì)觀察提出猜想——三個數(shù)相加，先算前兩個數(shù)或先算后兩個數(shù)相加和不變。解釋發(fā)現(xiàn)時，有的用桃30個梨40個和蘋果50個為例說明求總數(shù)，可以用（30+40）+50或30+（40+50）表示；有的用一只足球20元、一只游泳圈23元和一只籃球6元為例說明（20+23）+6=20+（23+6）都表示三種體育用品的單價之和……最后，學(xué)生用字母a、b、c表示規(guī)律——(a+b)+c= a+(b+c)，并用所學(xué)知識計算57+288+43，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用加法交換律和結(jié)合律能使計算簡便。

教學(xué)乘法結(jié)合律時，學(xué)生由（2×4）×3=24和2×（4×3）24想到（2×4）×3= 2×（4×3），照樣子寫出一些例子后發(fā)現(xiàn)規(guī)律——三個數(shù)相乘，先把前2個數(shù)相乘或先把后兩個數(shù)相乘積不變，然后用生活中的事例解釋發(fā)現(xiàn)：有的用方塊拼圖解釋，有的用買飲料的例子解釋……再嘗試用含有字母的式子表示規(guī)律——（a×b）×c=a×（b×c），最后思考如何計算125×9×8。他們在觀察算式中的運算符號和數(shù)的特點中加深理解和掌握乘法結(jié)合律。

學(xué)生探究結(jié)合律所經(jīng)歷的歸納推理和演繹推理的過程與交換律的過程相似。他們在類比推理中寫出相似算式，在歸納推理中經(jīng)歷規(guī)律的抽象概括過程，在應(yīng)用規(guī)律中借助演繹推理掌握運算律。他們從中再次形成數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗：多寫一些類似的例子有助于猜想，但猜想只有經(jīng)過驗證才能成為規(guī)律；簡單的演繹推理有助于理解并掌握結(jié)合律的知識本質(zhì)。這些經(jīng)驗和前面所形成的經(jīng)驗相似，學(xué)生在再次推理中“重復(fù)”了數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗，從而豐富了數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗。

三、推理中深化思考的經(jīng)驗

思考是學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的關(guān)鍵。學(xué)生積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗離不開他們已有經(jīng)驗的遷移，也需要他們在經(jīng)歷一些本質(zhì)相同、形式不一的數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行改造和提升，才能使思考經(jīng)驗由低層次不斷向高層次發(fā)展和提升。教師要充分應(yīng)用各種教學(xué)資源，使學(xué)生在豐富多彩的學(xué)習(xí)素材中實現(xiàn)經(jīng)驗的聯(lián)結(jié)，幫助他們在推理過程中不斷形成、發(fā)展和提升數(shù)學(xué)思考經(jīng)驗，從而實現(xiàn)經(jīng)驗的積累。

教學(xué)乘法分配律時，學(xué)生計算貼瓷磚的塊數(shù)并說說如何計算：根據(jù)瓷磚顏色，有的用3×10+5×10計算，有的則用（3+5）×10計算；根據(jù)貼瓷磚位置，則用4×8+6×8計算，有的則用（4+6）×8計算，結(jié)果都是80塊。觀察兩組算式時，他們根據(jù)瓷磚顏色和位置分別寫出算式3×10+5×10=（ 3+5）×10和 4×8+6×8=（4+6）×8，并類比寫出更多相似例子，嘗試描述乘法分配律：一個數(shù)乘兩個數(shù)的和等于這個數(shù)分別乘這兩個數(shù)所得積的和，并用a、b、c表示規(guī)律（a+b）×c=a×c+b×c。結(jié)合算式4×9+6×9說明乘法分配律時，有的學(xué)生畫點子圖（圖2）說明，有的學(xué)生直接用4個9加上6個9，一共10個9，就是（4+6）×9進(jìn)行說明。最后，學(xué)生分別觀察（80+4）×24和34×72+34×28的特點，在應(yīng)用中理解并掌握乘法分配律。

圖2

用字母表示乘法分配律是由特例的共性特點歸納概括出一般性結(jié)論的過程，從抽象豎式回歸現(xiàn)實，借助圖形直觀解釋發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步認(rèn)識乘法分配律。在探索運算律的過程中，學(xué)生又經(jīng)歷了一次推理過程，并形成新的思考經(jīng)驗：類比和歸納在探究規(guī)律中必不可少；解釋說明規(guī)律可以畫圖，也可以直接表達(dá)；應(yīng)用規(guī)律簡便計算需要會講道理。學(xué)生數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗不是簡單重復(fù)，而是螺旋上升，不斷深化和提升。

總之，學(xué)生在究性學(xué)習(xí)，很好地經(jīng)歷了推理過程。學(xué)生通過觀察、仿寫、解釋和表達(dá)活動，自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、歸納和總結(jié)規(guī)律，不但提升了數(shù)學(xué)思維能力，而且感悟了推理思想，還積累了數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗。當(dāng)然，他們積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗是一個循序漸進(jìn)的過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生一方面在推理中獲得經(jīng)驗，另一方面要在推理中豐富和深化思考經(jīng)驗，使學(xué)生在循序漸進(jìn)中不斷提升活動經(jīng)驗。