鄭玉梅

向量集數(shù)、形于一身，既有代數(shù)的抽象性，也有幾何的直觀性.向量的數(shù)量積是其核心內(nèi)容，也是教學(xué)過程中的難點.其求解方案大致可以從“定義、基向量法，或建系、坐標化”等等角度處理.但若是碰到特殊情況，將向量與三角形的外心相結(jié)合，此類問題義該如何破解呢？下面就從與三角形“外心”有關(guān)的單個向量數(shù)量積問題和雙參平面向量問題出發(fā)，一起來感受一下求解的一般方法！

一、與單個向量有關(guān)的數(shù)量積問題

本題主要考查三角形中與“外心”有關(guān)的單個數(shù)量積計算問題，意在考查同學(xué)們的運算求解及化歸與轉(zhuǎn)化思想運用的能力.初次碰到此題很多同學(xué)不會求解，解題過程中，機械地將條件不停地加以嘗試和利用，方向不明，耗時較多.

思路一 利用數(shù)量積定義，如圖1.

思路二 取AC中點，利用垂直轉(zhuǎn)化與化歸;

小結(jié)

一般地，與“外心”有關(guān)的單個數(shù)量積問題，與哪條邊有關(guān)，就取哪條邊中點然后向目標線段轉(zhuǎn)化.此題同學(xué)們陸續(xù)想到的解題思路線索就是上述解法1、2，不同解題思路及到達的相應(yīng)步驟反映了同學(xué)們對此題的熟悉程度.以后隨知識的增加，這個易于辨識的常規(guī)問題，還可能改頭換面，會多一些求邊或角的過程，我們要揣摩出題者的意圖，在解決問題的局部時進行行動方向上的評估，選擇與變通使用解題方法，來克服所遇障礙與困難.所以在對準目標的基礎(chǔ)上，掌握一些基本套路還是必要的，二、與雙參平面向量有關(guān)的問題

“由少變多，由簡單變復(fù)雜”是數(shù)學(xué)m題的規(guī)律，當(dāng)題目涉及一個向量為另外兩個向量的線性組合時，構(gòu)造數(shù)量積是解決此題的必然，因為若要充分應(yīng)用題目中有關(guān)向量的模和夾角條件，只有借助于數(shù)量積才做得到.向量與外心結(jié)合的雙參平面向量問題，常采用兩種處理方法，即①平方法;②點乘相關(guān)向量法.

通過平方，將雙參平面向量問題轉(zhuǎn)化為方程組問題順利求解.

此題，有些同學(xué)在嘗試的時候可能會選擇等式兩邊點乘AB或萬古，但都無功而返，考慮到求解的是l萬石l，故兩邊點乘萬方則顯得有效而義自然.

小結(jié)

與外心有關(guān)的雙參平面向量問題，如果給卅的式子是形如面j—z oJB+v頂耋型;則可考慮平方法;如果給m的式子是形如石方一z萬百+v萬方型，則可采用相關(guān)向量點乘法.當(dāng)然除上述方法外，如果能建系，也可以從坐標運算考慮并嘗試.

對于三角形的外心，我們需要知道以下幾點：

（3）外心到三個頂點的距離相等;

（4）當(dāng)三角形為銳角三角形時，外心在三角形內(nèi)部;當(dāng)三角形為直角三角形時，外心是斜邊的中點;當(dāng)三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部.

當(dāng)然，向量與蘭角形的“心”有關(guān)的問題還會與三角形的重心、內(nèi)心、垂心等結(jié)合，這一類題既有思考性和挑戰(zhàn)性，也有足夠的深度和難度.從知識點與難易程度來看，與外心結(jié)合的題目雖然沒有與重心結(jié)合的題目卅鏡率那么高，但若考到，其基本方法和基本思考角度還是要盡量熟悉的.同學(xué)們，你會了嗎？