賈曉玲，田曉麗，范旭，朱豪坤，王春柳

（1.中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，太原030051；2.遼沈工業(yè)集團(tuán)有限公司，沈陽(yáng)110045）

制導(dǎo)火箭彈是一種介于普通彈箭和導(dǎo)彈之間的彈箭，是普通彈藥與現(xiàn)代高新技術(shù)相結(jié)合的典范，具有射擊精度高、成本較低的特點(diǎn)。目前，彈箭上的制導(dǎo)執(zhí)行機(jī)構(gòu)大體分為3類：阻力器、脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)、鴨舵。其中，鴨舵執(zhí)行機(jī)構(gòu)以其驅(qū)動(dòng)靈活適應(yīng)能力強(qiáng)的特點(diǎn)受到國(guó)內(nèi)外科研工作者的青睞[1]。制導(dǎo)火箭彈在中制導(dǎo)階段[2]結(jié)束后，彈箭需通過基準(zhǔn)彈道預(yù)先確定的空間坐標(biāo)并具有利于末制導(dǎo)控制階段的速度矢量方向。但彈箭實(shí)際飛行彈道在發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏心、橫風(fēng)等擾動(dòng)因素作用下會(huì)產(chǎn)生未知的彈道偏差，不能與預(yù)先設(shè)定的基準(zhǔn)彈道重合[3]。因此，研究制導(dǎo)火箭彈中制導(dǎo)段彈道的規(guī)劃問題十分必要。文獻(xiàn)[4]概述了多種常見軌跡優(yōu)化方法的算法、特點(diǎn)、應(yīng)用以及未來的發(fā)展趨勢(shì)；文獻(xiàn)[5]研究了Gauss偽譜法在多級(jí)固體運(yùn)載火箭上升段軌跡快速優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[6]側(cè)重對(duì)滑翔型制導(dǎo)炸彈的最大射程優(yōu)化問題進(jìn)行探討；文獻(xiàn)[7]研究了彈箭最大末速隨射程的變化規(guī)律。但國(guó)內(nèi)外對(duì)彈道規(guī)劃影響因素方面的研究較少。本文建立了考慮飛行過程中彈箭能量損失大小的彈道規(guī)劃問題最優(yōu)控制模型，通過高斯偽譜法仿真驗(yàn)證，對(duì)影響中制導(dǎo)階段制導(dǎo)火箭彈末速的因素進(jìn)行研究。

1 火箭彈彈道規(guī)劃計(jì)算模型的建立

1.1 狀態(tài)方程

由于求解最優(yōu)控制問題的過程中迭代次數(shù)較多，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，故彈箭運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程不應(yīng)太復(fù)雜[2]，在不影響求解精度前提下作如下簡(jiǎn)化：

1）文中彈箭系尾翼式火箭彈，出炮口時(shí)轉(zhuǎn)速極低，因而不考慮滾轉(zhuǎn)的影響；

2）中制導(dǎo)階段規(guī)劃彈道的計(jì)算與火箭彈實(shí)時(shí)姿態(tài)無太大關(guān)系，相應(yīng)簡(jiǎn)化；

3）不考慮地球曲率及自轉(zhuǎn)對(duì)彈箭飛行過程的影響。

得到有控制點(diǎn)彈道方程為[1]：

式

（1）、（2）中：x為射程；y為彈箭飛行高度；z為彈箭偏航距離；v為彈箭相對(duì)于空氣的速度；θα為方向角；ψ為高低角；ρ為空氣密度；m為彈箭質(zhì)量；CD為攻角為零時(shí)的摩阻系數(shù)；S為彈箭參考面積；g為重力加速度；Fx為控制力附帶的阻力增值；Fy為舵面偏轉(zhuǎn)引起的縱向可控力；Fz為舵面偏轉(zhuǎn)引起的側(cè)向可控力。

由舵面產(chǎn)生的控制力F滿足：式（3）中：Cδ為舵偏角修正系數(shù)；Q為動(dòng)壓；SW為舵翼面積。

飛行力學(xué)中常利用過載n評(píng)定彈箭的機(jī)動(dòng)性[8]。將有控彈道方程（1）中由舵面產(chǎn)生的可控力F修改為過載n，兩者滿足：

從而得到如下彈箭運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程：

式（5）中，nz1、nz2分別為縱向過載和橫向過載，即控制變量。

1.2 代價(jià)函數(shù)

彈箭在中制導(dǎo)階段依靠主動(dòng)段終點(diǎn)獲得的能量飛向目標(biāo)，并且部分機(jī)械能用于克服空氣阻力作了功。為在末制導(dǎo)階段開始時(shí)保留較大的彈箭末速，代價(jià)函數(shù)取為動(dòng)能損失最小，即：

式（6）中：v0為彈箭中制導(dǎo)階段起始速度；vf為中制導(dǎo)階段末速度。

1.3 控制約束與邊界條件

彈箭在空中飛行時(shí)，由舵面產(chǎn)生的過載存在其上限[1]。有：

式中，nmax為舵面提供過載上限。

彈道優(yōu)化問題的初始約束表示為：

式（8）中，下標(biāo)為0的參量是彈道規(guī)劃過程開始時(shí)給定的初始值，分別對(duì)應(yīng)式（1）中各參量。

終值約束表示為：

式（9）中，下標(biāo)為f的參量是彈道規(guī)劃過程結(jié)束時(shí)的終端值，分別對(duì)應(yīng)式（1）中各參量。

優(yōu)化過程末速度v(tf)及所需時(shí)間tf無法預(yù)判，自由取值。

2 高斯偽譜法

高斯偽譜方法對(duì)于求解非線性最優(yōu)控制問題具有良好的收斂性和較低的初值敏感度，且計(jì)算量低、精度高，受到眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的推崇[5]。

2.1 時(shí)域變換

最優(yōu)控制問題的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間區(qū)域?yàn)閇t0,tf，t0]表示初始時(shí)刻，tf表示終端時(shí)刻，高斯偽譜法將時(shí)間區(qū)間進(jìn)行無量綱化轉(zhuǎn)換到[-1,1]區(qū)間，并對(duì)系統(tǒng)時(shí)間t作如下變換：

無量綱化變換后的變量可通過構(gòu)造PK(τ)插值多項(xiàng)式近似：

式（11）的根即Legendre-Gauss（LG）點(diǎn)。記K階LG點(diǎn)的集合為κ。Gauss偽譜法通過LG點(diǎn)和τ0=-1構(gòu)造離散節(jié)點(diǎn)，記節(jié)點(diǎn)組成的集合為κ0，以K+1個(gè)拉格朗日插值多項(xiàng)式Li(τ)為基函數(shù)來近似狀態(tài)變量?jī)?nèi)的時(shí)間因素，即：

式（12）中：

2.2 終端狀態(tài)約束離散

根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程有：

式(15)包含的積分因子可近似為高斯積分形式：

2.3 方程約束離散

狀態(tài)量微分形式可通過對(duì)拉格朗日插值多項(xiàng)式求導(dǎo)近似得到，進(jìn)而復(fù)雜的微分方程求解過程可近似為代數(shù)求解，即：

微分矩陣D由下式確定：

式（18）中：τk為集合κ中的點(diǎn)；τi屬于集合κ0。

2.4 代價(jià)函數(shù)離散

對(duì)代價(jià)函數(shù)式（6）基于Gauss積分進(jìn)行近似，得到的近似代價(jià)函數(shù)如下：

式（19）中：Φ為非積分項(xiàng)指標(biāo)；g為積分項(xiàng)指標(biāo)的被積分項(xiàng)。

2.5 優(yōu)化求解模型建立

通過以上數(shù)學(xué)變換可將文中彈道規(guī)劃問題描述為：首先，將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間區(qū)間[t0,tf]無量綱化；其次，確定離散點(diǎn)上的狀態(tài)變量和控制變量；最后，解算出終端時(shí)刻，并使代價(jià)函數(shù)（19）最小。優(yōu)化過程參量應(yīng)滿足初始狀態(tài)約束和終端狀態(tài)約束，分別為：

式（20）、（21）中，k=1,2,…,K。

邊界條件和路徑約束分別為：

3 彈道仿真與分析

3.1 邊界條件選取

某型制導(dǎo)火箭彈相關(guān)參數(shù)為：彈重m=57kg，參考面積S=0.047 m2，舵面積Sw=0.003 2 m2。動(dòng)力飛行段在2 s左右，測(cè)量裝置和計(jì)算裝置對(duì)規(guī)劃彈道初始數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)測(cè)算在4 s左右。因此，啟動(dòng)彈箭執(zhí)行裝置應(yīng)在6 s之后[2]。依據(jù)在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下計(jì)算6D彈道微分方程得到的理想彈道可知，火箭彈在大約37 s時(shí)到達(dá)彈道最大高度。彈道規(guī)劃起控時(shí)刻及對(duì)應(yīng)的彈道各項(xiàng)初始參數(shù)如表1、圖1所示。

表1 彈道規(guī)劃起控時(shí)刻及各項(xiàng)初始參數(shù)Tab.1 Start-up time and initial parameters of trajectory planning

圖1 彈道規(guī)劃起控時(shí)刻對(duì)應(yīng)彈道位置Fig.1 Trajectory position corresponding to the control time of trajectory planning

彈道爬升段起控點(diǎn)設(shè)置較多，因?yàn)閺椉诖穗A段運(yùn)動(dòng)歷程尚短，彈箭機(jī)械能克服外界阻力損耗較少，故此階段出現(xiàn)最佳起控點(diǎn)的概率較大。而彈箭運(yùn)動(dòng)至彈道下降段時(shí)，一方面總能量損耗漸大，另一方面彈箭相距目標(biāo)位置點(diǎn)越來越近，彈道規(guī)劃過程為滿足終端約束條件，須要舵面提供較大的控制過載，從而間接增大了彈箭飛行阻力，減小彈箭抵達(dá)目標(biāo)位置點(diǎn)時(shí)的速度。

彈道規(guī)劃終端條件約束如表2所示。

表2 終值條件Tab.2 Terminal numerical conditions

3.2 仿真結(jié)果分析

在仿真規(guī)劃彈道中選取6 s起控（基準(zhǔn)彈道初始階段）、24 s起控（基準(zhǔn)彈道中段）、57 s起控（基準(zhǔn)彈道末階段）這3條代表性的彈道進(jìn)行分析，分別如圖2～5所示。

圖2 不同起控時(shí)間對(duì)應(yīng)飛行距離曲線Fig.2 Flight distance curve corresponding to different start-up time

圖3 不同起控時(shí)間對(duì)應(yīng)彈道高度曲線Fig.3 Trajectory altitude curve corresponding to different start-up time

圖4 不同起控時(shí)間對(duì)應(yīng)偏航距離曲線Fig.4 Yaw distance curve corresponding to different start-up time

圖5 不同起控時(shí)間對(duì)應(yīng)規(guī)劃彈道末速度Fig.5 Planned terminal trajectory velocity corresponding to different start-up time

分析圖2可知，彈箭起控時(shí)間越早，到達(dá)規(guī)劃彈道有效射程所需的時(shí)間越短；分析圖3可知，彈箭起控時(shí)間過早對(duì)規(guī)劃彈道目標(biāo)高度影響較大，而在標(biāo)準(zhǔn)彈道頂點(diǎn)附近及之后起控對(duì)規(guī)劃彈道目標(biāo)高度幾乎沒有影響；分析圖4可知，6 s起控時(shí)偏航彈道會(huì)發(fā)生較大曲折，原因是彈箭必須通過多余的位移和控制過載來同時(shí)達(dá)到規(guī)劃彈道終點(diǎn)的三坐標(biāo)分量終值；57 s起控時(shí)會(huì)出現(xiàn)無法到達(dá)預(yù)定目標(biāo)位置的情況，原因是彈道規(guī)劃時(shí)間太短，到達(dá)目標(biāo)位置需要的控制過載量過大，已超出彈箭能提供的過載上限；而24 s起控時(shí)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的偏航彈道相對(duì)平滑，彈道斜率（即速度矢量）始終為正且維持在較小的變化范圍內(nèi)，說明此時(shí)起控控制過載變化較小，彈箭的飛行穩(wěn)定性可以得到有效保證。

分析圖5可知，彈道規(guī)劃起始時(shí)刻在27 s左右時(shí)，彈箭到達(dá)預(yù)定目標(biāo)位置點(diǎn)末速度最大，偏早或偏晚起控都會(huì)導(dǎo)致末速度有所削減，最多可使末速度減小11%左右。

在靶場(chǎng)試驗(yàn)中，用相控陣?yán)走_(dá)對(duì)5發(fā)制導(dǎo)火箭彈在射程25km處的末速進(jìn)行了測(cè)量，第1發(fā)作為基準(zhǔn)彈道，末速為358.4 m/s，其余4發(fā)以仿真計(jì)算中末速最大對(duì)應(yīng)的27 s為起控點(diǎn)，末速分別為347.9 m/s、350.2 m/s、349.2 m/s、356.7 m/s，誤差范圍在3%以內(nèi)，驗(yàn)證了仿真計(jì)算的正確性。

4 結(jié)論

利用高斯偽譜法對(duì)某制導(dǎo)火箭彈中制導(dǎo)段彈道規(guī)劃模型進(jìn)行求解，以動(dòng)能損耗最小為代價(jià)函數(shù)，分析了起控時(shí)間對(duì)彈箭到達(dá)預(yù)定目標(biāo)位置末速的影響。仿真和分析結(jié)果表明：

1）起控時(shí)間越早，彈箭可越早到達(dá)目標(biāo)位置點(diǎn)；

2）選取合適的起控時(shí)間可以有效保證彈箭的飛行穩(wěn)定性；

3）起控時(shí)間偏早或偏晚，會(huì)導(dǎo)致彈箭到達(dá)規(guī)劃彈道末端時(shí)的速度削減11%左右。

仿真結(jié)果與靶場(chǎng)的初步試驗(yàn)結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了其可靠性，為今后深入開展這方面的研究有一定參考意義。