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平面向量中兩個(gè)共線定理的運(yùn)用

2019-04-29 01:47王磊
關(guān)鍵詞:共線平行四邊形線性

【中圖分類號(hào)】O181 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089(2019)07-0263-02

先看一道例題:

例1:如圖,G是△OAB的重心,P,Q分別是邊OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),且P、G、Q三點(diǎn)共線.設(shè)OP=xOA,OQ=yOB,則1x+1y=

這是平面向量里面非常經(jīng)典的一道題目,類似的題目也很多。有很多同學(xué)看到這類題目卻一頭霧水,無從下手,即使上課聽老師講了,課后自己去做還是東湊西拼,找不到思路。我們先來回顧一下兩個(gè)定理:

一、平面向量共線定理

向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.

二、平面向量三點(diǎn)共線定理

在平面中A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件是:對(duì)于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)的O,存在唯一的

一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得:OP=xOA+yOB且x+y=1.

分析:例1考查的就是平面向量共線定理的應(yīng)用。所以解決問題的關(guān)鍵是要找出圖中的“共線”關(guān)系,并進(jìn)行線性表示。一般分為三步:第一步由OM與PQ相交于G,確定兩個(gè)共線關(guān)系,即:OG和OM共線,PG和PQ共線.第二步利用平面向量共線定理,從“兩個(gè)方面”分別表示出OG,第三步利用平面向量基本定理的唯一性,列出方程組,求出有關(guān)參數(shù)。

解:一方面∵OG和OM共線,且G是△OAB的重心,

∴OG=23OM=23×12(OA+OB)=13OA+13OB.

另一方面∵PG和PQ共線,可設(shè)PG=λPQ

∴OG=OP+PG=OP+λPQ=OP+λ(OQ-OP),

=(1-λ)OP+λOG=(1-λ)xOA+λyOB

又OA,OB不共線,利用平面向量基本定理的唯一性得:

在書寫格式上,可以采用,便于抓住思路,敘述條理清晰。

反思上面的解法,向量PG和PQ共線,即G、P、Q三點(diǎn)共線,那我們還可以嘗試用平面向量三點(diǎn)共線定理來做,請(qǐng)看以下解答:

又解:∵G是△ABC的重心,

∴OG=23OM=13OA+13OB=13·1xOP+13·1yOQ

=13xOP+13yOQ.

又G、P、Q三點(diǎn)共線,由平面向量三點(diǎn)共線定理知,系數(shù)和13x+13y=1.

從而得1x+1y=3.

怎么樣,把上面兩個(gè)定理同時(shí)運(yùn)用,解答過程是不是變得非常簡(jiǎn)單了?!

其中用平面向量三點(diǎn)共線定理解題的關(guān)鍵是,其中一個(gè)向量要用另外兩個(gè)終點(diǎn)共線的向量線性表示。此題中即:向量OG轉(zhuǎn)化為用OP和OQ表示.

例2:在△ABC中,點(diǎn)P是AB上的一點(diǎn),BP=2PA,Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP交于點(diǎn)M,且,求t的值.

分析:抓住AM〗共線,用平面向量共線定理解決。

解法一:一方面

解法二:兩個(gè)定理同時(shí)運(yùn)用

解:∵

∴A、M、Q三點(diǎn)共線,∴

怎么樣,解法二兩個(gè)定理同時(shí)運(yùn)用是不是讓你很驚喜,夠簡(jiǎn)單吧!

下面我們就用這個(gè)簡(jiǎn)單的方法再做一題。

例3:如圖,在平行四邊形ABCD中,M、N分別是AB、AD上的點(diǎn),AM=45AB,

AN=23AD,連接AC、MN交于點(diǎn)P.若AP=λAC,求λ的值.

分析:由題意,抓住P、M、D三點(diǎn)共線,AP用AM和AD來表示.

解:由AP=λAC及平行四邊形法則知:

AP=λ(AB+AD)=λ(54AM+32AD)=54λAM+32λAD.

∵P、M、D三點(diǎn)共線,∴54λ+32λ=1,求得λ=411.

作者簡(jiǎn)介:王磊,男,漢族,籍貫浙江蘭溪,中學(xué)二級(jí),大學(xué)本科,延安大學(xué)畢業(yè)。

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