趙子涵，穆希輝，郭建華，杜峰坡

(1.中國(guó)人民解放軍32181部隊(duì)， 石家莊 050003； 2.陸軍工程大學(xué) 彈藥工程系， 石家莊 050003；3.齊齊哈爾大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 黑龍江 齊齊哈爾 161006)

與傳統(tǒng)彈藥保障裝備[1]相比，橡膠履帶輪式保障裝備具有接地壓力小、通過(guò)性好、越野能力強(qiáng)的特點(diǎn)，尤其在惡劣地形下具有顯著作業(yè)優(yōu)勢(shì)[2]。但當(dāng)其處于高速重載下，橡膠履帶驅(qū)動(dòng)齒受到驅(qū)動(dòng)力較大，驅(qū)動(dòng)齒容易受到破壞或產(chǎn)生較大變形，進(jìn)而導(dǎo)致跳齒等影響裝備保障性能的進(jìn)一步發(fā)揮[3]。

為提高橡膠履帶輪驅(qū)動(dòng)齒受力強(qiáng)度，國(guó)外學(xué)者從驅(qū)動(dòng)齒結(jié)構(gòu)、材料等方面對(duì)此進(jìn)行了研究。Feldmann等[4]通過(guò)優(yōu)化驅(qū)動(dòng)齒齒形，將傳統(tǒng)的等截面齒形錐面化，提高了承載能力；Matsuo等[5]通過(guò)優(yōu)化驅(qū)動(dòng)齒齒形，改善了驅(qū)動(dòng)銷與驅(qū)動(dòng)齒的作用位置，大大降低了跳齒風(fēng)險(xiǎn)；Wellman[6]、Feldmann[7]、Gagne等[8]通過(guò)在驅(qū)動(dòng)齒內(nèi)嵌入加強(qiáng)層及其他復(fù)合材料，提高了剛度和承載能力。

國(guó)內(nèi)外針對(duì)橡膠履帶驅(qū)動(dòng)齒的研究多集中于工程實(shí)踐，相關(guān)的理論研究和仿真試驗(yàn)等工作開展較少[9]。本文以橡膠履帶輪為研究對(duì)象，通過(guò)其結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動(dòng)原理確定驅(qū)動(dòng)齒齒形方程，應(yīng)用改進(jìn)Powell算法優(yōu)化驅(qū)動(dòng)齒映射參數(shù)，在此基礎(chǔ)按上建立基于復(fù)變函數(shù)法的驅(qū)動(dòng)齒應(yīng)力分布數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用該模型進(jìn)行計(jì)算分析和仿真驗(yàn)證，旨在為實(shí)際橡膠履帶輪驅(qū)動(dòng)齒研制設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 驅(qū)動(dòng)齒強(qiáng)度分析模型

1.1 數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

求解平面彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)Airy應(yīng)力函數(shù)為

(1)

(2)

基于復(fù)變函數(shù)法直接求解驅(qū)動(dòng)齒區(qū)域應(yīng)力計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，因此采用保角映射法對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行映射簡(jiǎn)化[10]。映射函數(shù)采用會(huì)田-寺內(nèi)函數(shù)：

(3)

映射函數(shù)(3)將z平面驅(qū)動(dòng)齒區(qū)域D映射到ζ平面區(qū)域Δ，齒形邊界C映射為軸Г，如圖1所示。

圖1 保角映射示意圖

因?yàn)閦=ω(ζ)，則解析函數(shù)可寫為：

(4)

在載荷作用點(diǎn)ζ0處，ω(ζ)和ψ(ζ)不解析，需將ω(ζ)和ψ(ζ)分為解析部分ω*(ζ)、ψ*(ζ)和非解析部分ω0(ζ)、ψ0(ζ)分別進(jìn)行求解。略去分析過(guò)程，推導(dǎo)解析函數(shù)為：

當(dāng)ζ=-ibj時(shí)，ω′(ζ)和ψ′(ζ)表達(dá)式為：

對(duì)于φ′(-ibj)表達(dá)式，令其右式兩項(xiàng)分別為：

(5)

則φ′(-ibj)表達(dá)式可寫為

整理可得2n個(gè)方程：

(6)

對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，切向應(yīng)力σt、法向應(yīng)力σn、切向位移vt，法向位移vn計(jì)算公式為：

(7)

將映射參數(shù)ai、bi、c(i=1,2,…,n)代入式(6)中，可得各項(xiàng)參數(shù)，進(jìn)而可求得式(7)中各項(xiàng)參數(shù)，得到載荷作用點(diǎn)z0處受到載荷W時(shí)得驅(qū)動(dòng)齒應(yīng)力和變形。

2 改進(jìn)Powell算法確定映射參數(shù)

2.1 驅(qū)動(dòng)齒齒形方程

本文研究對(duì)象為自主研制的SLD01橡膠履帶輪，如圖2所示。橡膠履帶輪傳動(dòng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)銷由橡膠履帶的直段開始進(jìn)入嚙合并在直線段退出嚙合。

圖2 SLD01型橡膠履帶輪

橡膠履帶輪嚙合過(guò)程可視為驅(qū)動(dòng)銷和直線齒條的銷齒傳動(dòng)，驅(qū)動(dòng)齒工作段為擺線齒形，示意圖如圖3，其中R為銷輪節(jié)圓半徑，r為驅(qū)動(dòng)銷半徑，o點(diǎn)為驅(qū)動(dòng)銷中心初始位置，θ為驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

圖3 銷齒傳動(dòng)原理示意圖

根據(jù)傳動(dòng)原理[11]，擺線齒形方程為

(8)

根據(jù)驅(qū)動(dòng)輪結(jié)構(gòu)參數(shù)，取R=296 mm，r=14 mm?？紤]負(fù)重輪等其他部組件結(jié)構(gòu)參數(shù)，取齒側(cè)間隙e為10 mm，齒高H為50 mm。取θ轉(zhuǎn)動(dòng)20°的擺線齒形為驅(qū)動(dòng)工作段，其余非工作段用圓弧代替。驅(qū)動(dòng)齒齒形如圖4所示。

圖4 驅(qū)動(dòng)齒齒形

2.2 映射參數(shù)優(yōu)化初始值

改進(jìn)Powell算法是一種無(wú)約束最優(yōu)化方法，選取合適的優(yōu)化初始參數(shù)能夠有效減少算法的迭代次數(shù)，降低計(jì)算成本[12]。

(8)

由式(8)可知，映射齒形由一圓族迭加而成。參考文獻(xiàn)[13]給出了ai、bi、c(i=1,2…n)等映射參數(shù)對(duì)映射齒形的影響規(guī)律[13]?？紤]映射精度和計(jì)算成本，取n=6，共13個(gè)映射參數(shù)。結(jié)合實(shí)際齒形坐標(biāo)(x,y)，給出映射參數(shù)優(yōu)化初始值，如表1所示。

表1 優(yōu)化前后映射參數(shù)

2.3 目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化結(jié)果

(9)

式中m為所取坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)優(yōu)化初始值，應(yīng)用拋物線法確定搜索區(qū)間。通過(guò)改進(jìn)Powell算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，直至目標(biāo)函數(shù)F達(dá)到要求精度后停止計(jì)算。

優(yōu)化前后映射參數(shù)值如表1所示，映射齒形和實(shí)際齒形如圖5所示。

經(jīng)過(guò)對(duì)比分析，優(yōu)化后的映射齒形與實(shí)際齒形誤差為0.12%，與數(shù)值回歸法和解析法相比，能夠有效提高映射精度。

圖5 映射齒形和實(shí)際齒形

3 驅(qū)動(dòng)齒強(qiáng)度分析

3.1 強(qiáng)度計(jì)算

根據(jù)嚙合狀態(tài)，橡膠履帶與驅(qū)動(dòng)輪可分為完全嚙合段和不完全嚙合段[14]，如圖6所示。在完全嚙合段，驅(qū)動(dòng)銷與驅(qū)動(dòng)齒齒根圓弧接觸，應(yīng)力分布比較均勻。而在不完全嚙合段，驅(qū)動(dòng)銷與驅(qū)動(dòng)齒齒側(cè)圓弧接觸，應(yīng)力分布情況復(fù)雜，且由于橡膠履帶受拉后容易與驅(qū)動(dòng)輪形成節(jié)距差，在不完全嚙合段容易出現(xiàn)嚙合干涉。因此，以進(jìn)入不完全嚙合段的第一個(gè)驅(qū)動(dòng)齒為研究對(duì)象，其嚙合位置約在齒高H=25 mm處?；趶?qiáng)度分析模型，運(yùn)用Matlab軟件編程計(jì)算橡膠履帶驅(qū)動(dòng)齒應(yīng)力。

圖6 橡膠履帶與驅(qū)動(dòng)輪嚙合示意圖

當(dāng)載荷W=2 N作用在驅(qū)動(dòng)齒高度H=25 mm時(shí)，應(yīng)力沿齒形邊界分布如圖7所示，沿齒寬方向分布如圖8所示。

圖7 驅(qū)動(dòng)齒應(yīng)力沿齒形邊界分布情況

圖8 應(yīng)力沿齒寬方向分布情況

由圖7和圖8分析可知，驅(qū)動(dòng)齒受載荷作用時(shí)齒根處應(yīng)力出現(xiàn)集中，且左側(cè)受到的壓應(yīng)力略大于右側(cè)受到的拉應(yīng)力。因此可在齒根處改善膠料配方或優(yōu)化齒根結(jié)構(gòu)以增強(qiáng)驅(qū)動(dòng)齒強(qiáng)度。

3.2 仿真驗(yàn)證

由于國(guó)內(nèi)橡膠履帶輪及橡膠履帶傳動(dòng)的相關(guān)試驗(yàn)臺(tái)較少，因此為驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型求解的正確性，將該問(wèn)題處理為平面二維問(wèn)題，利用Abaqus軟件對(duì)驅(qū)動(dòng)齒應(yīng)力進(jìn)行有限元分析[15]。其中，驅(qū)動(dòng)齒設(shè)置為柔性體，彈性模量E=20 MPa，泊松比μ=0.46；驅(qū)動(dòng)銷剛度遠(yuǎn)大于驅(qū)動(dòng)齒，故將其設(shè)置為離散剛體。

按照強(qiáng)度計(jì)算工況確定驅(qū)動(dòng)銷與驅(qū)動(dòng)齒嚙合位置和邊界條件，約束橡膠履帶底邊沿驅(qū)動(dòng)輪徑向位移和側(cè)邊沿齒寬方向位移。在嚙合點(diǎn)沿法向施加2N載荷，仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 Abaqus仿真結(jié)果

提取齒形邊界應(yīng)力情況，并將其與Matlab軟件仿真結(jié)果對(duì)比，如圖8所示，可以看出兩者結(jié)果基本吻合，最大誤差約11.76%，驗(yàn)證了復(fù)變函數(shù)分析橡膠履帶輪驅(qū)動(dòng)齒應(yīng)力方法的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

1) 基于復(fù)變函數(shù)法建立了橡膠履帶輪驅(qū)動(dòng)齒強(qiáng)度分析數(shù)學(xué)模型，提出了一種運(yùn)用改進(jìn)Powell算法優(yōu)化映射函數(shù)參數(shù)的方法，并根據(jù)驅(qū)動(dòng)齒齒形方程確定了其映射參數(shù)。結(jié)果表明，映射齒形與實(shí)際齒形誤差為0.12%，該方法與常用的試算法和解析法相比，能夠有效提高映射精度，減少計(jì)算時(shí)間。

2) 應(yīng)用驅(qū)動(dòng)齒強(qiáng)度分析數(shù)學(xué)模型對(duì)橡膠履帶輪不完全嚙合段的第一個(gè)嚙合驅(qū)動(dòng)齒進(jìn)行了強(qiáng)度分析，由計(jì)算結(jié)果可知，受載荷作用時(shí)驅(qū)動(dòng)齒齒根處產(chǎn)生應(yīng)力集中，且受到的壓應(yīng)力大于拉應(yīng)力。