劉 慶,白雅潔,劉永壽

(1.中國(guó)飛行試驗(yàn)研究院， 西安 710089； 2.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院， 西安 710129)

輸液管道廣泛應(yīng)用于航空航天裝備管路系統(tǒng)、裝甲車輛燃油/液壓管路系統(tǒng)、海上艦船油料補(bǔ)給系統(tǒng)等之中，且常常面臨著復(fù)雜的振動(dòng)環(huán)境。因此，提高輸液管道動(dòng)力學(xué)可靠性是武器裝備中亟需解決的重要問(wèn)題。變截面錐形管是一種常見(jiàn)的輸液管道結(jié)構(gòu)，如管道系統(tǒng)閥門(mén)的安裝處會(huì)采用錐形管與等直管道對(duì)接，噴嘴處采取變截面管道提高噴口流速等。由于管道輸流期間受到基礎(chǔ)振動(dòng)、液體脈動(dòng)等同時(shí)作用，且在實(shí)際工程中管道的幾何尺寸及物理參數(shù)在設(shè)計(jì)、制造過(guò)程中具有不確定性，因此輸液管道結(jié)構(gòu)的激振力頻率和固有頻率不是定值,而是隨機(jī)變量。當(dāng)管道的固有頻率與施加在管道上的外激勵(lì)頻率接近時(shí)，結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生共振，對(duì)管道造成嚴(yán)重的共振失效[1]。因此，對(duì)于管道的防共振可靠性設(shè)計(jì)有著很高的要求。

近年來(lái)，研究者對(duì)于等直管道防振動(dòng)可靠性做了細(xì)致的研究。張屹尚等[2]通過(guò)Kriging代理模型研究了充液管道流固耦合作用下的非概率共振可靠性分析。李劍楠[3]等基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，結(jié)合Monte-Carlo法對(duì)埋地管道在液化土地場(chǎng)、斷層場(chǎng)地等條件下進(jìn)行可靠性分析。Ritto等[4]提出了考慮建模誤差的流體-結(jié)構(gòu)相互作用的概率模型，將輸流管道的微分方程通過(guò)有限元方法離散化后得到降階模型，并以得到的隨機(jī)特征值分析了系統(tǒng)的顫動(dòng)和發(fā)散不穩(wěn)定模式。Alizadeh等[5]將蒙特卡洛模擬與有限元相結(jié)合，應(yīng)用于輸流管道的概率自激振動(dòng)和穩(wěn)定性分析，對(duì)系統(tǒng)中流體參數(shù)隨機(jī)性效應(yīng)與管道結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)性效應(yīng)進(jìn)行了比較。但上述研究只停留在簡(jiǎn)單直管道的可靠性研究，并未涉及復(fù)雜管道。在變截面管的自由振動(dòng)方面，張子駿[6]給出了變截面管道輸送非均勻流的動(dòng)力學(xué)控制方程，并研究了變截面管錐角變化對(duì)于管道動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的影響等。但是將變截面管道的自由振動(dòng)和防共振可靠性結(jié)合在一起的少之又少。

本研究將基于變截面管道的動(dòng)力學(xué)控制方程，將動(dòng)剛度矩陣法與主動(dòng)學(xué)習(xí)的Kriging模型(ALK方法)相結(jié)合，考慮流體非均勻流動(dòng)的作用，求解不同流速和截?cái)嘞禂?shù)下兩端簡(jiǎn)支的變截面管道的固有頻率，進(jìn)而計(jì)算出管道的防共振失效概率，討論流體流動(dòng)及截?cái)嘞禂?shù)對(duì)變截面管道固有頻率和防共振失效概率的影響。ALK算法[7]是近年來(lái)新發(fā)展的一種精確高效的可靠度計(jì)算方法，其通過(guò)ERF學(xué)習(xí)方程“主動(dòng)”挑選出最可能位于極限狀態(tài)平面附近的訓(xùn)練點(diǎn)，加入到設(shè)計(jì)點(diǎn)中更新Kriging模型，通過(guò)不斷迭代直至滿足收斂條件。該方法運(yùn)用到管道防共振可靠性的計(jì)算，可將激振力頻率上下界附近的點(diǎn)篩選出來(lái)加入到初選樣本點(diǎn)中，極大地提高計(jì)算效率，同時(shí)也能保證精度。本文的工作為變截面管道的防振動(dòng)可靠性方面的研究提供參考，對(duì)于變截面管道的防共振設(shè)計(jì)和優(yōu)化有著重要意義。

1 變截面管道的固有頻率

圖1 變截面管道漸變截面及截?cái)嘞禂?shù)γ

圖2 管內(nèi)層流流速分布

變截面管道內(nèi)徑di沿管道軸線方向x線性變化，則di(x)表達(dá)式為

(1)

管道任意截面位置x處的最大流速Vc與管道粗端處最大流速Vc0處的關(guān)系

(2)

假設(shè)管道軸線不可伸長(zhǎng)，只考慮變截面管道的自由振動(dòng)，即非保守力做功為0。利用開(kāi)放系統(tǒng)的Hamilton原理可得到Euler-Bernoulli梁模型下兩端簡(jiǎn)支的變截面管道的控制方程為：

(3)

2 防共振可靠性的功能函數(shù)

為了防止發(fā)生共振，應(yīng)當(dāng)使結(jié)構(gòu)的固有頻率ω與激振力頻率S存在一定的距離。根據(jù)傳統(tǒng)振動(dòng)設(shè)計(jì)規(guī)范的要求[8]，當(dāng)1-k1<ω/S<1+k2時(shí)，認(rèn)為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是不安全的，易發(fā)生共振。其中k1和k2是跟材料有關(guān)的參數(shù)，對(duì)于不同的材料其參數(shù)值不同，通常在0～0.3。

令S1=(1-k1)S，S2=(1+k2)S，則S1和S2分別為激振力寬頻頻率的最小值與最大值。管道輸流工作環(huán)境復(fù)雜，ω、S1和S2的取值具有隨機(jī)性。故變截面管道的防共振可靠性的功能函數(shù)為

(4)

其中：n為固有頻率所取的最大階數(shù)，即所考慮的失效模式個(gè)數(shù)；zi(x)為第i個(gè)失效模式下的功能函數(shù)；ωi表示第i階固有頻率；x為所考慮的隨機(jī)變量向量。則可靠度的形式為：

(5)

其中：θx為隨機(jī)變量向量x的分布參數(shù)；fX為x的聯(lián)合分布概率密度函數(shù)。本文采用ALK方法對(duì)其進(jìn)行求解。

3 基于ALK方法的防共振可靠性分析

3.1 Kriging插值法

Kriging插值法[9]是用處于待插值點(diǎn)附近的已知結(jié)構(gòu)信息來(lái)模擬待插值點(diǎn)，故對(duì)于小樣本信息事件模擬，其具有更高的效率和精確度。Kriging模型包含已知的線性回歸模型和隨機(jī)過(guò)程模型[10]，即：

G(x)=F(x,β)+z(x)=f(x)β+z(x)

(6)

式中：G(x)表示待擬合的響應(yīng)函數(shù)；f(x)表示變量x的多項(xiàng)式；β為多項(xiàng)式系數(shù)；z(x)表示一隨機(jī)過(guò)程。

(7)

其中：y是響應(yīng)值組成的n維列向量；f為單位列向量，f=[1,1,…,1]；rT(x)表示插值點(diǎn)x與樣本點(diǎn){x(1),x(2),…,x(n)}之間的相關(guān)性：

(8)

(9)

(10)

3.2 ERF學(xué)習(xí)方程

Kriging插值模型是依靠其預(yù)測(cè)點(diǎn)附近隨機(jī)抽樣得到的樣本點(diǎn)來(lái)建立的，故其模型的精度必然與所選取的樣本點(diǎn)有關(guān)。因此選擇加入合適的樣本點(diǎn)尤為重要。Bichon[11]先提出了在初始樣本點(diǎn)中選擇性添加新樣本點(diǎn)的方法來(lái)改進(jìn)模型；隨后Echard[12]結(jié)合MC方法提出了的AK-MCS方法。本文采用的是YANG提出的ALK方法[7]。

由于Kriging模型給出的預(yù)測(cè)值μG(x)不是真實(shí)值，故存在其符號(hào)與真實(shí)值不同的情況。

R(x)=max[(G(x)-0),0]

(11)

R(x)表示當(dāng)μG(x)<0時(shí)，真實(shí)值G(x)>0的程度。R(x)越大，G(x)越可能被錯(cuò)誤預(yù)測(cè)。

R(x)=max[(0-G(x)),0]

(12)

將兩種情況求期望并寫(xiě)成統(tǒng)一形式，可得：

(13)

方程式(13)被稱為風(fēng)險(xiǎn)期望方程(ERF)，也被稱為學(xué)習(xí)方程。該方程表示了預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間符號(hào)不同的可能性大小，方程的值越大，則在該點(diǎn)處值的正負(fù)不同的可能性就越大。由于ERF值較大的點(diǎn)一般都是在極限狀態(tài)曲面附近的點(diǎn)以及Kriging方差很大的點(diǎn)，因此將這些點(diǎn)加入樣本點(diǎn)集中，可以提高Kriging模型的擬合精度。這就是主動(dòng)學(xué)習(xí)的Kriging方法(ALK)。

3.3 共振可靠性分析的基本步驟

1) 取n=25，利用動(dòng)剛度矩陣法求解出變截面管道的前二階固有頻率值；

2) 寫(xiě)出防共振可靠性功能函數(shù)；

3) 在各隨機(jī)變量組成的不確定性域中隨機(jī)抽取Xt個(gè)初始樣本點(diǎn)，計(jì)算樣本點(diǎn)功能函數(shù)值構(gòu)件初始模型。Xt=(X1,t,X2,t,…,Xn,t)(t=1,2,…,N)，取N=20；

4) 隨機(jī)產(chǎn)生大量候選樣本點(diǎn)，并計(jì)算Kriging模型的預(yù)測(cè)值μG(X)和ERF值，并將最大ERF值的點(diǎn)標(biāo)記為X*，為使候選樣本點(diǎn)充滿不確定性域，取候選點(diǎn)數(shù)量為m=105；

5) 若ERF最大值滿足收斂條件的閾值(閾值大小設(shè)為10-3)，則進(jìn)行步驟7)；

6) 若步驟5)中的收斂條件無(wú)法滿足，則將所標(biāo)記的點(diǎn)X*加入樣本點(diǎn)集中，計(jì)算新加入樣本點(diǎn)的功能函數(shù)值，更新Kriging模型，返回步驟4)；

7) 基于最新的Kriging模型，代入Monte Carlo法中求解防共振失效概率。

4 算例

一長(zhǎng)為L(zhǎng)=2 m的變截面管道，其管道幾何參數(shù)及材料參數(shù)如表1所示。當(dāng)變截面管道縮減系數(shù)γ=0.2，利用動(dòng)剛度矩陣法求解管道的固有頻率，在計(jì)算固有頻率的過(guò)程中，采用求因變量lg(abs(h(ω)))與自變量ω的關(guān)系曲線，避免因ω采樣點(diǎn)分辨率過(guò)低導(dǎo)致的錯(cuò)誤。一階固有頻率與流速的關(guān)系曲線如圖3所示。發(fā)現(xiàn)當(dāng)Vc0=92.6 m/s時(shí)，一階固有頻率為0，即此刻輸流管道發(fā)生失穩(wěn)，管道的臨界流速為92.6 m/s。

圖3 流速與一階固有頻率的關(guān)系曲線

建立功能函數(shù)，利用ALK方法計(jì)算變截面管道的共振可靠性。影響共振可靠性的隨機(jī)變量如表1所示。為了便于分析，將工況分為流速工況和截?cái)嘞禂?shù)工況進(jìn)行計(jì)算，截面系數(shù)與流速都服從正態(tài)分布，變異系數(shù)均為0.05。

表1 隨機(jī)變量的分布類型與參數(shù)

流速工況為：①γ=0.1,Vc0=0；②γ=0.1,Vc0=10；③γ=0.1,Vc0=20；截?cái)嘞禂?shù)工況為：④Vc0=0，γ=0；⑤Vc0=0,γ=0.1；⑥Vc0=0,γ=0.2。

計(jì)算結(jié)果如表2所示，從表2可看出，一階防共振失效概率隨著流速和截?cái)嘞禂?shù)的增大均減小，而二階防共振失效概率則隨其增大均增大，原因在于隨著流速和截?cái)嘞禂?shù)的增大，一階固有頻率減小，即不斷遠(yuǎn)離外激勵(lì)頻率范圍，因此一階防共振失效概率逐漸減??；二階固有頻率的減小使其逐漸靠近了外激勵(lì)頻率范圍，即二階共振失效概率會(huì)逐漸增大，從而系統(tǒng)由一階固有頻率引起的共振轉(zhuǎn)變?yōu)槎A固有頻率引起的共振。且由計(jì)算中看出，不同截?cái)嘞禂?shù)對(duì)失效概率值的變化的影響更明顯。結(jié)果說(shuō)明，截?cái)嘞禂?shù)對(duì)于變截面輸流管道防共振失效概率具有十分重要的影響，因此，變截面輸流管道的防共振優(yōu)化設(shè)計(jì)中要尤其注意截?cái)嘞禂?shù)的影響。

表2 不同工況下前兩階防共振失效概率

5 結(jié)論

隨著流速和截?cái)嘞禂?shù)的增大，相應(yīng)的固有頻率降低，使得一階固有頻率逐漸遠(yuǎn)離外激勵(lì)頻率范圍，二階固有頻率逐漸靠近外激勵(lì)頻率范圍，從而一階防共振失效概率減小。本文所采用的ALK方法，計(jì)算高效、精確，也適用于其他隱式、非線性功能函數(shù)的復(fù)雜工程實(shí)際問(wèn)題。