黃志洵

(中國傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院，北京100024)

1 引言

1905年A.Einstein[1]提出光由光子組成的假說，百年后它已是量子信息學(xué)(quantum information technology，QIT)研究中不可缺少的粒子。迄今對光子的研究是成績與問題并存。值得注意的是，Einstein在1951年(72歲時)給老朋友Besso的信上說[2]：“整整50年自覺思考沒有使我更接近于解答‘光量子是什么’這個問題”。的確，光子的理論和本質(zhì)性的認(rèn)識至今尚未解決好[3]，而單光子在QIT中的應(yīng)用卻已鋪開。在這種情況下，我們對單光子的理論及應(yīng)用再作討論是必要的。

多年來，筆者對光子的有關(guān)問題懷有強烈的興趣，寫過一些文章作為討論[4-8]。2018年，筆者又發(fā)表了兩篇QIT方面的文章：“試論量子通信的物理基礎(chǔ)”[9]，“試評量子通信技術(shù)的發(fā)展及安全性問題”[10]；本文在以上兩文的基礎(chǔ)上寫成，論述單光子理論與應(yīng)用的進(jìn)展和存在的若干問題。

2 光子是經(jīng)典性微觀粒子還是量子性微觀粒子

光子不是宏觀物質(zhì)粒子而是微觀粒子。所謂經(jīng)典性微觀粒子是指：用經(jīng)典物理原理即可推導(dǎo)出基本方程并作解釋、用經(jīng)典物理方法即可進(jìn)行基本實驗的微觀粒子，以與不能這樣做的純量子性粒子相區(qū)別。那么光子是哪一種？至今仍然不甚清晰。

Einstein的光子與Planck的量子有所不同。1900年M.Planck的工作只是使構(gòu)成黑體壁的振子的振動能量子化，或者說他的能量子只是一種為導(dǎo)出輻射公式所用的計算工具。Einstein則把光量子當(dāng)成一種物理實在，是電磁輻射和光的基礎(chǔ)。Einstein的出發(fā)點是黑體輻射理論面臨的困難，以及Planck對基本量子的確定。從Wien的黑體輻射定律出發(fā)，有

ρ=αf3e-βf/T

(1)

假定能量為E的輻射的頻率介于f到(f+df)之間，占有體積V，則可導(dǎo)出能量不變時輻射的熵隨體積變化的關(guān)系：

式中S、S0為輻射占有體積為V、V0時的熵；故單色輻射的熵隨體積而變化。上式又可寫成

(2)

式中R為氣體常數(shù)；N為1mol的分子數(shù)。引用Boltzman原理(該原理說一個體系的熵是其狀態(tài)的幾率函數(shù))：

(3)

最終導(dǎo)出某瞬時全部輻射能集中在體積V0的部分(V)中的幾率為

(4)

用這些觀點，Einstein成功解釋了光電效應(yīng)、光致發(fā)光、紫外線致氣體電離效應(yīng)。Einstein光量子的能量為

(5)

對比Planck于1900年導(dǎo)演輻射公式時提出的能量子：

E=hf

(6)

如果兩個理論吻合一致，就有

(7)

光子的特性由對應(yīng)光波的頻率f所決定，看起來是一件奇怪的事情。然而這個理論出色之處正在于此，它使用Maxwell理論解釋不了的光電效應(yīng)得到了完全的闡釋——當(dāng)光照射金屬表面時，逸出的光電子的動能、速度僅與光頻有關(guān)，而與光強無關(guān)。

經(jīng)由兩個Nobel獎的表彰，Einstein有理由為提出光子學(xué)說感到自豪。然而發(fā)生在1925年的一件事改變了他的想法；2004年科學(xué)史家M.Chown[11]的文章說，今天沒有多少人知道Einstein對巴西的訪問；那次旅行是1925年3月5日從漢堡(Hamburg)出發(fā)的，做3個月的南美之行。當(dāng)時，巴西科學(xué)家們齊聚在里約熱內(nèi)盧(Rio Janeiro)，期待著聽Einstein講相對論。但他本人卻另有想法；對Einstein而言，相對論只是19世紀(jì)經(jīng)典物理學(xué)的擴展，而在他一生中的革命性成果卻是光子概念，這才是他要講的東西。報告結(jié)束后，聽眾中有人提問說：“波伸展在整個空間，而粒子卻是分立的實體，如何統(tǒng)一這兩者？”Einstein不知道，因而回答不了。由于Einstein使用經(jīng)典物理學(xué)，這是不可能做到的。在Einstein巴西演講的一個月后，德國的W. Heisenberg發(fā)明了一種新的物理學(xué)，即量子力學(xué)。Einstein看不到(不能看到又不想看到)的要點是，光子不是一個經(jīng)典的東西。1925年5月7日在巴西科學(xué)院作報告的那個夜晚，標(biāo)志著Einstein作為前沿科學(xué)家生涯的終結(jié)。直到去世，Einstein都不接受量子力學(xué)，該理論用不確定性取代確定性。Einstein在里約熱內(nèi)盧的演講表示他仍絕望地希冀他于1905年放出的“妖怪”(光子)，還可用老的經(jīng)典物理去馴服。

Chown說的這件事是Einstein在巴西科學(xué)院演講結(jié)束后回答提問時遭遇尷尬，因為情況確實如此——無論當(dāng)時或以后Einstein都寫不出一個能統(tǒng)一說明光的波粒二象性的方程。以后的事態(tài)發(fā)展是量子力學(xué)(QM)于1926年至1927年間橫空出世；按照新的理論，交變電磁場、電磁波可以被量子化，從而在波與粒子之間建立一條通道。在量子理論中，光子是量子化電磁場的元激發(fā)粒子(photon is the elementary excitation particle of the quantum electromagnetic field)；因此首先要對電磁場作量子化處理[12]。

(8)

(9)

在Coulomb規(guī)范下有：

寫出Lagrange密度：

(10)

注意積分號內(nèi)的H為磁場強度；現(xiàn)在用正交模函數(shù)展開，得

(11)

(12)

(13)

經(jīng)過量子化處理，Hamilton算符為

(14)

經(jīng)過量子化后的光子場可以用光子數(shù)表示；光子無確定位置，但有確定動量和偏振方向。表示光子數(shù)態(tài)的寫法是|nk〉，對應(yīng)Hamilton算符的本征態(tài)，故有

|=?

(15)

光子數(shù)算符(k模式)為

(16)

以上各式中|nk〉代表nk個光子的狀態(tài)，而其光場平均值為零(例如電場測量平均值為零)，但光強的平均值不為零。

以上分析只考慮了電磁場振幅而未考慮相位，可以引入光子相位算符并作分析。這里從略?？傊?，態(tài)|nk〉是光子數(shù)，是確定的；但光子數(shù)與相位是一對測不準(zhǔn)量，故相位是不確定的。

(17)

實際上是說零點能量為

這與其他方法推導(dǎo)零點能的結(jié)果一致。

現(xiàn)在，光幅射場是占據(jù)一定空間的大量光子的集合，而其中的光子分別處于一定數(shù)目的、可區(qū)分的量子狀態(tài)之內(nèi)。每個狀態(tài)內(nèi)的平均光子數(shù)稱為光子簡并度，它表示到底有多少性質(zhì)全同的光子共處于一個量子狀態(tài)內(nèi)。自然光的簡并度很小，例如太陽光為10-2級；而激光的光子簡并度可高達(dá)1020。

用量子理論描寫光并不降低Maxwell方程組(ME)的價值，因為量子系統(tǒng)的量子數(shù)足夠大時其行為就接近經(jīng)典力學(xué)(CM)和ME的描述。理論上也可考慮經(jīng)典與量子互相結(jié)合，例如把ME與Schr?dinger方程(SE)聯(lián)合求解，以處理電磁源和物質(zhì)系統(tǒng)同時存在的情形；當(dāng)然這在數(shù)學(xué)上困難很大。

那么，單光子是經(jīng)典性微觀粒子還是量子性微觀粒子？這個問題難以回答。盡管Compton實驗證明了光子和電子一樣都是物質(zhì)實體，具有正實數(shù)的動質(zhì)量，又證明了在微觀粒子的單個碰撞事件中動量守恒、能量守恒；但光子卻不是一個彈子球，不能主要依靠經(jīng)典物理學(xué)去處理。例如，如果企盼“測出光子直徑”，恐怕難有結(jié)果。按照熟悉的宏觀概念去看待光子是徒勞的。從本質(zhì)上講光子屬于量子世界，在這個世界里粒子和波的區(qū)別變得模糊，“大小”的概念似乎不再有意義。人們用數(shù)學(xué)來描述光子的表現(xiàn)，但卻無法把光子形象化為常規(guī)的圖像。

3 光子是不是點粒子

在現(xiàn)有理論中，光子是確實存在的、可感知的粒子。例如1955年R.Stacy[13]在其生物物理學(xué)著作中說，通常進(jìn)入人眼(瞳孔)并能造成視覺的光子數(shù)為54個～148個。假定是100個光子，那么能量相當(dāng)于3.2×10-10erg，這是整個眼的敏感度?？紤]到一些復(fù)雜的反射、吸收過程，可算出，在絕對閩值時光感物吸收的光子數(shù)僅為5個～14個，說明人眼的構(gòu)造高超，敏感度驚人。實際上，只需單光子即能激活一個圓柱細(xì)胞，但在5個～14個圓柱細(xì)胞同時被激活才能引起光感。但這些估計是在能量水平上進(jìn)行的；這里有必要討論光子能量以及其另一重要參數(shù)——光子動質(zhì)量。

前面給出了認(rèn)識光子的基本方程；聯(lián)立E=hf和E=mc2兩式，可得

(19)

故Einstein理論認(rèn)為光子動質(zhì)量僅取決于頻率f；而在傳播方向上，光子的動量為

(20)

這種質(zhì)量、動量推導(dǎo)使光子形象粒子化了。由于c很大，故除非f很大，否則m和p都很小。至于光子能量，可用下式計算：

(21)

式中f、λ分別為光子對應(yīng)波動的頻率和波長。因此可以算出光子的動質(zhì)量和能量，見表1?？梢姡趶奈⒉ǖ絏射線的廣大波段，光子質(zhì)量都比電子質(zhì)量小(電子靜質(zhì)量m0=9.109534×10-28g)。表1中光子能量用電子伏(eV)作為單位，而1eV=1.60217733×10-19J，故在可見光譜的中點(λ=5×10-5cm)，可算出E=2.48eV，可見單光子的能量很小。需要說明的是，處在微波(microwaves)與可見光(visible light)之間的區(qū)域現(xiàn)在通常稱為太赫波(tera waves)，頻率f=100GHz～30THz(1THz=1012Hz)，而1THz對應(yīng)的光子能量為4.1×10-3eV。

表1 光子的動質(zhì)量與能量

但現(xiàn)有理論非常不令人滿意，因為它把光子描寫成既無形狀、體積，又無靜止質(zhì)量的奇怪粒子。同樣是微觀粒子，為什么人們可以指出電子的尺寸和確定的靜質(zhì)量，對光子卻說不出來？任何物質(zhì)實體都會占據(jù)一定空間(即使很小)，光子卻似乎可以在無自身大小情況下而分布在空間區(qū)域之內(nèi)；這樣的理論怎能令人滿意？！

在狹義相對論(SR)中有運動體長度縮短公式[14]：

(22)

式中v是運動速度，l0是靜止時物體沿運動方向的長度，c是光速。對光子而言v=c，故l=0；因此Einstein光子無體積(尺縮到零，成為一個點)。光子作為一種有動質(zhì)量、動量、能量的粒子，卻無體積，這一觀點意味著光子成為點粒子；這無論如何不會是好理論。物理學(xué)的發(fā)展史曾提供過把電子當(dāng)作點粒子時的教訓(xùn)。眾所周知，量子場論(QFT)和量子電動力學(xué)(QED)被人們認(rèn)為是很有成就的學(xué)科；然而QFT和QED的短板是著名的發(fā)散問題，根源在于這是一種點粒子場論。梁昌洪[15]在對經(jīng)典場(靜電場)的自作用能問題作論述時指出，早在1940年R.Feynman就注意到“電子自作用能無限大”給電磁場理論造成了突出的問題，而這是由于描述電子的模型是點粒子。這就是說，點電荷的自作用存在發(fā)散困難。如把電子看成沒有結(jié)構(gòu)的點，它產(chǎn)生的場對本身作用引起的電磁質(zhì)量就是無限大。……1964年P(guān).Dirac[16]關(guān)于QED的演講中談到重整化，他首先論述的正是這個電子質(zhì)量問題。電子質(zhì)量當(dāng)然不會是無限大，不過電子與場相互作用的這個質(zhì)量會有變化；Dirac指出，無法對“無限大質(zhì)量”賦于什么意義。人們在“去掉無限大項”的情況下繼續(xù)計算，得到的結(jié)果(如Lamb shift和反常磁矩)都與觀測相符；因此就說“QED是個好理論”，不必為它操心了。Dirac對此極為不滿，因為所謂“好理論”是在忽略一些無限大時獲得的——這既武斷也不合理。Dirac說，合理的數(shù)學(xué)允許忽略小量，卻不允許略去無限大(只是因為你不想要它)?！傊?，Dirac認(rèn)為QFT的成功“極為有限”。

實際上電子不是點粒子，著名實驗物理學(xué)家丁肇中曾長期關(guān)注電子的尺寸測量問題，不久前他給出的數(shù)據(jù)仍為電子半徑r≤10-17cm。那么電子是否呈圓球狀？丁先生未說?！庾优c電子不同，后者有確定的靜質(zhì)量而前者沒有(主流的物理界觀點認(rèn)為沒有)；另外，電子帶電荷而光子不帶電荷。盡管如此，規(guī)定光子是點粒子也會發(fā)生問題，只是暫時未對此作深入分析?！P(guān)于量子場論存在的問題可參考王令雋[17]的論述。

4 光子和電子的比較

把光子和電子作全面比較，是很有意思的。它們都是微觀粒子，都有極廣泛的應(yīng)用；電子學(xué)(Electronics)、光子學(xué)(Photonics)都是著名的龐大學(xué)科。然而，這兩種粒子的特性卻很不相同。為了討論的方便，我們給出兩個表——表2是光子和電子研究情況及理論思想的比較，表3是電子學(xué)與光子學(xué)這兩大學(xué)科的比較。

表2 光子和電子研究情況及理論思想的比較

光子和電子突出的區(qū)別是，電子有確定的靜質(zhì)量(而且有精確的測量值)，而光子的靜質(zhì)量被認(rèn)為是零。在狹義相對論(SR)中，任何以光速c運動的物體，其靜質(zhì)量必須為零[18]。因此光子的m0=0是邏輯推理的結(jié)果，而不是由實驗所決定的。實際上，科學(xué)界對光子靜質(zhì)量的測量從未停止[18-22]。有的科學(xué)家(例如美國物理學(xué)家R.Lakes)甚至以此作為畢生的研究方向。

表3 電子學(xué)與光子學(xué)兩大學(xué)科的比較

表2及表3說明，光子與電子的不同遠(yuǎn)多于它們的相似?，F(xiàn)在，有必要就波方程及波函數(shù)方面深入討論。先寫出經(jīng)典的Maxwell波方程[23]：

(23)

(24)

(25)

這是在1928年導(dǎo)出的波方程，我們稱之為DE。

量子力學(xué)家張永德[26]認(rèn)為，DE作為單電子波函數(shù)方程，只計及外部電磁場作用，未考慮電子自身的電磁作用，故仍是近似方程。其次，它不能推廣應(yīng)用于光子，因為Dirac假設(shè)粒子位置是可觀察量。對光子此假設(shè)不成立，無法對光子問題定位描述。光子沒有真正意義上的坐標(biāo)表象；雖然有時對光子強行引入包含力學(xué)變量的準(zhǔn)波函數(shù)描述，其實它沒有一個通常的波函數(shù)物理解釋(模平方是幾率密度)。但光子可以有動量表象的描述，這對實際目的已足夠。……實際上他是說無法為光子定義一個自洽的波函數(shù)，也沒有光子的幾率波性波方程(電子則有)。

Lanzagorta還說：“the photon is a non-localizable particle”；又說：“the photon cannot be localized”；這些話的意思與張永德所述一致。進(jìn)一步，Lanzagorta指出光子與一般微觀粒子(如電子)的區(qū)別。這是因為在數(shù)學(xué)上無法用滿足Einstein狹義相對論(SR)的局域性幾率分布來建立連續(xù)性方程(it is a mathematically impossible to build a continuity equation using localization probability distributions that satisfy Einstein’s special relativity)；既然無法建立連續(xù)性方程，所以無法為光子寫出波方程(it is impossible to write down a wave equation for the photon)?？梢?，研究光子比研究電子更困難。

5 光子靜質(zhì)量與Proca波方程

光子(photon)和中微子(neutrino)是兩種至今仍然令人產(chǎn)生神秘感的粒子。它們是否有非零(但微小)的靜止質(zhì)量，一直是引起爭論的課題[18-22]。傳統(tǒng)的物理理論如Maxwell電磁理論和狹義相對論(SR)，認(rèn)為光子沒有靜止質(zhì)量，即m0=0；因此，光子被稱為“無質(zhì)(量)粒子”，以區(qū)別于像電子這樣的“有質(zhì)(量)粒子”——后者也被稱為物質(zhì)粒子。

盡管測量光子靜質(zhì)量的努力從未停止，而且像量子電動力學(xué)(OED)這樣的理論也作了光子靜質(zhì)量不為零的假定[22]；人們?nèi)匀徽J(rèn)定光子是無質(zhì)粒子。現(xiàn)在看來，這或許不僅是認(rèn)識光子的障礙，而且還是造成基本物理理論自洽性缺失的原因之一。

粒子物理學(xué)通常假定Lorentz-Einstein質(zhì)速公式為真[15]：

(26)

式中v是粒子速度，c是光速，m0是v=0時的靜止質(zhì)量(rest mass)。物理學(xué)教科書從未說過上式不適用于光子，因此人們不妨一試；取m0=0、v=c，則有m=0/0；m成為任意大小，是不可接受的。問題只能出在以下三方面：①質(zhì)速公式不對；②光子靜質(zhì)量不是零；③光子運動速度不是光速c。顯然這三者任何一個成立都與狹義相對論(SR)不符；實際上，Einstein用自己的理論(SR)卻解釋不了自己發(fā)現(xiàn)的粒子(光子)。

基礎(chǔ)物理理論的尷尬還有下述內(nèi)容：作為量子力學(xué)(QM)的重要組成部分的Schr?dinger量子波方程(記為SWE或SE)和Dirac量子波方程(記為DWE或DE)，其中都有粒子質(zhì)量m，而Maxwell波方程(記為MWE)中卻沒有質(zhì)量。當(dāng)然，在Maxwell的時代(1865年)沒有波粒二象性(wave-particle duality)概念；但我們現(xiàn)在有，那么怎么辦？SE、DE是非常成功地描寫了電子運動的波方程；對照以下情況——電子是有靜質(zhì)量的微觀粒子；SE、DE在方程表達(dá)式中都有質(zhì)量參數(shù)m；這兩點具有內(nèi)在邏輯的一致性，也是對波粒二象性這一根本性物理現(xiàn)象的極好詮釋?！玀WE中沒有質(zhì)量參數(shù)m，這是否說明Maxwell方程組不夠精確、需要修正？……此外，自1970年光纖(optical fiber)問世后，用SE作闡述取得成功[28]；這說明SE可用于分析光子參與物理過程的現(xiàn)象，但這里有一個問題：SE中的m是什么呢？……最后，微觀粒子的波動性取決于其統(tǒng)計性，波函數(shù)所代表的只是幾率波。這原理對電子而言正確；對光子則出現(xiàn)悖論——雖然光子是電磁場、波量子化的結(jié)果，而電磁波卻不是幾率波。這樣一來，“波函數(shù)模平方是幾率密度”不適用于光子；那么光子還是微觀粒子么？如果是，怎樣體現(xiàn)其統(tǒng)計性質(zhì)？

必須指出，如果取光子為有靜質(zhì)量(但非常小)的粒子，上述悖論均迎刃而解，理論體系的自洽性就大為改善?，F(xiàn)在有許多物理學(xué)家不相信光子m0=0，例如美國Wisconsin大學(xué)教授R.Lakes一直從事測量光子靜質(zhì)量的研究，他曾堅定地說：“the photon is massive!” 現(xiàn)今早已不是Maxwell的時代了，ME和MWE會有變化，這一點并不令人吃驚。

1936年A.Proca[29]提出新的電磁場方程組是合乎邏輯的結(jié)果；當(dāng)然，Proca假定對光子而言靜質(zhì)量m0≠0。本節(jié)即論述這個問題；并且，我們將推導(dǎo)光子專屬的波方程。

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

用類似方法可從Proca方程組的兩個旋度方程出發(fā)而作推導(dǎo)；先寫出Proca場方程組：

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

如果m0=0(κ=0)，那么Proca波方程回到Maxwell波方程。對于無源自由空間(ρ=0)，就有

(40)

(41)

總之，筆者認(rèn)為Proca理論對研究單光子有用，擴大了思路。雖然光子和電子很不一樣；但如光子也是有靜質(zhì)量(即使非常小)粒子，就會像電子那樣帶有幾率波特性。這一點我們從1933年Nobel物理獎授予者致詞時所講的話得到驗證，他說：“引進(jìn)光量子以后，量子力學(xué)必須放棄因果關(guān)系的要求?！锢矶伤硎镜氖悄硞€事件出現(xiàn)的幾率——我們的感官和儀器不完善，我們只能感覺到平均值，因此我們的物理定律所涉及的是幾率?！薄热绱?，筆者認(rèn)為追求“光子幾率波方程”并不為錯——但這樣的方程過去并沒有。如承認(rèn)光子波動具有統(tǒng)計性，那么它與經(jīng)典波動(如力學(xué)波、聲波)確實不一樣，似乎亦不等同于電磁波。

由于Proca本人未作波方程推導(dǎo)，我們彌補了這一缺陷，給出了PWE；但提供的兩個方程未有有統(tǒng)一的形式，如何在實踐中應(yīng)用也仍待研究。至于采用Proca理論后的其他影響，見文獻(xiàn)[8][30]。這里僅著重指出，Proca波的相速(vp)和群速(vg)均與角頻率(ω)有關(guān)，呈現(xiàn)出真空中電磁波的色散效應(yīng)：

(42)

(43)

式中c為真空中光速，而ωc為特征角頻率：

(44)

為了對微觀粒子建立靜質(zhì)量的數(shù)量概念，這里提供一些數(shù)據(jù)——電子靜質(zhì)量me=9.10938188×10-28g，這是1998年國際推薦值(見：沈乃澂，基本物理常數(shù)1998年國際推薦值，中國計量出版社，2004)；然而，光子靜質(zhì)量上限的一個值2×10-50g[19]，另一個值是1.2×10-51g[20-22]。可見，光子靜質(zhì)量即使不為零，也比電子小很多：對照表1中的光子動質(zhì)量數(shù)據(jù)，光子靜質(zhì)量也非常小。但m0≠0對基礎(chǔ)理論的影響卻很大。

6 光子數(shù)方程與光子數(shù)測量

經(jīng)典光學(xué)(classical optics，CO)也承認(rèn)光子并在論述中提及這種粒子，但從不考慮光子的數(shù)量問題。這是因為一束光(自然光或激光)中包含的光子數(shù)極大，談?wù)撘蝗f個光子如同提及大海中的一滴水，實在沒有意義。量子光學(xué)(quantum optics，QO)則不同，它的思考細(xì)化到一兩個光子的行為。近年來量子信息學(xué)(QIT)的發(fā)展更彰顯了考慮單光子、雙光子問題的意義。例如量子雷達(dá)(QR)理論中出現(xiàn)了“單光子QR”和使用糾纏態(tài)的“雙光子QR”的概念；盡管它們在實際上尚未真正實現(xiàn)，但其想象力的新穎和大膽非常令人吃驚。又例如量子通信(QC)技術(shù)中使用了單光子串(單光子系列series of single photons)，也應(yīng)用糾纏態(tài)，據(jù)說均已成功[9]；這也讓人們有難以置信之感。

在QM中有所謂多體理論，例如考慮多電子時寫出嚴(yán)格的量子場方程，然后再設(shè)法求解。多光子問題也是多體理論問題?？傊嗔Ｗ恿孔永碚摫葐瘟Ｗ恿孔永碚摳鼜?fù)雜、嚴(yán)格，因而也更高級。但這并不表示在單粒子時人們就很容易掌握。實際上，龐大粒子數(shù)的功能裝備(如發(fā)射電磁波的經(jīng)典雷達(dá))更便于實現(xiàn)；而只用1個(或2個)粒子就能工作的裝備(如單光子量子雷達(dá))的成功不僅極其困難，或者竟是不可能。

那么1個波束(微波波束或激光束)中究竟有多少個光子？迄今為止尚無人測量過。這或許可以計算或估計；例如有說法是1018個光子，但我們不清楚其根據(jù)是什么?，F(xiàn)在本文推導(dǎo)與光子數(shù)(n)有關(guān)的方程；前已給出單光子的動量為

不失一般性，對電磁波量子可寫作

p=hk

矢量寫法為

(45)

一束光的光子數(shù)如為n，則光子動量方程應(yīng)寫作

(46)

由此可得光子數(shù)方程：

(46a)

在頻率(ω=2πf)為已知時，k的大小是確定的；然而，上式中p已不是單光子的動量，而是光束的動量。最近國外有報道說，加拿大科學(xué)家提出了測量光動量的新技術(shù)(見英國《每日郵報》2018年8月21日報道)，所指為光束的宏觀動量，對我們的論題極有幫助?？纯磳@項新成果的介紹——“新技術(shù)首次測量光動量”。報道說，長期以來，科學(xué)家們一直懷疑光可能具有動量——結(jié)合質(zhì)量和速度來衡量的一種特性。但光子據(jù)稱是沒有質(zhì)量的。它們的動量如何對物質(zhì)施加作用力，這在很大程度上仍是一個謎。德國天文學(xué)家J.Kepler于1619年首次提出，來自太陽光的壓力可能決定了彗星尾巴的位置。彗星的尾巴總是指向遠(yuǎn)離太陽的方向。200多年后，J.Maxwell預(yù)測，輻射壓力是由光的電磁場中的動量產(chǎn)生的。但從那時起，科學(xué)家們一直難以解釋這種現(xiàn)象是如何出現(xiàn)的。

現(xiàn)在，加拿大不列顛哥倫比亞大學(xué)的科學(xué)家說：“我們之前一直沒有確定這種動量是如何轉(zhuǎn)化為力或運動的。由于光攜帶的動量非常小，所以我們所擁有的設(shè)備的敏感度一直不足以解決這個問題?！比欢豁椥录夹g(shù)終于可以幫助解決這個有150年歷史的難題了，它使用聲學(xué)傳感器來“聆聽”穿過一面鏡子的激光脈沖的彈性波。具體講，研究團隊制作了一面配備聲學(xué)傳感器和隔熱層的鏡子，以減少干擾和背景噪音。然后，他們向鏡子表面發(fā)射激光脈沖，并使用聲學(xué)傳感器來探測運動的彈性波。研究人員指出，觀察這種效果很像是觀察池塘里的漣漪。他們說：“我們不能直接測量光子的動量，因此，我們的方法是通過‘聆聽’穿過鏡子的彈性波來探測它對鏡子的影響。我們能夠由這些波的特征追蹤到光脈沖本身的動量，這為最終界定和模擬光動量如何存在于材料內(nèi)部打開了大門?！?/p>

筆者認(rèn)為，這項新成果實際上是設(shè)計了一種新裝置來測量光子之間微弱的相互作用。這就為我們正在考慮的“如何測量一束光中的光子數(shù)目”這一課題提供了一條新的途徑。而且，說每個光子都無質(zhì)量但大量光子組成的光束卻有動量，邏輯上說不通。盡管光束的宏觀動量應(yīng)是光子的動質(zhì)量所造成，這項科學(xué)成果仍會敦促我們思考光子靜質(zhì)量的有無問題。

7 如何用實驗技術(shù)掌控單光子

單光子是非常奇怪的粒子。迄今我們只能用一些抽象的物理參數(shù)(頻率、功率、動質(zhì)量、極化等)來描寫光子，卻無法使之具象化。光子什么樣(是圓的、方的)？我們說不出來。光子有沒有體積(即幾何尺寸)？我們不知道。在通常情況下光子存在時間很短，這種飄忽不定的性質(zhì)使它更難掌握。目前是依靠對脈沖的觀察來間接了解光子，而這方法不是沒有問題的。人們經(jīng)常重復(fù)以下話語以掩飾自己的無知——光子不是剛性球，不是經(jīng)典的東西；原始定義是一個能量子，只有量子理論才能對它作雖不理想但較好的說明，強調(diào)指出光子的非局域性(non- localized)。近20年來，單光子技術(shù)(single photon technology)有了很大發(fā)展，包括單光子的產(chǎn)生、檢測和應(yīng)用，都彰顯了科學(xué)家們的智慧和努力。盡管如此，目前仍然沒有理想的單光子源，QIT技術(shù)中常用的是近似單光子源?！梢哉f，目前的狀況是理論認(rèn)識的貧乏與應(yīng)用技術(shù)的擴展并存。

單光子是一種最弱光源，具有最小的發(fā)光量。但我們又不能簡單地說光子能量“小”，例如X射線光子的能量比微波光子的能量大108倍。為了有一種概括的了解，可以按可見光頻率來了解光子能量的大致水平。單個光子的能量是1.6eV～3eV，這是按可見光的頻率算出的。按2eV考慮，就有

2eV≈3.2×10-19J=3.2×10-12erg

這樣就出現(xiàn)了一個問題：我們?nèi)绨压馐墓β手饾u減小，達(dá)到10-16W的水平，是否就能說“已獲得了單光子”？……實際上，有的研究人員就是按此思路做實驗的——2008年中國科學(xué)院西安光機所的張興華、趙寶升等[31]實現(xiàn)了紫外單光子成像，現(xiàn)在根據(jù)他們的實踐介紹單光子實驗技術(shù)。單色光的光功率可用下式表示：

P=KE

(47)

式中E是一個光子的能量；系數(shù)K是單位時間內(nèi)通過單位截面的光子數(shù)。顯然，測量出K值是關(guān)鍵。當(dāng)P不斷減小，弱到以單光子發(fā)射時，只有用單光子計數(shù)模式，才能掌握單光子信息。當(dāng)入射光功率減小到10-16W，光電探測器上的光電子脈沖呈不連續(xù)隨機分布，此時光源為單光子發(fā)射。……雖然有人不相信這樣即可得到單光子，但稱之為近似單光子源還是可以的。

2007年3月14日法新社從巴黎發(fā)出電訊稱，法國科學(xué)家發(fā)明了捕捉光子的裝置，并且上百次成功地追蹤到光子從產(chǎn)生到消失的過程，最長的達(dá)0.5s。在過去，雖然發(fā)現(xiàn)光子不難，但難以捕捉到光子——捕獲時也就破壞了它。新的技術(shù)由法國科學(xué)研究所的Bruxell研究組完成，一個僅為2.7cm長的裝置可捕捉一個光子并監(jiān)控它從產(chǎn)生到消失的全過程。他們讓一束銣原子穿過捕獲光子的盒子，光子的電場會輕微改變原子的能最水平，但這不足以使原子從電場中吸收能量。當(dāng)一個原子穿過光子的電場時，會使繞原子核運行的電子略微遲緩，而這一推遲時間可以使用現(xiàn)代原子鐘技術(shù)測量，即把電子的軌道視為“鐘擺”以測量出準(zhǔn)確時間。

我們不懷疑這個實驗的真實性，但僅看這個簡略報道會讓人產(chǎn)生許多問題。首先，實驗者“捕捉到1個光子”是用什么來判定的？其次，單光子存在(也可稱為“存活”)的時間最長只有半秒，說明它不是一種“產(chǎn)生了就呆得住”的東西——既如此，人們還怎能利用它來做工作(甚至承擔(dān)某些重要的工程任務(wù))呢？……實際上，判斷單光子的獲得是依靠光脈沖信號(甚至是由光脈沖轉(zhuǎn)變而成的電子脈沖信號)。我們從未看到過這樣的報道，即在某個實驗中科學(xué)家獲得了粒子形態(tài)的單光子。根本點在于，光子沒有可視的具體形象。

2004年M.Keller等[32]發(fā)表文章，題為“在離子阱腔系統(tǒng)中用受控波形連續(xù)產(chǎn)生單光子”。實驗的方法是：在光學(xué)腔體中使單離子被強烈局域化，以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了單光子源，所用離子為40Ca+。實驗系統(tǒng)使用了雙鏡片TEM00模腔、阱電極、聲光調(diào)制器、雪崩光電二極管、分束器等。論文用脈沖波形代表單光子形象——這其實是唯一可行的辦法，因為任何人也無法把1粒光子活靈活現(xiàn)地擺在人們面前。

重要的是光脈沖與光子數(shù)的關(guān)系，一個脈沖不一定代表一個光子。例如前述方法(把激光束經(jīng)過強衰減后得到弱相干光)的這類光源中含有大量空脈沖和比例可觀的多光子脈沖。然而量子通信(QC)技術(shù)中常用衰減的相干光脈沖作為近似的單光子源。由于相干光脈沖中光子數(shù)滿足Poison分布，光脈沖存在一定的多光子幾率，這使得對量子線路實施竊聽成為可能，影響量子密鑰分配過程的安全性。若要減小光脈沖中多光子幾率，就必須將每個脈沖平均光子數(shù)水平降得很低(1%～10%)，使脈沖序列中有大量空脈沖(脈沖中光子數(shù)為零)出現(xiàn)。因此，這種近似的單光子源效率很低，嚴(yán)重制約量子密鑰的生成速度和系統(tǒng)噪聲特性[33]。

檢測光子難度很大。1998年美國Stanford大學(xué)的科學(xué)家B.Cabrera用很薄的鎢膜作為傳感器，并使之冷卻到超低溫(8×10-2K)，從而成為超導(dǎo)體。當(dāng)鎢膜收到單光子，溫度會略為升高，電阻略為增大，從而可以測量出來單光子的能量及到達(dá)時間。2003年美國標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(NIST)在技術(shù)上略有改變，用鎢絲作傳感器，成功地探測到單光子。

另一個例子是利用超導(dǎo)納米線探測單光子。有一種技術(shù)是硅雪崩光電二極管單光子探測器(SPAD)，但性能差，對光子能量承受力低。2001年莫斯科師范大學(xué)Goltsman小組發(fā)明了利用超導(dǎo)線(納米級)探測單光子的技術(shù)[34]，稱為SSPD；當(dāng)1個光子打到納米線上，由于熱點效應(yīng)可快速產(chǎn)生一個電脈沖。這一技術(shù)暗計數(shù)率低(R<10-2s-1)，靈敏度高(小于單光子水平)，以及有其他優(yōu)點，故受到廣泛重視。這一技術(shù)被航天界所采用；地球上層空間的碎片數(shù)量極多，大小尺寸不一，是航天界非常頭疼的問題。自2007年起上述俄羅斯研究團隊已開始用SSPD取得了激光測距的成果，雖然距離只在數(shù)百米量級。中國科學(xué)院云南天文臺目前已有激光測距系統(tǒng)；最新的研究表明[35]，使用SSPD技術(shù)有望使該系統(tǒng)實現(xiàn)空間碎片激光測距，對米級大小的碎片探測距離可達(dá)800km以上。

8 單光子技術(shù)應(yīng)用于量子信息學(xué)及存在問題

雖然進(jìn)行量子通信(quantum communication，QC)的信息載體從理論上說可以用各種微觀粒子(如光子、電子、原子)，實際上，使用最多的是光子。這是因為光子的退相干容易控制，而且有利用傳統(tǒng)光纖通信技術(shù)時的方便。QC技術(shù)中的源主要是單光子源和糾纏雙光子源，這兩者又有密切的聯(lián)系。1984年C.Bennett和G.Brassard提出了用光子偏振態(tài)傳送信息的量子密鑰分發(fā)方案(BB84協(xié)議)；1989年C.Bennett又領(lǐng)導(dǎo)完成最早的量子密鑰分發(fā)(quantum key distribution，QKD)實驗；1991年A.Ekert提出了基于量子糾纏的QKD方法(E91協(xié)議)；這些成為QC的第一批基礎(chǔ)性工作。由于進(jìn)入新世紀(jì)以來的進(jìn)步，QC已成為十分重要的學(xué)科，單光子源研發(fā)變得更突出了。

單光子源發(fā)射器件是實現(xiàn)量子密碼通信的核心器件之一。由于目前缺乏理想的單光子發(fā)射器件，量子密鑰通信的實驗演示都采用激光衰減光源模擬單光子發(fā)射。衰減激光在實驗上的困難不僅在于要搭建復(fù)雜光路系統(tǒng)，而且單光子產(chǎn)生效率很低，不能消除多光子的存在，無法避免受到多光子攻擊的可能性。由于存在光子數(shù)分離攻擊，最大安全通信距離都受到極大限制。因而，遠(yuǎn)距離量子密鑰分發(fā)的實驗結(jié)果原則上都有安全漏洞。如何得到一種穩(wěn)定、高效、可靠的單光子源，已經(jīng)成為量子通信和量子密碼實用化的一個瓶頸。

2001年，E.Moreau等[36]的論文報道以量子點(quantum dots)為基礎(chǔ)的固態(tài)單光子源。同年，英國劍橋大學(xué)(Cambridge Univ.)發(fā)明了由電流驅(qū)動的單光子源。這是一種新型的發(fā)光二極管，以稱為量子點的電子群為基礎(chǔ)，但它要求超低溫條件，因而不實用。

2002年10月，C.Santori等[37]報道說，他們已解決了從小塊固體物質(zhì)中弄出幾乎完全相同的一個個單光子的難題。我們知道，最簡單的光量子計算也要求每個光子和其他所有光子都相同。這里所謂“相同”是指光子們一起達(dá)到同樣的量子態(tài)，幾乎無法區(qū)分彼此——在一般情形下做到這一點并不容易。Santori等人在砷化鎵和砷化銦交錯排列形成的5mm高的小柱上嵌入只有幾納米大小的點狀砷化銦。當(dāng)用激光照射小柱時，從點狀砷化銦中激發(fā)出一個電子并放出一個光子。由于砷化銦的上下兩層起“鏡子”的作用，而電子在鏡面間來回反射，發(fā)射的光子和下個光子都極為相似。

半導(dǎo)體量子點結(jié)構(gòu)是—種典型的三維受限結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)類“原子”二能級體系特征，是制備單光子發(fā)射器件的理想選擇之一。近年來，歐、美、日、中等多個研究組開展了單光子發(fā)射器件研究并有所進(jìn)展。

QC技術(shù)如何抗雜散光的干擾是一個突出問題，特別在用衛(wèi)星實現(xiàn)QC操作時。對此，筆者表達(dá)了很大的疑慮[9]。

傳統(tǒng)雷達(dá)(classical radar，CR)經(jīng)過近80年的發(fā)展已成為龐大、成熟的工程學(xué)科，擁有許多研究所和工廠，廣泛應(yīng)用于軍事和民事領(lǐng)域。近年來興起的量子雷達(dá)(quantum radar，QR)企圖用少量光子做原本用電磁波完成的工作。QR比CR實現(xiàn)起來困難得多[27，38-41]，那么為什么要舍易求難？據(jù)說QR有許多優(yōu)點，甚至能探測軍用隱身(隱形)飛機。不過我們還未看到QR被研制出來并投入實戰(zhàn)的報道。

從表面上看，QR與QC相比，前者沒有保密(防竊聽)要求，對單光子源沒有太嚴(yán)格的限制。但QR發(fā)射的是多個單光子脈沖形成的陣列，不是依靠1個光子(only one photon)就可以工作的。而且，沒有證據(jù)表明研發(fā)QR技術(shù)比研發(fā)QC技術(shù)更容易，因為雷達(dá)有其自身的一些苛刻要求，例如探測距離、分辨率、對隱身(隱形)的目標(biāo)的可視性等。近來國外雷達(dá)界有一些動向——2014年，意大利開發(fā)出完全基于光子的全數(shù)字相干雷達(dá)(PHODIR)；2018年媒體報道俄羅斯為第6代戰(zhàn)機研發(fā)光子雷達(dá)，用微波的X波段，是無線電波成像。我們不能肯定它們是量子雷達(dá)(QR)，但可以看出這類研究的軍事意義。

2012年，M.Lanzagorta指出[27]：“These systems rely on quantum states of light(photons)sustained on an entangled superposition. One half of these states is send towards the target and the other remains in the receiver.”(系統(tǒng)依賴于糾纏疊加的光(光子們)的量子態(tài)；一半光子被發(fā)送至目標(biāo)，而另一半仍然留在接收機內(nèi)。)在這段文字中，光子是多數(shù)詞而非單數(shù)詞，故QR是制備出許多對雙光子，孤立地看每對都處于糾纏態(tài)；而在雷達(dá)工作時，射向目標(biāo)的為一個又一個單光子脈沖形成的系列，這樣收到散射回波的可能性就大一些，盡管在實際上是否回得來還很難說。

這樣的QR概念與傳統(tǒng)雷達(dá)(CR)非常不同。在CR中因為是海量的光子而不談?wù)摴庾訑?shù)目，只談波束的功率和能量水平；而QR則是一種用少量光子完成雷達(dá)功能的裝置。Lanzagorta在文獻(xiàn)[27]§5.1.3中說：“quantum radar transmitter sends a single photon pulse towards a target，the target reflects the photon which is detected by the receiver”；這話的前句為“量子雷達(dá)發(fā)射機發(fā)送一個單光子脈沖射向目標(biāo)”；但在另一處又說“with low number photon pulses”(使用較少數(shù)目的光子脈沖)；這是相互矛盾的說法。

總之，設(shè)計QR的一個基本問題是采用單光子發(fā)射還是采用多光子發(fā)射。另一個關(guān)鍵問題是運用糾纏態(tài)還是不運用糾纏態(tài)。真正的QR技術(shù)應(yīng)為在微波的采用糾纏態(tài)的單光子雷達(dá)技術(shù)，困難之大無法形容，是對人類智慧的極大挑戰(zhàn)。對于距離雷達(dá)站幾百公里的目標(biāo)，即使是量子散射，單個光子發(fā)射后回到雷達(dá)的幾率非常小。因此，從概念和理論到制成QR樣機，有很長的路要走。如使用糾纏光子對，據(jù)說雷達(dá)的分辨率和探測距離都會有較大提高。有一種看法認(rèn)為，只有使用糾纏光子的技術(shù)才能充分保證量子雷達(dá)的優(yōu)越性。對這一點，目前尚缺少實驗證明。

很明顯，如用微波作為工作頻段，亦即設(shè)計“微波單光子雷達(dá)”，自然光源造成的干擾就可以避免。但是“微波光子”的能量、動質(zhì)量都遠(yuǎn)小于“可見光光子”，所謂“微波光子雷達(dá)”的工程實現(xiàn)極為困難。

2018年5月10日美國刊物《國家利益》刊登一篇文章，題目是“量子雷達(dá)可以讓F-22、F-35和殲-20無法隱身嗎？”文章說，量子雷達(dá)通過利用晶體把一個光子分成兩個糾纏光子，然后發(fā)射其中的一個光子，觀察對其伙伴產(chǎn)生的相應(yīng)效果。如果被發(fā)射的微粒撞到一架隱形戰(zhàn)斗機，對該光子的影響就會在未被發(fā)射的伙伴光子上顯現(xiàn)。那么顯示“脈沖信號”的光子就會與未受影響的光子區(qū)分開來，構(gòu)成一種雷達(dá)圖像。這種武器不容易受到許多用于回避無線電波反射技術(shù)的影響，也不受干擾和其他電子戰(zhàn)手段的影響?！贿^這類說法都僅為一種概念，是否真如此還有待證明。

6月15日香港《南華早報》說：中國電子科技集團公司(CETC)兩年前宣布，其科學(xué)家已經(jīng)測試了有效范圍為100km的量子雷達(dá)，理論上這種量子雷達(dá)能夠偵測遠(yuǎn)距離的隱形戰(zhàn)機。近日這家公司在南京舉辦的—個行業(yè)展會上表示，這項技術(shù)的新一代產(chǎn)品能探測高空飛行物(指彈道導(dǎo)彈、低軌衛(wèi)星)，使用單光子探測技術(shù)；但又說“還在實驗驗證階段”。

對于這些報道筆者是存疑的。—個基本問題仍然是，在白天空中有海量雜散光子，對QR發(fā)射的單光子脈沖陣列形成強干擾，那么QR是否能工作？……就有關(guān)QR的一些基本問題，筆者曾與專家討論(參見附錄Ⅱ)。

9 尚待研究的單光子現(xiàn)象

在光子學(xué)說的提出者A.Einstein于1955年去世后，光子的理論和應(yīng)用均有很大進(jìn)展，63年來成績斐然。但在基礎(chǔ)研究的層面仍有許多問題有待深入，這里僅舉數(shù)例。

光子的非經(jīng)典性可由量子力學(xué)中全同粒子不可分辨性原理出發(fā)而看出。全同性原理導(dǎo)致兩個同類粒子交換后波函數(shù)不變，有這種對稱性的粒子是Bose子，如光子和介子，自旋為整數(shù)值，不必滿足Pauli不相容原理。這些都是經(jīng)典物理學(xué)不曾考慮過的問題?？傊?，波動性、粒子性其實都來自經(jīng)典物理觀念，但現(xiàn)在不能再用經(jīng)典物理來研究光子。例如，雖然輻射場可用簡諧子來描寫波動圖像，但它屬于量子化了的波動而非經(jīng)典的波動。總之，對光子的一些奇怪現(xiàn)象(如同態(tài)光子干涉、單光子同時通過雙縫、量子后選擇等)，用傳統(tǒng)的經(jīng)典性、確定性(determinism)都無法解釋。

1958年P(guān).Dirac[42]在其著作《Quantum Mechanics》中提出了“光子自干涉”的論斷，認(rèn)為單光子只有自己發(fā)生干涉，從來不會發(fā)生不同光子間的干涉。但實驗表明不同激光器發(fā)出的光子可以相干，這也說成是“光子自干涉”就說不通了。為克服這一困難，應(yīng)將“光子自干涉”理解為包括同態(tài)光子干涉在內(nèi)。光子即使來自不同的激光器，只要進(jìn)入同一量子狀態(tài)，就是不可區(qū)分的全同粒子，就能發(fā)生相干。實驗表明正是如此，20世紀(jì)60年代L.Mandel領(lǐng)導(dǎo)的弱光干涉實驗對此做了許多研究。

其次，應(yīng)當(dāng)對單光子從產(chǎn)生到消失的全過程作監(jiān)測，筆者只知道—個實驗例子。前已述及，2007年3月14日法新社從巴黎發(fā)出電訊稱[43]：法國科學(xué)家發(fā)明了捕捉光子的裝置，并且上百次成功地追蹤到光子從產(chǎn)生到消失的過程。這實驗生動有趣但也令人困惑——既然光子不是一個彈子球，“捕捉1個光子”是什么意思？如果說是“抓”到了1個光脈沖(人們只能經(jīng)過它感知光子)，但光脈沖有3種可能，對光子的直觀感受和認(rèn)知仍未解決。其次，單光子存在時間只有半秒，那么人們又是如何能在QC中應(yīng)用單光子呢？

最后，我們注意到這樣的論文，它把討論的內(nèi)容核定在“有幾萬個光子”的情境中。例如2008年F.De Martini等[44]說，創(chuàng)造了一種單光子與多光子(有3.5×104個)系統(tǒng)相互糾纏的體系，實現(xiàn)了微觀與宏觀糾纏(兩者相隔一個遠(yuǎn)距離)。實驗中的宏觀系統(tǒng)是用單光子量子比特(qubit)經(jīng)光學(xué)參數(shù)放大器放大后得到的，故微觀qubit和包含許多光子的宏觀qubit之間相互關(guān)聯(lián)且糾纏?！宋姆浅Ｓ袆?chuàng)意，但也存在疑問——為什么實驗者知道宏觀系統(tǒng)中正好有35000個光子？顯然這是估計的數(shù)據(jù)，因為如是計算或測量值就可能是(比如說)29937個或30015個，而不可能正好35000個。盡管如此，這種談?wù)摗皫兹f個光子”的論文仍然引起我們的注意；因為這是過去所不會有的。

對于單光子技術(shù)理論與應(yīng)用的進(jìn)一步發(fā)展，我們拭目以待。