邱莉婷，沈振中，馬福恒，聶柏松

(1. 南京水利科學(xué)研究院，江蘇南京210029； 2. 河海大學(xué)，江蘇南京 210098； 3. 華東勘測設(shè)計研究院有限公司，浙江杭州 311122)

裂縫問題在混凝土壩中十分普遍，故有無壩不裂之說[1]。混凝土在細(xì)觀結(jié)構(gòu)上是由骨料、砂漿及二者間界面過渡區(qū)組成的三相非均質(zhì)準(zhǔn)脆性復(fù)合材料[2-3]。其內(nèi)部還夾雜著許多孔隙和微裂紋，這些原始缺陷在外荷載的作用下，初始損傷不斷積累，應(yīng)變局部化的產(chǎn)生導(dǎo)致?lián)p傷不斷發(fā)展成核，最終形成宏觀裂縫。宏觀裂縫的失穩(wěn)擴展將破壞大壩的整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，最終危及大壩的安全運行?；炷翂蔚牧芽p產(chǎn)生機理復(fù)雜，研究混凝土大壩裂縫擴展主要有基于宏觀破壞力學(xué)的確定性理論以及考慮混凝土隨機統(tǒng)計特性的概率統(tǒng)計法?？紤]到混凝土大壩除受到自身結(jié)構(gòu)和材料的非線性影響外，往往還受到外部隨機因素的作用，單一的確定性理論或者概率論方法研究無法全面考慮其結(jié)構(gòu)劣化過程的各個關(guān)鍵因素[4]。在大壩安全監(jiān)測中，對裂縫系統(tǒng)的把握是基于對裂縫開度的實時監(jiān)測。相關(guān)研究[5]表明，監(jiān)測資料殘差序列中存在混沌現(xiàn)象?；煦绗F(xiàn)象是指在確定性非線性系統(tǒng)中存在的內(nèi)在隨機性行為[6]，在生物、物理、信息科學(xué)、氣象學(xué)等諸多領(lǐng)域均得到了廣泛應(yīng)用。包騰飛[4]把裂縫作為非線性動力系統(tǒng)進(jìn)行相空間重構(gòu)研究，探索了裂縫系統(tǒng)混沌特征量的計算，證明了裂縫存在混沌成分。李富強[7]基于混沌動力系統(tǒng)的相空間重構(gòu)理論，對大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析后的殘差序列采用二階Volterra濾波器建模以提高擬合精度。宋志宇等[8]將混沌優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用于支持向量機模型的參數(shù)選取優(yōu)化，建立了混沌優(yōu)化-支持向量機的大壩位移預(yù)測模型。趙卿等[9]結(jié)合相空間重構(gòu)和最小二乘支持向量機提出了適合大壩非線性變形觀測數(shù)據(jù)的中長期預(yù)報的混沌-支持向量機模型。嚴(yán)春麗[10]采用基于Bernstein多項式的遞推最小二乘自適應(yīng)算法，對大壩水平位移采用多元線性回歸模型擬合后的殘差序列進(jìn)行處理，提出了MLR-Bernstain多項式組合模型。Legendre多項式[11]因其優(yōu)秀的函數(shù)逼近能力在工程領(lǐng)域得到了廣泛運用，但對于混沌時間序列的預(yù)測算法研究較少。閆華[12]針對具有高跳速的混沌通信系統(tǒng)，提出了基于Legendre多項式的單步自適應(yīng)預(yù)測算法，但基于Legendre多項式的預(yù)測模型研究在大壩安全監(jiān)控領(lǐng)域尚未見到。

統(tǒng)計回歸模型常用于大壩安全監(jiān)控，但對于樣本容量較少的觀測時間序列建模能力較差；此外，其預(yù)測模型無法考慮殘差項[13]，忽略了裂縫發(fā)展演變的諸多有用信息，使得裂縫開度的預(yù)測精度不夠理想。針對上述問題，本文主要研究工作如下：首先，結(jié)合Legendre多項式和遞推最小二乘算法(Recursive least square, RLS)建立適合小容量樣本的混凝土大壩裂縫開度實時預(yù)測模型；同時，在回歸模型分離出確定性分量的基礎(chǔ)上，采用基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)預(yù)測模型，進(jìn)行殘差序列的擬合及預(yù)測分析，通過在預(yù)測模型中增加殘差預(yù)測項，建立適合大容量樣本的統(tǒng)計回歸-Legendre組合模型。最后，基于陳村重力拱壩在105 m高程的裂縫開度實測數(shù)據(jù)，對模型的合理性進(jìn)行計算驗證。

1 Legendre多項式的基本原理

這里首先簡單介紹下內(nèi)積空間中的正交性理論。在內(nèi)積空間X中，如果某個子集D滿足：?x,y∈D且x≠y均有(x,y)=0，則子集D是正交的。同時，如果?x∈D均滿足||x||=(x,x)0.5=1，那么子集D是標(biāo)準(zhǔn)正交的。內(nèi)積空間的一組線性無關(guān)的元素總能通過Gram-Schmidt正交化成為一組標(biāo)準(zhǔn)正交集?；谏鲜鰞?nèi)積空間的正交性理論和Gram-Schmidt正交化處理來定義Legendre多項式。設(shè) [-1,1]上全體連續(xù)函數(shù)的集合為C[-1,1]，采用函數(shù)加法和數(shù)乘操作創(chuàng)建一個線性空間，則冪函數(shù)1,x,x2,…構(gòu)成該空間中的一個線性無關(guān)組，這里定義內(nèi)積運算為：

(1)

從而C[-1,1]成為一個內(nèi)積空間，在該內(nèi)積空間中通過線性無關(guān)組{1,x,x2,…}的正交化得到Legendre多項式。Legendre多項式形式較多，這里采用其中一種較為簡單的表達(dá)式：

(2)

Legendre多項式的正交性可由下式體現(xiàn)：

(3)

Legendre多項式具有函數(shù)逼近能力，即式(2)中的一系列函數(shù)L1(x),L2(x),…的線性組合可以逼近一類廣泛的函數(shù)，這也說明了Legendre多項式對非線性時間序列是具有建模能力的[12]。

式(2)中的Ln(x)是單變量的n階Legendre多項式。為了改進(jìn)模型的預(yù)測效果，這里采用如下的待定參數(shù)m元n階Legendre多項式對混沌時間序列進(jìn)行建模：

(4)

式中：W=(wk,i),k=1,2,…,m;i=0, 1,…,n-1為mn維的待定參數(shù)行向量；Li(·)為式(2)中的i階Legendre多項式。當(dāng)多項式階數(shù)i較高時，采用式(2)計算Li(·)的計算量大，一般進(jìn)行以下簡化：

L0(x)=1,L1(x)=x

(5)

此外，Legendre多項式有如下遞推關(guān)系：

(6)

因此，建模過程可基于式(5)和式(6)來計算Legendre多項式的值。

2 實時預(yù)測模型的建立及算法實現(xiàn)

遞推最小二乘算法(RLS)具有快速收斂和較小的穩(wěn)態(tài)誤差，在信號處理領(lǐng)域得到了廣泛運用。這里將Legendre多項式的建模方法與RLS算法相結(jié)合，建立基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)混沌時間序列預(yù)測模型。具體建模流程如下[12]：

(1) 擬定主要參數(shù)和部分變量初值：① 給定模型采用的歷史測值個數(shù)m以及各測值所對應(yīng)的Legendre多項式階數(shù)n(對全部測值均采用同樣階數(shù)的Legendre多項式)；② 擬定RLS算法中遺忘因子α和參數(shù)β的取值；③ 構(gòu)造1×(n·m)階加權(quán)行向量W(i)，將初始值W(0)設(shè)定為零向量。

(2) 通過RLS算法更新加權(quán)行向量W(i)：① 構(gòu)造相應(yīng)于第t+1個觀測時刻的Legendre多項式的輸入列向量G(t,m)：

G(t,m)=[g(t),g(t-1),…,g(t-m+1)]T，t≥m

(7)

其中，g(t)具有以下形式：

g(i)=[L0(xi),…，Lt(xi),…，Ln-1(xi)],i=t,t-1,…，t-m+1

(8)

② 將加權(quán)行向量W(t)與輸入列向量G(t,m)相乘作為t+1時刻預(yù)測值，即：

(9)

③ 利用RLS算法原理，根據(jù)t+1時刻實測值，調(diào)整相應(yīng)于t+2時刻權(quán)向量W(t+1)：

(10)

(11)

W(t+1)=W(t)+rt+1V(t+1)T

(12)

(13)

L(t)的初值L(0)為：

L(0)=(1/β)I

(14)

式中：V(t+1)為(n·m)×1階列向量；L(t+1)為(n·m)(n·m)階方陣；I為(n·m)(n·m)階單位矩陣。

這里對算法中涉及的參數(shù)取值問題進(jìn)行說明，模型的4個重要參數(shù)包括：預(yù)測時所采用的歷史采樣點的個數(shù)m，各采樣點所對應(yīng)的Legendre多項式的階數(shù)n，以及RLS算法中兩個重要的參數(shù)α與β。由于各類非線性關(guān)系都具有獨特“個性”，因此對不同混沌序列的預(yù)測建模均需具體擬定相應(yīng)的參數(shù)取值，一般采用逐步試探法，具體做法如下[12]：(1) 將參數(shù)α與β分別設(shè)置為0.999與0.001，這是因為從仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)，二者并非算法的敏感參數(shù)，因而可直接取為固定常數(shù)；(2) 參數(shù)n與m的初值均為1，逐步增大二者取值，并在一定時間內(nèi)保持不變?；谶x定的誤差計算方法來判斷該時段的預(yù)測效果，直至滿足計算誤差要求即可確定合理的模型參數(shù)取值。

3 統(tǒng)計回歸-Legendre多項式殘差擬合模型

對混凝土大壩裂縫開度采用統(tǒng)計回歸模型來研究監(jiān)測效應(yīng)量與影響因素(水壓、溫度及時效等)之間的關(guān)系，其一般形式[15]可表示為：

δ(t)=δH(t)+δT(t)+δθ(t)+ε(t)

(15)

式中：δ(t)為裂縫開度；δH(t)水壓分量；δT(t)為溫度分量；δθ(t)為時效分量；ε(t)為殘差。采用回歸分析確定δH(t)，δT(t)和δθ(t)的因子的系數(shù)，則t+T時刻的預(yù)測模型[13]可表示為：

δ(t+T)=δH(t+T)+δT(t+T)+δθ(t+T)

(16)

對比式(15)和(16)可以發(fā)現(xiàn)，該預(yù)測模型缺少殘差項ε(t+T)。而殘差項包含水壓、溫度以及時效分量各因子之間相互影響所導(dǎo)致的非線性相關(guān)性；水壓和溫度等環(huán)境荷載作用下，裂縫尖端應(yīng)力場奇異區(qū)域混凝土產(chǎn)生的不可逆變形；壩體承受極端荷載或者結(jié)構(gòu)劣化時導(dǎo)致的裂縫開度突變等[4]。所以，需要對預(yù)測模型進(jìn)行修正[13]：

δ(t+T)=δH(t+T)+δT(t+T)+δθ(t+T)+ε(t+T)

(17)

統(tǒng)計回歸-Legendre多項式組合模型具體建模過程如下：(1) 利用回歸分析模型分離出各確定性分量；(2) 采用基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)預(yù)測算法對殘差序列進(jìn)行擬合，并在預(yù)測模型中加入殘差預(yù)測項，從而構(gòu)建統(tǒng)計回歸-Legendre組合模型。

這里選取仿真試驗中常用到的Logistic映射[16]來檢驗Legendre多項式對混沌序列的預(yù)測效果。

xt+1=4xt(1-xt)

(18)

選擇歸一化均方根誤差(eNRMES)作為評價模型預(yù)測效果的判據(jù)：

(19)

圖1 Logistic混沌序列的單步仿真圖像Fig.1One step prediction of Logistic chaos sequence

利用試算方法，給出Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列所對應(yīng)的參數(shù)取值：n=3，m=2，α=0.999，β=0.001?；谝陨蠀?shù)取值，對Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列做單步預(yù)測仿真試驗。為直觀說明Legendre對混沌序列的預(yù)測效果，圖1給出了針對Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列的單步預(yù)測仿真圖像。每次仿真共取1 000個數(shù)據(jù)點，由于篇幅所限，這里僅繪制前65個點的預(yù)測仿真以說明效果，所有的數(shù)據(jù)均已歸一化至[0,1]。同時，計算得到該實時預(yù)測模型歸一化均方根誤差為0.076。

從圖1可以看出，由于結(jié)合了RLS這種自適應(yīng)收斂算法，模型計算結(jié)果在第18個點就已經(jīng)收斂，收斂速度較快，說明該算法適用于混沌時間序列的實時預(yù)測。

圖2 大壩典型斷面(單位：m)Fig.2Typical section of Chencun dam (unit: m)

4 工程實例

圖3 陳村大壩各壩段編號示意Fig.3Numbering of each dam block

陳村水電站位于皖南長江支流青弋江的上游，是一座綜合性中型水利水電樞紐工程。其混凝土重力拱壩的壩頂高程為126.3 m，最大壩高為76.3 m，大壩典型斷面見圖2。同時，壩頂弧長419 m，自左向右共計28個壩段，編號3～30號(圖3)。工程于1958年啟動，1962年完成Ⅰ期斷面，1969年至1971年完成Ⅱ期斷面，1978年又加高壩頂1.3 m至現(xiàn)在的高程126.3 m。Ⅱ期混凝土在收縮變形過程中受到Ⅰ期混凝土的約束，使得Ⅰ期混凝土的頂部，即高程105 m附近產(chǎn)生裂縫，以下簡稱105裂縫。該裂縫從5號壩段一直延伸至28號壩段，經(jīng)探測裂縫深度達(dá)5 m以上，長達(dá)300多米，對壩體的整體性產(chǎn)生了影響。陳村大壩在105裂縫設(shè)有16只測縫計，用于及時監(jiān)測裂縫開度變化，分布在8號至6號壩塊。本文采用105裂縫位于18號壩段的某一選定測點的裂縫開度監(jiān)測數(shù)據(jù)時間序列作為建模對象，觀測時間為2004年11月20日至2013年7月18日，每3天觀測1次。

4.1 小容量樣本的單步預(yù)測模型

選取2007年7月2日至2007年11月26日18號壩段目標(biāo)測點的裂縫開度觀測數(shù)據(jù)時間序列，該序列僅有50個裂縫開度觀測值，樣本容量較小，難以建立有效的統(tǒng)計回歸模型。故采用基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)預(yù)測算法，實時預(yù)測2007年11月29日至2008年5月30日的壩頂位移值。

圖4 裂縫開度擬合與預(yù)測過程線Fig.4Fitting and prediction results of SCMOD

預(yù)測模型具體實施步驟為：(1) 采用基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)預(yù)測算法擬合2007年7月2日至2007年11月26日的裂縫開度值；(2) 采用基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)時間序列預(yù)測算法預(yù)測2007年11月29日的裂縫開度值；(3) 預(yù)測2007年12月2日裂縫開度值，由于此時已知2007年11月29日實測值，可按前述基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)預(yù)測算法的步驟2來調(diào)整相關(guān)參數(shù)，從而得到2007年12月2日的裂縫開度值；(4) 同理，可依次得到2007年12月5日至2008年5月30日的裂縫開度值。

Legendre單步預(yù)測模型的歸一化均方根誤差為0.048。同時，圖4為裂縫開度值的擬合與預(yù)測過程線。由圖4可知，采用基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)預(yù)測算法的實時預(yù)測模型對裂縫開度的擬合以及實時預(yù)測結(jié)果均取得了較高的精度，模型是有效的。

4.2 統(tǒng)計回歸-Legendre多項式殘差擬合模型

對于大容量樣本的裂縫開度觀測數(shù)據(jù)時間序列，這里先用統(tǒng)計回歸模型分離出水壓分量δH(t)、溫度分量δT(t)和時效分量δθ(t)等確定性分量，并得出殘差，再用Legendre多項式分析處理含混沌成分的殘差時間序列，以提高擬合和預(yù)測精度?；?8號壩段目標(biāo)測點2008年6月2日至2012年7月14日的裂縫開度監(jiān)測時間序列建立統(tǒng)計模型回歸方程?；貧w模型的具體建立如下：裂縫的產(chǎn)生和擴展與壩體應(yīng)力大小有關(guān)，而應(yīng)力大小與位移又有關(guān)系，所以水壓對裂縫開度的影響可以參考混凝土壩位移統(tǒng)計模型中的水壓分量因子，根據(jù)陳村重力拱壩的實際運行情況，其裂縫開度與水深H,H2,H3,H4有關(guān)；溫度分量主要是壩體混凝土和基巖溫度變化引起的伸縮縫的變化。陳村大壩已運行30余年，壩體已基本處于準(zhǔn)穩(wěn)定溫度場變化，因此壩體混凝土溫度變化可以用周期性函數(shù)等因子表示；由于裂縫受壩體混凝土徐變和縫端的塑性變形的影響，使裂縫的開合度產(chǎn)生不可逆變形，故需考慮時效的影響。其趨勢開始劇烈，逐漸趨于穩(wěn)定，所以，用線性和非線性兩項表示；同時，考慮初始測值的影響，得到陳村大壩裂縫開度的回歸方程如下：

(20)

式中：Hu,Hd分別為觀測日、始測日所對應(yīng)的上游和下游的水深值；ai為水壓因子的回歸系數(shù)；t為裂縫開度建模序列第1個觀測日到起始觀測日的累計天數(shù)；b1i,b2i為溫度因子回歸系數(shù)；θ為裂縫開度觀測日至始測日的累計天數(shù)除以100；θ0為裂縫開度系列第1個測值日到始測日的累計天數(shù)t0除以100；c1,c2為時效因子回歸系數(shù)；a0為常數(shù)項。

陳村混凝土重力拱壩的庫水位過程線見圖5。其中，2008年6月至2010年7月的庫水位整體呈逐步上升趨勢，2010年7月以后至2012年7月的庫水位整體略微下降；水庫氣溫過程線見圖6，氣溫總體呈年周期變化，溫度較低的月份為12月至次年1月，溫度較高的月份為6—8月。

圖5 庫水位過程線Fig.5Reservoir water level correlation line

圖6 水庫氣溫過程線Fig.6Reservoir temperature correlation line

逐步回歸模型各待定系數(shù)取值如表1所示，統(tǒng)計回歸模型的復(fù)相關(guān)系數(shù)R為0.974。同時，統(tǒng)計回歸預(yù)測模型歸一化均方根誤差為0.31，可知逐步回歸模型擬合效果較好。

表1 回歸分析成果Tab.1 Results of regression model

為了定量分析和評價各分量對裂縫的影響，用回歸模型分離計算水壓分量、溫度分量和時效分量，以分析水位、溫度和時效對裂縫的影響。篇幅所限，這里僅以目標(biāo)測點2010年的裂縫開度測值年變幅為例，實測值1.274 mm，擬合值1.184 mm，其各分量分離情況為水壓分量0.130 mm，溫度分量1.006 mm，時效分量0.048 mm。溫度分量、水壓分量和時效分量分別占裂縫開度年變幅的84.93%，10.97%和4.10%?？梢?，溫度變化是影響裂縫開度變化的最主要因素，其次為庫水位變化的影響，時效分量影響最小。裂縫開度年均值過程線與庫水位年均值過程線如圖7所示。由圖7可知，2008年至2010年庫水位年均值呈逐步上升趨勢，裂縫開度年均值則相應(yīng)逐步下降；2010年至2011年的庫水位年均值小幅下降，裂縫開度則出現(xiàn)增大趨勢；隨后，因2011年至2012年間庫水位年均值上升，裂縫開度又開始減小?？梢园l(fā)現(xiàn)，庫水位的變化趨勢與裂縫開度變化趨勢相反，原因是壩體在105 m高程以下有1∶0.1的倒懸，庫水位較低時，壩體尤其是壩頂及接近壩頂?shù)牟课幌蛏嫌蝺A斜，產(chǎn)生向上游的位移，導(dǎo)致裂縫開度增大，因此低水位工況對裂縫變形不利。

統(tǒng)計回歸模型的裂縫開度(SCMOD)擬合過程線如圖8所示。由圖8可知，該測點的測值整體呈年周期變化，裂縫開度主要受溫度變化影響，溫度較低時開度較大，溫度較高時開度較小，每年的裂縫開度最大值一般在溫度較低的1月份或12月份出現(xiàn)，最小值一般在溫度較高的6—8月份出現(xiàn)。且統(tǒng)計回歸模型整體上能夠反映測值波動規(guī)律，但極值區(qū)域的擬合精度仍有待提高。

圖7 裂縫開度年均值過程線與庫水位年均值過程線Fig.7 Correlation line of SCMOD annual average and reservoir water level annual average

圖8 裂縫開度的統(tǒng)計回歸模型擬合過程線Fig.8Fitting results of SCMOD by the MLR model

這里，利用統(tǒng)計回歸預(yù)測模型式(17)來預(yù)測2012年7月17日至2013年7月18日的裂縫開度值。再采用基于Legendre多項式的殘差時間序列預(yù)測算法修正殘差序列，得到了統(tǒng)計回歸-Legendre多項式組合模型的裂縫開度預(yù)測過程線，如圖9(a)所示。為了說明組合模型預(yù)測效果的改進(jìn)，在圖9(a)中另外繪制了采用統(tǒng)計回歸模型得到的裂縫開度預(yù)測過程線，以及裂縫開度實測過程線。可以發(fā)現(xiàn)，組合模型的預(yù)測精度改善明顯，特別是對于突變處和極值區(qū)域的預(yù)測。

圖9(b)給出了統(tǒng)計回歸模型和統(tǒng)計回歸-Legendre組合預(yù)測模型與實測裂縫開度之間的殘差過程線?？梢园l(fā)現(xiàn)，組合模型的殘差整體小于統(tǒng)計回歸模型的殘差，且突變處和極值區(qū)域的殘差波動更為平順，表現(xiàn)出良好的魯棒性。組合模型的歸一化均方根誤差為0.032，預(yù)測精度顯著提高。

(a) 裂縫開度預(yù)測

(b) 殘差過程線

圖9 MLR模型和MLR-Legendre組合模型的裂縫開度預(yù)測結(jié)果和殘差過程線

Fig.9Prediction ofSCMODand residuals by MLR model and MLR-Legendre model

5 結(jié) 語

混凝土壩裂縫開度監(jiān)測數(shù)據(jù)時間序列存在混沌成分。本文將基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)預(yù)測算法應(yīng)用于混凝土壩的裂縫開度監(jiān)測數(shù)據(jù)時間序列分析。針對統(tǒng)計回歸模型在小樣本建模時的不足以及預(yù)測模型未考慮殘差項的兩個問題進(jìn)行改進(jìn)。主要得出以下結(jié)論：

(1) 針對小樣本容量的觀測數(shù)據(jù)時間序列，提出了基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)預(yù)測算法的單步預(yù)測模型。解決了統(tǒng)計回歸模型無法對小樣本容量的觀測數(shù)據(jù)時間序列建立有效的統(tǒng)計回歸模型的問題。并結(jié)合陳村重力拱壩第18號壩段的105 m高程裂縫開度測值序列進(jìn)行了算例驗證，結(jié)果表明單步預(yù)測模型的預(yù)測效果良好。

(2) 提出了統(tǒng)計回歸-Legendre多項式組合模型。首先利用統(tǒng)計回歸模型分離出確定性分量(如水壓分量、溫度分量、時效分量等)，再采用基于Legendre多項式的RLS自適應(yīng)預(yù)測算法處理殘差時間序列。解決了單一統(tǒng)計回歸模型缺少對殘差序列的考慮而導(dǎo)致預(yù)測精度較差的問題。陳村重力拱壩第18號壩段的105 m高程裂縫開度預(yù)測分析表明，該組合模型顯著提高了擬合和預(yù)測精度。