張宏遠(yuǎn)， 袁惠群， 楊文軍， 趙天宇

(1.沈陽理工大學(xué)汽車與交通學(xué)院 沈陽，110159) (2.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院 沈陽，110819) (3.東北大學(xué)理學(xué)院 沈陽，110819)

引 言

航空發(fā)動機壓氣機諧調(diào)葉盤具有頻率轉(zhuǎn)向現(xiàn)象[1-2]，而加工誤差、工作過程中的磨損和抑制顫振等原因會導(dǎo)致各葉片的固有頻率的差異，即失諧。失諧會造成嚴(yán)重的局部化[3]。

國內(nèi)外研究人員對于失諧葉盤系統(tǒng)頻率轉(zhuǎn)向特性開展了大量研究。文獻(xiàn)[4-5] 對葉盤頻率與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[6-9] 研究了葉盤頻率轉(zhuǎn)向與失諧之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[10-13]對葉片頻率轉(zhuǎn)向與振型轉(zhuǎn)換特性進(jìn)行了研究。王南飛等[14]的研究表明旋轉(zhuǎn)葉片必須考慮預(yù)應(yīng)力影響。上述研究沒有考慮在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域葉片對葉盤系統(tǒng)振動局部化的貢獻(xiàn)度。

筆者采用子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法，考慮了預(yù)應(yīng)力效應(yīng)對葉盤系統(tǒng)有限元縮減模型的影響，分析諧調(diào)葉盤系統(tǒng)的頻率轉(zhuǎn)向特性和應(yīng)變能分布，提出貢獻(xiàn)度因子來衡量葉片和輪盤對失諧葉盤系統(tǒng)局部化的影響，通過計算不同轉(zhuǎn)向間隙對應(yīng)的貢獻(xiàn)度因子，分析葉片對失諧葉盤系統(tǒng)振動局部化的貢獻(xiàn)度。

1 葉盤系統(tǒng)建模

航空發(fā)動機葉盤系統(tǒng)如采用整體模型將花費大量計算時間，若再考慮榫頭與榫槽的非線性接觸會使分析極為困難。由于失諧不能采用循環(huán)對稱模型，因此采用子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法[15-17]，共劃分38個子結(jié)構(gòu)，葉片網(wǎng)格采用solid45單元, 輪盤網(wǎng)格采用solid187單元，每個子結(jié)構(gòu)共有52 163個單元和79174個節(jié)點。葉片的密度為4 400 kg/m3，彈性模量為113 GPa，泊松比為0.3；輪盤的密度為4 700 kg/m3，彈性模量為150 GPa，泊松比為0.3。壓氣機葉盤系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)縮減模型如圖1所示。

圖1 葉盤系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)縮減模型Fig.1 Finite element model of a bladed disk

第i個葉盤子結(jié)構(gòu)的強迫振動方程可表達(dá)為

(1)

其中:Mi，Ki，qi,Fi分別為第i個子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、位移和子結(jié)構(gòu)的作用力矩陣。

航空發(fā)動機等旋轉(zhuǎn)機械旋轉(zhuǎn)部件是否考慮離心力的影響對計算結(jié)果有較大的影響，因此，考慮預(yù)應(yīng)力的方程為

(2)

(3)

令子結(jié)構(gòu)界面固定，可得

(4)

由式(4)求得正則化模態(tài)φ1, 即

φ1=[φlφh]

其中：φl和φh分別為低階和高階模態(tài)。

φ1滿足以下條件

其中：E為單位矩陣。

由于在分析葉盤系統(tǒng)的振動模態(tài)時主要關(guān)注低階模態(tài)，所以選取低階的模態(tài)φl構(gòu)成主模態(tài)φm，即

φm=φl

(7)

當(dāng)忽略慣性項并只考慮界面自由度的作用力，由方程(3)得：

(8)

令 {qm}=E,{qs}=φJ(rèn)

約束模態(tài)

(9)

第i個子結(jié)構(gòu)的Ritz基向量為

(10)

坐標(biāo)變換方程為

(11)

其中：p為子結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)；φi為坐標(biāo)變換矩陣[15]。

用式(11)將式(2)轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)系

(12)

采用文獻(xiàn)[18]的方法縮減自由度，令

(13)

(14)

(15)

其中：pa為ps縮減后的模態(tài)坐標(biāo)。

式(12)可以轉(zhuǎn)換為

P=βX

(16)

葉盤系統(tǒng)自由度進(jìn)行縮減后的強迫振動方程為

(17)

表1列出了葉片在不同模態(tài)截斷數(shù)下的部分無量綱動頻。通過對比可知，模態(tài)截斷數(shù)的取值顯著影響計算精度，當(dāng)模態(tài)截斷數(shù)Tn<20時，精度較差；當(dāng)模態(tài)截斷數(shù)Tn≥20時，精度較好，模態(tài)截斷數(shù)的增加對精度影響較小。

2 諧調(diào)葉盤系統(tǒng)模態(tài)振型轉(zhuǎn)換特性

2.1 諧調(diào)葉盤系統(tǒng)的頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域

通過對葉盤系統(tǒng)模態(tài)分析，將獲得的頻率除以某一頻率值進(jìn)行無量綱化，將無量綱固有頻率按照節(jié)徑排列，可以大致分成4個模態(tài)族，如圖2所示。圖中的模態(tài)族Ⅱ和模態(tài)族Ⅲ的0～6節(jié)徑構(gòu)成了諧調(diào)葉盤系統(tǒng)的頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域。圖中所涉及的頻率和應(yīng)變能等都除以某一頻率值無量綱化。

由圖2可知模態(tài)族Ⅰ的頻率都集中在1.0附近，由圖3可知模態(tài)族Ⅰ的大部分應(yīng)變能在葉片上，節(jié)徑的變化對葉盤的頻率基本沒有影響，在該模態(tài)族為葉片模態(tài)；由圖2和圖3可知,在模態(tài)族Ⅱ的0～6節(jié)徑葉盤的振動能量大部分在輪盤上，節(jié)徑的變化對葉盤的振動影響顯著，模態(tài)族Ⅱ為輪盤模態(tài)；同理可知，模態(tài)族Ⅲ的0～6節(jié)徑為葉片模態(tài)。

表1 不同模態(tài)截斷數(shù)下葉片無量綱動頻

圖2 諧調(diào)葉盤系統(tǒng)頻率轉(zhuǎn)向特性Fig.2 The frequency steering characteristics of the tuned bladed disk system

圖4為模態(tài)族Ⅱ在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域的振動特性，選擇節(jié)徑數(shù)為1～7和激勵階次為1～6時葉盤系統(tǒng)應(yīng)變能分布。從圖4可知:在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域(0～6節(jié)徑)，應(yīng)變能隨著節(jié)徑數(shù)的增大而增大，在節(jié)徑數(shù)為6時達(dá)到最大，當(dāng)超過頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域，即節(jié)徑數(shù)為7時，葉盤系統(tǒng)的應(yīng)變能大幅度降低；在同一節(jié)徑數(shù)下，當(dāng)節(jié)徑數(shù)與激勵階次相同時葉盤系統(tǒng)的應(yīng)變能最大，比如圖中當(dāng)節(jié)徑為3、激勵階次為3時的應(yīng)變能，這一結(jié)論符合三重點原理[19]；當(dāng)激勵階次和節(jié)徑數(shù)同為6時諧調(diào)葉盤系統(tǒng)的應(yīng)變能最大。

圖3 各模態(tài)族葉片應(yīng)變能Fig.3 Strain energy of modal families

圖4 模態(tài)族Ⅱ在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域應(yīng)變能分布Fig.4 Strain energy of modal family Ⅱ in the region of frequency veering

2.2 頻率轉(zhuǎn)向間隙

在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域，節(jié)徑數(shù)的變化顯著影響葉盤系統(tǒng)模態(tài)振動局部化。為了分析相鄰模態(tài)族葉片應(yīng)變能對葉盤系統(tǒng)振動的貢獻(xiàn)度，引入了頻率轉(zhuǎn)向間隙[10]，相對頻率間隙d計算公式為

(18)

其中：f1，f2和p分別為模態(tài)族Ⅰ的無量綱頻率、模態(tài)族Ⅱ的無量綱頻率及對應(yīng)的節(jié)徑；f1min和f2max分別為模態(tài)族Ⅰ最小無量綱頻率和模態(tài)族Ⅱ的最大無量綱頻率。

采用式(18)以模態(tài)族Ⅱ和模態(tài)族Ⅲ為例，計算了相鄰兩個模態(tài)族在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域的頻率轉(zhuǎn)向間隙，計算結(jié)果如表2所示。

表2 模態(tài)族Ⅱ和模態(tài)族Ⅲ頻率轉(zhuǎn)向間隙

Tab.2 The frequency veering distance of modal family Ⅱ and Ⅲ

節(jié)徑模態(tài)族Ⅱ無量綱頻率模態(tài)族Ⅲ無量綱頻率無量綱頻率轉(zhuǎn)向間隙01.2782.7360.82411.7762.7080.52522.0422.7330.33832.2192.7360.23342.4142.7500.13952.5442.7710.08962.6242.8100.07172.6632.8650.07682.6802.9180.08992.6892.9600.101102.6932.9890.110112.6963.0090.116122.6973.0230.121132.6983.0320.124142.6993.0380.126152.6993.0420.127162.6993.0440.128172.7003.0460.128182.7003.0470.129192.7003.0470.129

由表2可知，隨著節(jié)徑數(shù)的增加，頻率轉(zhuǎn)向間隙呈現(xiàn)先減小再增加的趨勢。頻率轉(zhuǎn)向間隙在6節(jié)徑時達(dá)到最小，最小值為0.071，在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域(0～6節(jié)徑)頻率轉(zhuǎn)向間隙數(shù)值變化非常明顯，在遠(yuǎn)離頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域(9～19節(jié)徑)，頻率轉(zhuǎn)向間隙基本保持不變。

3 葉片對失諧葉盤系統(tǒng)振動局部化貢獻(xiàn)度

3.1 貢獻(xiàn)度因子

從諧調(diào)葉盤系統(tǒng)模態(tài)振型轉(zhuǎn)換特性可知，在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域，葉盤系統(tǒng)的振幅和應(yīng)變能隨著節(jié)徑數(shù)的變化呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，為了評價在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域葉片和輪盤對失諧葉盤系統(tǒng)振動局部化的影響，從模態(tài)應(yīng)變能角度定義了式(19)的貢獻(xiàn)度因子。

葉片貢獻(xiàn)度因子

(19)

其中：Cb為葉片貢獻(xiàn)度因子；Eb i為第i個扇區(qū)葉片應(yīng)變能；Ed i為第i個扇區(qū)輪盤應(yīng)變能。

3.2 失諧葉盤系統(tǒng)模態(tài)振動局部化貢獻(xiàn)度

葉片剛度失諧后會使葉盤系統(tǒng)模態(tài)振型出現(xiàn)較大改變，各葉片的振動能量也不同，當(dāng)較大的振動能量集中在幾個葉片上時就會導(dǎo)致模態(tài)振動局部化現(xiàn)象。為了定量描述葉盤系統(tǒng)振動局部化程度，引入了文獻(xiàn)[10]定義的局部化因子，該局部化因子的定義如式(20)所示。由于文中葉片剛度失諧模擬采用葉片彈性模量失諧來實現(xiàn)，三種失諧模式是通過實驗測得的三組葉片靜頻，然后采用二分法和有限元分析來識別失諧參數(shù)，通過反復(fù)迭代計算，最終獲得與實驗測得的葉片靜頻對應(yīng)的彈性模量值。通過計算三種失諧模式下葉盤系統(tǒng)在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域的局部化因子，獲得如圖5所示的局部化因子隨激勵頻率的變化情況。

(20)

從圖5可知，隨著激勵頻率的增大，葉盤系統(tǒng)的局部化因子開始變化較小，然后逐漸增大。當(dāng)激勵頻率為2.6時，模態(tài)族Ⅱ和模態(tài)族Ⅲ的頻率轉(zhuǎn)向間隙為最小，失諧葉盤系統(tǒng)振動局部化顯著，導(dǎo)致在該處振動局部化因子急劇增加。

圖5 激勵頻率對失諧葉盤系統(tǒng)模態(tài)振動局部化影響Fig.5 Effect of excitation frequency on the mode vibration localization of the mistuned bladed disk system

3.3 失諧葉盤系統(tǒng)受迫振動響應(yīng)局部化貢獻(xiàn)度

在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域，對失諧葉盤系統(tǒng)進(jìn)行受迫振動分析，計算三種失諧模式下頻率轉(zhuǎn)向間隙對應(yīng)模態(tài)族Ⅱ的葉片貢獻(xiàn)度因子和局部化因子，頻率轉(zhuǎn)向間隙(無量綱)對失諧葉盤系統(tǒng)振動受迫響應(yīng)貢獻(xiàn)度如圖6所示。

圖6 頻率轉(zhuǎn)向間隙對失諧葉盤系統(tǒng)振動響應(yīng)貢獻(xiàn)度影響Fig.6 Effect of frequency veering distance on the contribution degree of forced vibration response

從圖6可知，隨著頻率轉(zhuǎn)向間隙的增大，葉片貢獻(xiàn)度因子逐漸減小，在最小頻率轉(zhuǎn)向間隙處三種失諧模式的葉片貢獻(xiàn)度因子最小，其中失諧模式2的葉片貢獻(xiàn)度因子最小。圖7分析了葉片貢獻(xiàn)度因子與葉盤系統(tǒng)局部化因子的關(guān)系，從圖上可知，隨著葉片貢獻(xiàn)度因子的增大，局部化因子增大，葉盤系統(tǒng)局部化程度逐漸增加。

圖7 葉片貢獻(xiàn)度對失諧葉盤系統(tǒng)振動響應(yīng)局部化影響Fig.7 Effect of the contribution degree on the localization of forced vibration response

4 結(jié)束語

基于航空發(fā)動機壓氣機葉盤系統(tǒng)建立了有限元模型，進(jìn)行了模態(tài)分析和受迫振動響應(yīng)分析，通過計算頻率轉(zhuǎn)向間隙、貢獻(xiàn)度因子和局部化因子，從應(yīng)變能角度研究了在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域諧調(diào)和失諧葉盤系統(tǒng)振動特性；分析了諧調(diào)葉盤系統(tǒng)模態(tài)振型轉(zhuǎn)換特性，找到了頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域，在模態(tài)族Ⅱ和模態(tài)族Ⅲ發(fā)生了頻率轉(zhuǎn)向現(xiàn)象；在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域葉盤系統(tǒng)的應(yīng)變能隨節(jié)徑和激勵階次的變化而變化，在激勵階次6和節(jié)徑數(shù)為6時應(yīng)變能最大；定義了貢獻(xiàn)度因子，通過計算貢獻(xiàn)度因子分析了失諧葉盤系統(tǒng)模態(tài)振動局部化貢獻(xiàn)度；通過計算局部化因子，分析了失諧葉盤系統(tǒng)受迫振動響應(yīng)，在頻率轉(zhuǎn)向區(qū)域葉片貢獻(xiàn)度因子和局部化因子呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。