□陳六一

“自由的、頓悟的、靈動的、自然的”這幾組詞匯所闡釋的感覺和體驗，構成了“詩意數學”教學的核心特征。[1]也就是說詩意的數學課堂，追求學生身體與精神同時在場的意境，追求教的強迫性與學的自由性的平衡。課堂教學中教師通過一邊駐足于發(fā)展點，一邊又在生長點處抽身，將學生腦的拓展與心的豐盈同步，于是數學學習從表層理解逐步深入到深刻理解，學習數學從工具性的“器”逐步協(xié)調到哲學性的“道”。

一、駐足，一笑顏微破

（一）雪中送炭——駐足失衡

【教學案例1】三角形的三邊關系

學生在用兩根磁條剪其中的一根拼三角形的活動中，出現了幾種情況：（1）學生把短的磁條剪成更短的兩小段，發(fā)現與較長的磁條無法圍成三角形。（2）學生把較長的磁條剪成兩小段，發(fā)現能與原來較短的磁條圍成三角形。（3）兩根一樣長的磁條，學生將其中一根剪成兩小段，有的能圍出三角形，有的卻圍不出三角形。

學生在操作中明確認識到“兩邊之和小于第三邊，是圍不出三角形的；當兩邊之和大于第三邊，可以圍出三角形”。于此，教師可以直接告知結論了：“確實，三角形的兩邊之和大于第三邊。”至于在上述案例中出現的“兩邊之和等于第三邊，有時也能圍出三角形”，教師可以解釋是因為磁條的厚度帶來的誤差。

不過，學生親眼所見與邏輯思考出現了沖突，如果僅僅通過教師居高臨下的告訴的方式，學生始終會疑惑重重。這就需要教師及時駐足——

課堂中，筆者便會用幾何畫板，先出示兩根一樣長的磁條，再將上面一根隨意分成兩段，動畫演示這兩小段磁條努力靠近的過程，如下圖：

及時駐足，讓學生明白了，原來所謂的“能圍成三角形”，其實還是沒有圍成，只是磁條的粗細帶來了視覺誤會。同時，動畫推演催生了學生的想象，原來當兩邊之和等于第三邊時，“磁條要么撐不開，要么撐開了搭不上”。學生自己用形象化的數學語言，平衡了最初的失衡。

但是，學習如果僅僅滿足于眼見為實，思維的力度就缺乏彈性，為此，教學中，教師會繼續(xù)駐足于“兩邊之和大于第三邊”——

教師提出問題：一根線段長3 厘米，另一根線段長8厘米，還需要一根幾厘米的線段才能圍成一個三角形？當學生回答：大于5 厘米的線段都行，但5 厘米不行，因為5+3=8。教師繼續(xù)追問：11 厘米行嗎？學生一旦接口：11+3＞8，可以的，就意味著學生的思維陷入了“負遷移”的泥潭，教師需要及時出示以下圖式：

“兩邊之和大于第三邊”，其實有三組關系，即a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a。盡管學生已經理解了“三角形的兩邊之和大于第三邊”這句話，但是思維并不深刻，未能縝密考慮任何一條邊都可以看作第三邊。學生只有認識到了教師的問題中當第三邊為5 厘米和11 厘米時，這三個點又在同一條直線上，才算把靜態(tài)的概念語言活化成了理性表達。學生體悟到“兩邊之和大于第三邊”，等同于“兩邊之差小于第三邊”，認知的不足在重新順應到原有的數學圖譜上而得以完善。

（二）錦上添花——駐足系統(tǒng)

【教學案例2】加法交換律

學生通過解決實際問題，觀察三個以上算式，發(fā)現“交換兩個加數的位置，和不變”。于是按照這個樣式，還可以寫出很多算式，包括一些特殊的例子，于是學生認為發(fā)現的規(guī)律成立，加之舉不出反例，因此證明存在加法交換律。

舉不出反例，并不能說明規(guī)律一定成立。有學生會說：“舉不出反例，有可能是我們現在實力不夠?！鄙醵袀€別學生在大家都舉不出反例之時，用盡課堂剩下的時間去不斷地挑戰(zhàn)反例，而不理會教師接下來的課堂教學。

于是順勢駐足“用自己的方式說明交換兩個加數的位置，和不變”，學生不但能溝通加法的意義與計算法則的同一性，而且深切領會了特殊與一般的辯證關系。學生在你來我往的對話思辨中，理解了加法的交換律是一個系統(tǒng)工程。下面的課堂實錄，正好可作為保羅·拉克哈特的注釋：“對于我們想象的創(chuàng)造物提出簡單而直接的問題，然后制作出各自令人滿意而又美麗的解釋。沒有其他事物能達到如此純粹的概念世界，令人著迷、充滿趣味?！盵2]

生1：3+4指在3后面繼續(xù)數4個，4+3指在4后面繼續(xù)數3 個，“3 后面繼續(xù)數4 個”與“4 后面繼續(xù)數3個”一一對應，所以3+4=4+3。

生2：我的左手有3 個氣球，右手有4 個氣球，左手的3 個加右手的4 個等于一共的氣球數；我右手的4個加左手的3個等于一共的氣球數。所以說3+4=4+3，因為這兩個加法算式表示的都是我手上一共的氣球數。

生3：我上衣左邊口袋里裝了3粒糖果，右邊口袋里裝了4 粒糖果，脫下衣服反穿，左邊口袋里變成了4粒糖果，右邊口袋里變成了3粒糖果，3+4和4+3都表示我口袋里的糖果數量，所以說交換兩個加數的位置，和不變。

生4：3補上1，4去掉1，這樣3+4就相當于交換了位置，變成了4+3，而且由于同時加1和減1，大小不變。

生5：畫如下線段圖，交換長短線段，即交換兩個加數的位置。交換之后，比較總長度，總長不變，便說明交換兩個加數的位置，和不變。

學生喜歡探究原委，學習數學是探求真相的最好方式。所以，駐足于學生的好奇點，將知識前后關聯，將思想方法與基本技能對接，便開拓了智力與情趣的最大疆域。的確，“學習的過程是一段從觀念走向理解再走向建構，并繼續(xù)往前走的旅程?！盵3]生5 的線段圖不但揭示出了數畫成圖后，更加直觀、易于理解，而且一樣可以解釋前面4 位同學的表述，并超越算式3+4=4+3，達到一般性概括：a+b=b+a。

二、抽身，百尺竿頭立

（一）獨上高樓——自覺

【教學案例3】水龍頭放水問題

“放滿一浴缸水，甲水龍頭單獨放需要30分鐘放滿，乙水龍頭單獨放需要60 分鐘放滿。兩個水龍頭同時放水，需要多少分鐘放滿？”這種工程問題至少要到六年級才學習，一般的解法是（分鐘）。而二年級的學生一樣可以在解構中創(chuàng)造屬于自己的數學理解。

自阿爾法戰(zhàn)勝柯潔后，機器人小冰也出版了第一本詩集，顯然未來已來。如果我們小學數學課堂僅僅局限于數學知識的傳承，解題技能技巧的訓練，而不發(fā)展學生的思維，無疑，學生的“腦”遲早會被機器人所取代。重新檢視布魯納的教導：任何知識都可以用適當的方式教給任何階段的兒童。[4]我們在教學中要放棄所謂的支架，可以直接以挑戰(zhàn)性的“思”驅動學生傾其所能，以當下的簡單收獲今后的復雜。

二年級的學生告訴我：可以畫一排相連通的浴缸，同時打開甲、乙兩個水龍頭放60 分鐘水，由于“甲水龍頭單獨放需要30 分鐘放滿”，那么60 分鐘可以放滿2個浴缸。加上“乙水龍頭60分鐘放滿1個浴缸”，這樣，60 分鐘里，甲、乙兩個水龍頭同時打開，就放滿了2+1=3個浴缸。自然，同時打開甲、乙兩個水龍頭，放滿1 個浴缸只需要20 分鐘，因為20+20+20就等于60。

如果我們和二年級的學生講工作量、工作效率，無異于拔苗助長，所以教師要抽身退到教的后面，不用工程問題的模型去套路解決問題，而是讓學生用自己的方式思索題目間的數量關系。這樣的思考就成了“詩”——自然，靈性，無拘無束，卻又擁有足夠的想象力。

（二）無言憑欄意——自許

【教學案例4】金字塔上的數字

埃及古金字塔前的一塊墓碑上，有一個用象形文字雕刻的數字。這個數字，增添了金字塔的神秘色彩，更引發(fā)了數學界的大探討，這個數字便是：2520。瑞士鐘表匠布克曾大膽推斷：“金字塔這么浩大的工程，被建造得那么精細，各個環(huán)節(jié)被銜接得那么天衣無縫，建造者必定是一批懷有虔誠之心的自由人?！庇谑牵n堂里學生討論著自由人寫下的2520 的謎底，有的說：這是埃及人告誡我們，人類的世界末日是2520 年。有的說：2520，即愛我愛你，是古代中國文明與埃及文明的交融。有的說：可能表示墓主人的生辰。

這樣的課堂，要么很容易上成非數學課，要么教師用一己之力告知學生2520的由來。但學生終究是淺嘗輒止，不能感受數字的魅力。所以筆者提醒學生用數學的眼光去解讀這個數字之后，任憑學生信馬由韁地進行數學冒險。因為一旦用數學的眼光聚焦，邏輯推理、數學運算就是必然的解釋工具，也只有學生面對陌生問題，立即想到運用邏輯推理、數學運算、數學建模、數據分析等關鍵能力去破解生活密碼，我們才可以說學生擁有了一定的數學素養(yǎng)。

當學生把2520 分解質因數，我們就頓悟了思維的力量，2520=2×2×2×3×3×5×7，看2520 的因數有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10……并且2520是這前十個因數的最小公倍數。原來，古埃及人在茶余飯后，進行著智力游戲，探討著數學最本質的元素：質數。由此也確實可見布克的推斷是正確的，這是一批有著自由思想的人，這是一批有著詩人氣質的建設者。

學生解碼了2520，是用自己的才智發(fā)現的而不是教師告訴的，自然欽佩古埃及人的智慧，更感受到數學的驚艷。數學在這里，已經超越了計算，而成了智力空間的碼尺。

（三）尋他千百度——自在

【教學案例5】交換律

在案例2的教學中，學生用自己的邏輯確信了加法存在著交換律，但是除了加法，還有減法、乘法、除法，學生應能運用所學，遷移解決其他運算中是否存在著交換律。

根據教材的編排順序，一般地在教學加法交換律之后，會接著教學加法結合律，之后會再用一課時研究乘法交換律。至于減法、除法是否存在交換律，教材是不作探究的。但是，學生通過所學，不但明白了加法存在著交換律，還會運用一定的策略、方法證明其為什么存在。這時不如推波助瀾，讓學生自問自答：減法有交換律嗎？乘法、除法呢？理由呢？

學生發(fā)現，盡管舉例不能說明加法、乘法一定存在著交換律，但是只要舉出一個反例，例如4-3不等于3-4，6÷3不等于3÷6，就足以說明減法、除法沒有交換律。

學生進一步說理，如加法，舉例只能提出猜想，無法證明，那么就需要數形結合。如右圖，橫著數▼是3 個4，豎著數▼是4 個3，但總數不變；改變數字，道理一樣，概括起來就是a×b=b×a。

這時，教師再一次抽身，讓學生回憶課堂里解決了一些什么問題，是如何推理的，把它們關聯起來，于是就有了下圖。這樣，學生從單純的加法，結構化到了整個四則運算，并且能從異同兩個方面去分析。在心理學上，這個過程稱之為“壓縮”：圍繞一個概念一步一步地研究了很長時間，采取了多種途徑，而你一旦真正理解了它，那就會在認知上產生巨大的壓縮。這時候，你就可以把它放在一邊，并在需要的時候很容易聯想起它，使它成為其他認知過程中簡單的一步。這種由壓縮而產生的洞察力，正是學習數學的樂趣之一。

綜上五個案例分析，在數學課堂里的每一次駐足都是為了抽身。教師抽身于數學概念的摸索之外，學生便可以開拓自己的數學疆土，正是用思維去領悟數學之魅，學生也就從生物頭腦發(fā)展到數學頭腦。再之，抽身是為了更好的駐足，幫助學生駐足于思維的困頓，駐足于經驗與理性的沖突，學生感受著數學的美，不僅是外在的形式，更源于思想的深刻。這樣，學生在課堂上或明或暗地親歷著：“這就是數學——想知道、游戲、用自己的想象力來娛樂自己?！盵5]而這，也正是詩意數學課堂的內涵。