汪 凱，張貴倉(cāng)，王 敏

?

帶兩個(gè)參數(shù)的非均勻三次三角B樣條曲線

汪 凱，張貴倉(cāng)，王 敏

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

為了使構(gòu)造的三次三角非均勻B-樣條曲線在具備形狀可調(diào)性、高階連續(xù)性、精確表示橢圓等性質(zhì)的同時(shí)還具有變差縮減性，構(gòu)造了一類具有全正性的帶2個(gè)參數(shù)的非均勻三次三角B-樣條基函數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行曲線構(gòu)造。首先假設(shè)待構(gòu)造的非均勻三次三角B-樣條基在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處具有2連續(xù)且具有單位性，進(jìn)而確定基函數(shù)的表達(dá)式；然后給出了基函數(shù)具有全正性等重要性質(zhì)；最后給出了非均勻三次三角B-樣條曲線的定義，并證明了其具有變差縮減性等重要性質(zhì)，還證明了曲線在取特殊參數(shù)值時(shí)具有(2n–1)階連續(xù)。實(shí)例表明，本文構(gòu)造的曲線有效解決了傳統(tǒng)方法存在的問題，適合于幾何設(shè)計(jì)。

非均勻B-樣條；高階連續(xù)性；全正性；參數(shù)；變差縮減性

經(jīng)典B-樣條方法是在保留Bézier方法優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，克服了其由于整體表示帶來不具有局部性質(zhì)的缺點(diǎn)以及解決在描述復(fù)雜形狀時(shí)帶來的連接問題下提出的。一直以來，B-樣條方法都是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(computer aided geometric design，CAGD)的主流方法，但B-樣條方法存在控制頂點(diǎn)確定的情況下，曲線較為固定的不足，雖然曲線曲面的非均勻有理B-樣條(non-uniform rational B-spline，NURBS)解決了該問題，但是其權(quán)因子的問題至今無法解決。為此，針對(duì)該類問題，不少學(xué)者提出了帶形狀參數(shù)的擬B-樣條曲線[1-14]，使其在保留傳統(tǒng)B-樣條方法基本性質(zhì)的同時(shí)，且具有一定的形狀可調(diào)性。

目前，關(guān)于經(jīng)典B-樣條方法的改進(jìn)有很多，且以均勻B-樣條為主，但該類方法并未能在幾何造型設(shè)計(jì)中得到廣泛的應(yīng)用，其主要存在3點(diǎn)不足：①在多項(xiàng)式空間框架下構(gòu)造的曲線不能精確表示圓錐曲線；②只保留了經(jīng)典B-樣條方法的一些基本性質(zhì)，如幾何不變性、凸包性、仿射不變性等，像變差縮減性、保凸性等重要性質(zhì)往往被忽略；③此類方法大都可以達(dá)到2連續(xù)，且已經(jīng)滿足了大部分的幾何工業(yè)設(shè)計(jì)的需要，但對(duì)于部分高階連續(xù)的幾何設(shè)計(jì)，這些方法就很難達(dá)到其要求了。而改進(jìn)方法大都只解決了其中1個(gè)或者2個(gè)問題，未能進(jìn)行全面考慮。

1 基的定義與性質(zhì)

1.1 基礎(chǔ)知識(shí)

1.2 非均勻三次三角B-樣條基的構(gòu)造

對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)，稱CT-B樣條基B()為均勻CT-B樣條基，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)矢量稱為等距節(jié)點(diǎn)矢量。對(duì)于非均勻節(jié)點(diǎn)，稱CT-B樣條基B()為非均勻CT-B樣條基，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)矢量稱為非等距節(jié)點(diǎn)矢量。圖1給出了均勻CT-B樣條基在不同形狀參數(shù)下的圖像。

圖1 均勻CT-B樣條基

由圖1計(jì)算可得到如下引理。

(1)a+b0+i0=1；

(2)b1+c1=1；

(3)b2+c2=1；

(4)b3+c3+d=1；

(5)b=c+1,0；

(6)b+2,0=c+1,3；

(7)b+2,3=c+3；

1.3 非均勻CT-B樣條基的性質(zhì)

證畢。

其中，

顯然，基函數(shù)(1)的一階導(dǎo)數(shù)滿足式(3)的形式；

再直接對(duì)式(4)進(jìn)行二次求導(dǎo)，整理可得

2 非均勻三次三角B樣條曲線

2.1 曲線的定義與性質(zhì)

和

則

證明：由定理6和定理7有

2.2 局部調(diào)整性質(zhì)

圖2 CT-B樣條曲線

2.3 橢圓的精確表示

其中，，CT-B樣條曲線可精確表示一個(gè)完整的橢圓；當(dāng)時(shí)，CT-B樣條曲線可精確表示1個(gè)整圓(圖3)。

3 結(jié)束語

[1] 張貴倉(cāng), 耿紫星. 三次均勻B樣條曲線的α擴(kuò)展[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 19(7): 884-887.

[2] 韓旭里, 劉圣軍. 三次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 15(5): 576-578.

[3] 王文濤, 汪國(guó)昭. 帶形狀參數(shù)的均勻B樣條[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 16(6): 783-788.

[4] 吳曉勤, 韓旭里. 帶形狀參數(shù)的二次三角Bézier曲線[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 29(1): 82-87.

[5] 師利紅, 張貴倉(cāng). 三次TC-Bézier曲線的新擴(kuò)展[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2011, 47(4): 201-204.

[6] LYU Y G, WANG G Z, YANG X N. Uniform hyperbolic polynomial B-spline curves [J]. Computer Aided Geometric Design, 2002, 19(6): 379-393.

[7] LIU X M, XU W X, GUAN Y. Hyperbolic polynomial uniform B-spline curves and surfaces with shape parameter [J]. Graphical Models, 2010, 72(1): 1-6.

[8] 鄔弘毅, 左華. 多形狀參數(shù)的二次非均勻雙曲B-樣條曲線[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 19(7): 876-883.

[9] 李軍成, 宋來忠, 劉成志. 集多種特性的三次三角偽B樣條[J]. 中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào), 2016, 21(4): 425-433.

[10] 嚴(yán)蘭蘭, 韓旭里. 高階連續(xù)的形狀可調(diào)三角多項(xiàng)式曲線曲面[J]. 中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào), 2015, 20(3): 427-436.

[11] 邢燕, 樊文, 檀結(jié)慶, 等. 一類C2連續(xù)的單位四元數(shù)插值樣條曲線[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2017, 29(1): 45-51.

[13] 李軍成, 嚴(yán)蘭蘭, 劉成志. 形狀可調(diào)的5次組合樣條及其參數(shù)選擇[J]. 中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào), 2017, 22(2): 197-204.

[14] 嚴(yán)蘭蘭, 韓旭里. 三次均勻B樣條曲線的保形擴(kuò)展[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究, 2017, 34(1): 295-301.

[15] 朱遠(yuǎn)鵬. 基函數(shù)中帶形狀參數(shù)的幾何造型理論與方法研究[D]. 長(zhǎng)沙: 中南大學(xué), 2014.

[16] HAN X L, ZHU Y P. Total positivity of the cubic trigonometric Bézier basis [J]. Journal of Applied Mathematics, 2014(3): 1-5.

[17] CARNICER J M, PENA J M. Total positive bases for shape preserving curve design and optimality of B-splines [J]. Computer Aided Geometric Design, 1994, 11(6): 635-656.

Non-Uniform Cubic Trigonometric B-Spline Curve with Two Shape Parameters

WANG Kai, ZHANG Gui-cang, WANG Min

(School of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu 730070, China)

To make the extended cubic trigonometric non-uniform B-spline curves possess not only shape adjustability, high order continuity, and exact representation of ellipse, but also variation diminishing, a class of non-uniform cubic trigonometric B-spline basis functions based on totally positivity is constructed. Firstly, we assume that the non-uniform cubic trigonometric B-spline basis functions to be constructed have2continuity and partition of unity at each knot, and accordingly the expressions of the basis functions are determined. Then it is proved that the basis functions have total positivity and other important properties. The definition of non-uniform cubic trigonometric B-spline curves are given, and its important properties such as variation diminishing are proved. It is also proved that the curve has(2n–1)order continuity when taking special parameter values. The example shows that the curve constructed in this paper effectively solves the problems existing in the traditional method and is suitable for geometric design.

non-uniform B-spline; high order continuity; totally positivity; parameter; variation diminishing

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2019020395

A

2095-302X(2019)02-0395-08

2018-08-22；

2018-12-18

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61861040)；甘肅省科技資助項(xiàng)目(17YF1FA119)；蘭州市科技計(jì)劃項(xiàng)目(2018-4-35)

汪 凱(1993-)，男，安徽六安人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)。E-mail：616688448@qq.com