王博豪 張 勇 徐偉程 郭 錦

(1.南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016；2.南京航空航天大學(xué)無(wú)人機(jī)研究院，南京 210016；3.中小型無(wú)人機(jī)先進(jìn)技術(shù)工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016)

1 引 言

當(dāng)下無(wú)人機(jī)發(fā)展勢(shì)頭迅猛，無(wú)人機(jī)按照飛行平臺(tái)機(jī)構(gòu)可分為固定翼無(wú)人機(jī)、旋翼無(wú)人機(jī)、無(wú)人飛艇、傘翼無(wú)人機(jī)、撲翼無(wú)人機(jī)等[1]。其中近年來(lái)固定翼無(wú)人機(jī)和旋翼無(wú)人機(jī)因飛行特性好、穩(wěn)定性高發(fā)展尤為迅速。多旋翼無(wú)人機(jī)前飛速度較慢，而且由于現(xiàn)有電池容量有限，航程和航時(shí)受到限制。固定翼無(wú)人機(jī)擁有較快的前飛速度，固定翼無(wú)人機(jī)航時(shí)和航程是多旋翼無(wú)人機(jī)的二到三倍，但是起飛和降落一般采用滑跑起飛的方式，在應(yīng)用時(shí)往往會(huì)受到場(chǎng)地的影響而無(wú)法使用。

為解決固定翼無(wú)人機(jī)和旋翼無(wú)人機(jī)的缺點(diǎn)，混合翼垂直起降無(wú)人機(jī)應(yīng)運(yùn)而生?；旌弦泶怪逼鸾禑o(wú)人機(jī)相對(duì)傾轉(zhuǎn)旋翼無(wú)人機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，只需要在原來(lái)固定翼結(jié)構(gòu)上加裝旋翼部分即可。對(duì)復(fù)合式垂直起降無(wú)人機(jī)過(guò)渡過(guò)程定性的建立了六自由度動(dòng)力學(xué)方程，提出了一種過(guò)渡方案，對(duì)一些典型的技術(shù)問(wèn)題，提出了相應(yīng)的對(duì)策；對(duì)旋翼和固定翼分別建模，采用旋翼只提供升力不產(chǎn)生力矩的控制策略，為保證無(wú)人機(jī)姿態(tài)讓無(wú)人機(jī)總升力與重力相等，僅通過(guò)控制固定翼的舵面控制無(wú)人機(jī)姿態(tài)，但由于轉(zhuǎn)換初期速度較低，機(jī)翼尾翼調(diào)整能力有限，旋翼提供升力不產(chǎn)生力矩，導(dǎo)致前期姿態(tài)波動(dòng)較大；對(duì)垂直起降模式和固定翼模式分別建模，在過(guò)渡過(guò)程起始階段僅依靠旋翼部分提供前飛和保持姿態(tài)穩(wěn)定，在達(dá)到合理的速度后直接切換為固定翼模式，但旋翼和固定翼為兩個(gè)完全不同的模型，直接切換會(huì)使系統(tǒng)輸入和狀態(tài)量產(chǎn)生突變，無(wú)法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文在過(guò)渡過(guò)程中旋翼部分和固定翼部分同時(shí)對(duì)無(wú)人機(jī)施加力和力矩，將旋翼部分和固定翼部分進(jìn)行整體建模，建立了過(guò)渡過(guò)程旋翼和固定翼共同控制無(wú)人機(jī)狀態(tài)的六自由度模型，然后對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行配平和小擾動(dòng)線性化，并對(duì)得到的縱向過(guò)渡過(guò)程模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析，最后設(shè)計(jì)了基于增益調(diào)度的LQR全狀態(tài)反饋控制器。通過(guò)仿真驗(yàn)證，所設(shè)計(jì)的控制器能夠滿足設(shè)計(jì)要求。

2 數(shù)學(xué)建模

由于旋翼部分和固定翼部分的控制面和系統(tǒng)輸入均不同，導(dǎo)致兩模型差異較大。在前飛速度增大的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，切換兩個(gè)模型會(huì)使無(wú)人機(jī)狀態(tài)發(fā)生突變，無(wú)法保證無(wú)人機(jī)的穩(wěn)定性。將旋翼和固定翼整體建模，讓旋翼和固定翼共同控制無(wú)人機(jī)姿態(tài)，使過(guò)渡過(guò)程更加平緩，并保證過(guò)渡過(guò)程的穩(wěn)定性。

混合翼垂直飛降無(wú)人機(jī)試驗(yàn)樣機(jī)如圖1所示。

圖1 混合翼垂直起降無(wú)人機(jī)試驗(yàn)樣機(jī)Fig.1 Hybrid wing vertical take-off and landing unmanned aircraft test prototype

對(duì)于無(wú)人機(jī)平動(dòng)有

(1)

將上式展開(kāi)得

(2)

式中：Fx、Fy、Fz——分別為無(wú)人機(jī)在機(jī)體坐標(biāo)系下沿機(jī)體軸方向受力的分量；u、v、w——分別為沿機(jī)體坐標(biāo)軸方向上的速度分量；p、q、r——分別為沿機(jī)體坐標(biāo)軸各方向上的角度分量。

(3)

式中：Ffx、Ffy、Ffz——分別為固定翼在機(jī)體軸三個(gè)方向上的分力；Fxz、Fyz、Frz——分別為旋翼在機(jī)體軸三個(gè)方向上產(chǎn)生的升力[6]。

對(duì)于無(wú)人機(jī)繞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)有

(4)

(5)

式中：L、M、N——無(wú)人機(jī)受力矩在機(jī)體坐標(biāo)軸上的投影；J——慣性矩陣。

(6)

式中：lf、mf、nf——分別為固定翼產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航力矩；lr、mr、nr——分別為旋翼產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航力矩。

過(guò)渡過(guò)程縱向運(yùn)動(dòng)方程組為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：T——固定翼推力；D——無(wú)人機(jī)所受阻力；α——迎角;θ——俯仰角;V——慣性坐標(biāo)系前飛速度。

復(fù)合式垂直起降無(wú)人機(jī)的前飛速度是過(guò)渡過(guò)程中的重要特征參數(shù)，無(wú)人機(jī)過(guò)渡過(guò)程前飛速度由0加速，加速到固定翼起飛速度即18m/s，隨著速度的增大，固定翼機(jī)翼產(chǎn)生的升力越來(lái)越大，需要給定相應(yīng)的旋翼油門保持合理的飛行姿態(tài)。將縱向運(yùn)動(dòng)方程組在速度V=[0,18]m/s范圍內(nèi)進(jìn)行配平，并對(duì)配平狀態(tài)進(jìn)行線性化，線性擬合得到關(guān)于前飛速度V的狀態(tài)空間表達(dá)式

(12)

系統(tǒng)狀態(tài)X=[Vαqhθ],輸入U(xiǎn)=[teT1T2]。其中t為固定翼油門，e為升降舵輸入，T1、T2分別為前邊一對(duì)和后邊一對(duì)的旋翼油門。

由圖2可以看出，在前飛速度V=[0,18]m/s范圍內(nèi)，系統(tǒng)存在實(shí)部大于0的特征根，即在速度變化過(guò)程中存在不穩(wěn)定狀態(tài)。不同前飛速度系統(tǒng)狀態(tài)相差較大，傳統(tǒng)的線性時(shí)不變控制器無(wú)法得到滿意的控制效果。

圖2 不同狀態(tài)下系統(tǒng)特征根在復(fù)平面分布Fig.2 Distribution of the eigenvalues of the system in the complex plane under different states

3 控制器設(shè)計(jì)

由以上對(duì)系統(tǒng)特征值分析可知，單一的線性控制器無(wú)法使系統(tǒng)在參數(shù)進(jìn)行大范圍變化時(shí)得到良好的跟蹤效果。采用基于LQR的增益調(diào)度策略設(shè)計(jì)控制器，將系統(tǒng)參數(shù)變化較大的非線性系統(tǒng)分成多個(gè)部分，降低系統(tǒng)參數(shù)的變化范圍，然后在各部分進(jìn)行配平和線性化，得到相應(yīng)的線性時(shí)不變系統(tǒng)，針對(duì)各個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)設(shè)計(jì)LQR控制器。線性時(shí)不變控制器能夠在一定范圍內(nèi)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行良好的控制，根據(jù)非線性系統(tǒng)的參數(shù)變化，來(lái)切換相應(yīng)的線性控制器，從而控制整個(gè)非線性系統(tǒng)[7～10]。

對(duì)于各部分能控能觀線性系統(tǒng)，其狀態(tài)方程有如下形式

(13)

式中：X∈Rn——n維狀態(tài)向量;Y∈Rm——m維輸出向量;U∈Rr——r維控制向量;A0，B0，C0，D0——分別為n×n維，n×m維，m×n維，m×r維常數(shù)矩陣[11]。

為使前飛速度和高度跟蹤指令信號(hào)，令前飛速度和高度輸出y=(V,h)和指令信號(hào)yr=(Vr,hr)的誤差為

e=yr-y

(14)

設(shè)計(jì)能量函數(shù)J

(15)

式中:Q、R——分別為n×n維，m×m維對(duì)角矩陣;Q——半正定矩陣;R——正定矩陣。目標(biāo)函數(shù)的意義在于使用較小的輸入量使得系統(tǒng)的狀態(tài)量有盡可能小的誤差，所以當(dāng)取得能量函數(shù)J最小時(shí)，目標(biāo)成立[12～14]。

為了讓能量函數(shù)最小，需要引入λ構(gòu)造Hamilton函數(shù)

(16)

通過(guò)解Riccati方程和n維向量得

(17)

(18)

系統(tǒng)的輸入為

(19)

則狀態(tài)反饋增益矩陣可以表示為

(20)

系統(tǒng)最優(yōu)跟蹤軌跡線是以下微分方程的解

(21)

以前飛速度V=15m/s，高度h=10m為例，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行配平和小擾動(dòng)線性化，得到無(wú)人機(jī)在該狀態(tài)下的縱向系統(tǒng)狀態(tài)空間矩陣

選取控制系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的權(quán)重矩陣Q=diag(1,1,1,1,1)，和系統(tǒng)輸入有關(guān)的權(quán)重矩陣R=diag(1,1,1,1)，通過(guò)計(jì)算得到系統(tǒng)的反饋增益K

同理，為使過(guò)渡過(guò)程相對(duì)平滑，在定高狀態(tài)下，選取前飛速度為3m/s，6m/s，9m/s，12m/s，15m/s，作為無(wú)人機(jī)工作點(diǎn)進(jìn)行配平。在各配平點(diǎn)采用設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制器。通過(guò)切換控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)以前飛速度為參考的增益調(diào)度。控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 控制器結(jié)構(gòu)Fig.3 Controller structure

系統(tǒng)初始狀態(tài)X=[0;0;0;10;0]。前飛速度設(shè)定為斜率為3的斜坡信號(hào)，達(dá)到18m/s時(shí)保持。系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖4～圖6所示。由下圖可以看出，在加速階段無(wú)人機(jī)前飛速度可以在各速度下得到不錯(cuò)的跟蹤效果，在8s和10s時(shí)加入階躍輸入，同樣可以得到良好的跟蹤效果。無(wú)人機(jī)縱向高度在加速階段會(huì)出現(xiàn)掉高，在第12s加入階躍信號(hào)，無(wú)人機(jī)高度有一定的超調(diào)，沒(méi)有靜態(tài)誤差。

圖4 混合翼無(wú)人機(jī)過(guò)渡過(guò)程速度隨時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.4 Velocity response curve of hybrid wing UAV in transition process

圖5 混合翼無(wú)人機(jī)過(guò)渡過(guò)程高度隨時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.5 Height response curve of hybrid wing UAV in transient process

圖6 混合翼無(wú)人機(jī)過(guò)渡過(guò)程俯仰角隨時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.6 Pitch angle Height response curve of hybrid wing UAV in transient process

4 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)小型混合翼垂直起降無(wú)人機(jī)的過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行了一體化整體建模，推導(dǎo)了六自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程，進(jìn)行配平和小擾動(dòng)線性化，對(duì)得到的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析。采用基于LQR的增益調(diào)度控制，對(duì)無(wú)人機(jī)的速度和高度進(jìn)行跟蹤控制，有仿真結(jié)果可知前飛速度在加速和勻速階段都有良好的跟蹤效果。無(wú)人機(jī)在前飛加速過(guò)程高度有約0.2m的掉高，且在跟蹤過(guò)程中存在超調(diào)。俯仰角在加速階段波動(dòng)較大，需要改進(jìn)控制方法，改善高度和俯仰角的控制效果。