高存臣， 袁雪嬌， 張彩虹

(1.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100； 2.青島大學(xué)自動化與電氣工程學(xué)院， 山東 青島 266071)

滑模變結(jié)構(gòu)控制(VSC)方法作為控制理論的一種重要設(shè)計方法，應(yīng)用廣泛，例如在制造系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、動力系統(tǒng)、車輛飛行器控制等領(lǐng)域均有所涉及?；SC的特性是通過控制量的轉(zhuǎn)換，使被控狀態(tài)能夠沿滑模切換面滑動，并且具有不變性。因此，研究滑模變控制系統(tǒng)具有重要的理論與實際意義。我國學(xué)者已經(jīng)對時滯型、變時滯型、不確定時滯型等系統(tǒng)的VSC問題做了大量研究[1-7]。通過利用Lyapunov泛函法以及線性矩陣不等式(LMI)等技術(shù)，得到了時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定條件[8-10]。注意到時滯型、超前型、中立型等泛函微分方程的區(qū)別，中立型系統(tǒng)對時間滯后特別敏感，很容易造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定的結(jié)果。研究中立型問題相對其他系統(tǒng)復(fù)雜一些，因此將滑模變結(jié)構(gòu)思想與系統(tǒng)穩(wěn)定性聯(lián)系在一起，將得到更好的動態(tài)品質(zhì)。目前也有一些有關(guān)滑?？刂葡碌闹辛⑿偷认到y(tǒng)的研究成果[11-16]。利用VSC研究基于狀態(tài)觀測器下的不確定變時滯中立型系統(tǒng)，是其他文獻未涉及的。

在前人研究的基礎(chǔ)上，本文研究了在非線性擾動下時變時滯不確定中立系統(tǒng)的具有輸入輸出的滑模VSC問題，通過構(gòu)造觀測器，以及對誤差系統(tǒng)分析，利用Lyapunov泛函法以及線性矩陣不等式(LMI)等技術(shù)，得到了系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充分條件。

1 系統(tǒng)的描述與相關(guān)引理

考慮如下一類不確定中立型變時滯輸入輸出系統(tǒng)

(1)

其中，x(t)∈Rn為狀態(tài)向量，u(t)∈Rm為控制輸入，f(x(t))為非線性擾動，y(t)∈Rp為系統(tǒng)輸出向量，A,A1,B,C0,C,D為相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，τ1>0為常數(shù)，φ(t)∈C1([-τ,0];Rn)為初始連續(xù)可微向量函數(shù)，ψ(t)∈C([-τ,0];Rn)為初始連續(xù)向量函數(shù)。ΔA和ΔA1為參數(shù)不確定函數(shù)矩陣，并且滿足如下條件：ΔA(t)=EF(t)H1,ΔA1(t)=EF(t)H2，其中，E,H1,H2為已知的相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)為未知的矩陣函數(shù)且滿足:

FT(t)F(t)≤I，t∈R+。

(2)

以下是本文用到的假設(shè)和引理，保證本文結(jié)果的有效性。

假設(shè)1 (A,B)為完全可控的；(A,C)為完全可觀測的。

假設(shè)3 對任意的x1,x2,f(x)滿足Lipschitz條件

(3)

其中l(wèi)>0為Lipschitz常數(shù)。

(4)

引理2[5](Jensen不等式)對于任意實矩陣M∈Rm×m，M=MT,標量γ>0，ω:[0,γ]→Rm為可積向量函數(shù)，則有如下的積分不等式成立：

(5)

引理3[10]設(shè)U,V和W(t)是具有適當維數(shù)的實矩陣，并且滿足WT(t)W(t)≤I，則對任意實數(shù)α>0，以下不等式成立：

UW(t)V+VTWT(t)UT≤αUTU+α-1VTV。

(6)

引理4[17]設(shè)X∈Rn,Y∈Rn,則對任意實數(shù)α>0，以下不等式成立：

2XTY≤αYTY+α-1XTX。

(7)

2 觀測器的設(shè)計

為了估計本文所研究的不確定變時滯系統(tǒng)(1)的狀態(tài)，設(shè)計如下非脆弱觀測器

(8)

其中：L∈Rn×q為觀測器的增益矩陣；ΔL(t)為已知的非線性函數(shù)矩陣且滿足

(9)

其中δ>0。

(A-LC+ΔA)e(t)-ΔLCe(t)+

(A1+ΔA1)e(t-τ(t))+

(L+ΔL(t))Dx(t-τ(t))+

(10)

第一步：構(gòu)造滑模切換函數(shù)

(11)

其中

(12)

此處K為選定矩陣，BTB為非奇異矩陣。

第二步：設(shè)計系統(tǒng)(1)的控制輸入使得系統(tǒng)(8)中的估計狀態(tài)能夠趨近滑模面。設(shè)計合適的滑?？刂坡扇缦拢?/p>

(13)

定理1 如果設(shè)計的控制律u(t)為(13)式，那么，系統(tǒng)(8)的運動軌跡會在有限時間內(nèi)到達滑模面s(t)=0。

(14)

(15)

將(13)代入不等式(15)，顯然得到

(16)

由Lyapunov 漸進穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)(8)的解將在有限時間內(nèi)到達滑模面s(t)=0，故定理1得證。

(17)

代入所設(shè)計的觀測器系統(tǒng)(8)中，得到在估計狀態(tài)空間中的滑模運動微分方程：

[(PL+ΔL(t))C]e(t)+[P(L+ΔL(t))D]e(t-

(18)

其中P=I-B(BTB)-1BT。因此，可以通過(18)式以及偏差系統(tǒng)(10)來分析我們所要研究的變時滯不確定中立系統(tǒng)(1)的零解穩(wěn)定性等問題。

定理2 考慮誤差系統(tǒng)(10)和滑模動力方程(18)，切換函數(shù)(11)，以及滑模控制律(14)，若存在矩陣Q1>0,Q2>0,M1>0,M2>0,M3>0,M4>0,L,Kεi>0，(i=1,2,…,16)，滿足下面線性矩陣不等式

Ω=

(19)

其中，

Ω11=Q1(A-LC)+(A-LC)TQ1+2l2I+M1+M3+

Ω13=CTLTPTQ2；Ω14=-Q1LD；

(1-h)M1；

Ω23=DTLTPTQ2；Ω25=-(A1-LD)TQ1C0；

Ω26=-DTLTPTQ2C0；Ω36=-(PA-BK)TQ2C0；

[Q2(PA-BK)+(PA-BK)TQ2]+M2+M4+2l2I；

(1-h)M2；

Π1=[Q1E,Q1E,Q1,Q1,Q1,Q1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]；

Π2=[0,0,0,0,0,0,Q2P,Q2P,Q2P,Q2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]；

Π5=diag[-ε1I,-ε2I,-ε3I,-ε4I,-ε5I,-I,-ε6I,-ε7I,-ε8I,-I,-ε9I,-ε10I,-ε11I,-ε12I,-ε13I,-I,-ε14I,-ε15I,-ε16I,-I]。

則誤差系統(tǒng)(10)和滑模動力系統(tǒng)(18)的零解是漸近穩(wěn)定的。

注：*代表對稱矩陣的相應(yīng)元素。

證明 構(gòu)造李雅普諾夫向量函數(shù)

(20)

其中，V1(t)=[e(t)-C0e(t-τ1)]TQ1[e(t)-C0e(t-τ1)]；

(21)

由(10)、(11)及(21)式，得

2eT(t)Q1[ΔAe(t)+ΔA1e(t-τ(t)]+

2eT(t)Q1(A1-LD)e(t-τ(t))-2eT(t)Q1ΔLCe(t)-

eT(t)M3e(t)-e(t-τ1)TM3e(t-τ1)+

(22)

由引理3和引理4，可得

2eT(t)Q1[ΔAe(t)+ΔA1e(t-τ(t)]≤

ε3δ2eT(t)CTCe(t)

-2eT(t)Q1ΔLDe(t-τ(t))≤

τ(t))，

τ(t))。

(23)

由假設(shè)2.3，又得

eT(t)Q1Q1e(t)+l2eT(t)e(t)，

(24)

同理可得

ε12δ2eT(t-τ(t))DTDe(t-τ(t))，

ε14δ2eT(t)CTCe(t)，

ε15δ2eT(t-τ(t))DTDe(t-τ(t))，

(25)

類似(23)容易的得到下面不等式

(26)

將 (23)、(24)、(25)、(26)式代入(22)中，得到

(27)

其中

Τ11=Q1(A-LC) + (A-LC)TQ1+

M1+M3，

Τ13=CTLTPTQ2，Τ14= -Q1LD，

(1-h)M1，

Τ23=DTLTPTQ2，Τ25=-(A1-LD)TQ1C0，

Τ36=-(PA-BK)TQ2C0，

(1-h)M2，

注[17]：使用MATLAB中的LMI工具箱求解時，為了簡化操作步驟，令Q1=Q2=I。

3 數(shù)值算例

考慮誤差系統(tǒng)(10)和系統(tǒng)(18)中的矩陣

f(x)=0.5sinx，l=0.5,

應(yīng)用MATLAB中的LMI工具箱求解定理2中的LMI，得到如下結(jié)果

ε1=13.479 7,ε2=13.900 4,ε3=6.393 4,

ε4=53.676 9,ε5=55.652 9,ε6=6.353 3,

ε7=53.680 3,ε8=55.652 4,ε9=13.479 5,

ε10=13.900 3,ε11=5.906 6,ε12=53.077 3,

ε13=55.042 4,ε14=5.906 6,ε15=53.077 0,

ε16=55.042 1。

圖的軌跡

圖2 e(t)的軌跡

因此，該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

4 結(jié)語

本文研究了具有非線性不確定變時滯中立系統(tǒng)的滑?？刂?，設(shè)計了系統(tǒng)的觀測器和滑?？刂坡?，并保證了切換面的有限時間可達性，基于線性矩陣不等式技術(shù)以及變結(jié)構(gòu)控制理論，得到了誤差系統(tǒng)和滑模動力方程的零解漸近穩(wěn)定性的充分條件，并通過算例說明了本文算法的有效性。