江蘇省江陰市要塞中學(xué) 李 紅

青年問禪師：“我覺得我在這個(gè)世界上是多余的，沒有人需要我.”

禪師說：“就像你所學(xué)的數(shù)學(xué)，無論怎樣復(fù)雜艱深的函數(shù)，都有適合的圖象對應(yīng).你只是還沒找到那個(gè)圖象而已.”

青年沉思一番，提筆寫下了狄利克雷函數(shù)的描述.

（1）定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域R；

（2）值域?yàn)閧0，1}；

（3）函數(shù)為偶函數(shù)；

（4）無法畫出函數(shù)圖象，但是它的函數(shù)圖象客觀存在；

（5）以任意正有理數(shù)為其周期，但不存在最小正周期.

一、狄利克雷函數(shù)的簡介

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)是函數(shù)概念發(fā)展過程中的標(biāo)志性事件之一.狄利克雷（1805—1859），德國數(shù)學(xué)家，他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人，小學(xué)生都熟知的抽屜原理就是他在1834年提出的.

函數(shù)的圖象就是函數(shù)的寫真，狄利克雷函數(shù)圖象是客觀存在，但卻無法畫出的.

狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)，不僅僅給了我們一個(gè)無法畫出函數(shù)圖象的反例，而且極大地推動了函數(shù)概念的發(fā)展，使人們對函數(shù)的認(rèn)識超越了1718年瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利提出的函數(shù)解析式定義的階段.在1837年，狄利克雷認(rèn)識到怎樣去建立兩個(gè)量x與y之間的函數(shù)解析式是無關(guān)緊要的，關(guān)鍵在于尋求它們之間的對應(yīng)法則，從而創(chuàng)立了現(xiàn)代函數(shù)的正式定義：“如果對于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù).”這個(gè)定義抓住了概念的本質(zhì)屬性，變量y稱為x的函數(shù)，只需有一個(gè)法則存在，使得這個(gè)函數(shù)取值范圍中的每一個(gè)值x，有一個(gè)確定的y值和它對應(yīng)就行了，不管這個(gè)法則是公式或圖象或表格或其他形式.

同樣，周期性是函數(shù)的另一個(gè)重要性質(zhì)，具有周期性的函數(shù)，我們更關(guān)心函數(shù)的最小正周期.那么，具有周期性的函數(shù)是不是都有最小正周期呢？答案是否定的.狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù)，但是沒有最小正周期，因?yàn)椴淮嬖谧钚≌欣頂?shù).

二、狄利克雷函數(shù)的應(yīng)用

例1 已知d（x）=數(shù)列{an}滿足n∈N*，則a20=________.

解析由a1=0，an+1=可分別求出

點(diǎn)評該問題以狄利克雷函數(shù)為背景，將周期性和數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行有機(jī)整合，有韻味有變化，看似結(jié)構(gòu)復(fù)雜卻并不復(fù)雜.

例2 已知函數(shù)給出下列四個(gè)命題：

①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；

②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；

③存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點(diǎn)（xi，f（xi））（i=1，2，3）為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形；

④存在xi∈R（i=1，2，3），使得以點(diǎn)（xi，f（xi））（i=1，2，3）為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.

其中，所有真命題的序號是____（填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號）.

解析①若x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，所以f（x）=f（-x）=1，

若x為無理數(shù)，則-x也為無理數(shù)，所以f（x）=f（-x）=0，

綜上有f（x）=f（-x），故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，①正確；

②若x為有理數(shù)，則x+3也為有理數(shù)，則f（x+3）=f（x）=1；若x為無理數(shù)，則x+3也為無理數(shù)，則f（x+3）=f（x）=0，故3為函數(shù)的一個(gè)周期，即f（x）是周期函數(shù)，故②正確；

③設(shè)三個(gè)點(diǎn)（x1，0），（x2，1），（x3，0），且，令x2=0，符合題意，③正確；

④假設(shè)存在等腰直角三角形ABC，則斜邊AB 只能在x軸上或在直線y=1上，且斜邊上的高始終是1.若斜邊AB 在x軸上，點(diǎn)C在直線y=1上，故斜邊AB=2，且點(diǎn)A，B 的橫坐標(biāo)是無理數(shù)，則斜邊AB 的中點(diǎn)橫坐標(biāo)也是無理數(shù)，C 的橫坐標(biāo)是無理數(shù)，縱坐標(biāo)只能為0，不符合題意；若斜邊AB 在直線y=1上，點(diǎn)C在x軸上，故斜邊AB=2，且點(diǎn)A，B 的橫坐標(biāo)是有理數(shù)，則斜邊AB 的中點(diǎn)橫坐標(biāo)也是有理數(shù)，C 的橫坐標(biāo)是有理數(shù)，縱坐標(biāo)只能為1，不符合題意，即不存在符合題意的等腰直角三角形，④錯誤.

故正確答案為①②③.

點(diǎn)評要解決好這個(gè)問題，我們首先要在閱讀上下功夫.其中部分命題的判斷中，結(jié)合狄利克雷函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了構(gòu)造處理，或許數(shù)形結(jié)合效果會更好，不妨試試看.

文章到此應(yīng)該結(jié)束了，但我仍然有意猶未盡的感覺，忽然想到了狄利克雷的一則軼聞.

狄利克雷一生只癡迷于數(shù)學(xué)事業(yè)，對于個(gè)人和家庭都是漫不經(jīng)心的.當(dāng)他的第一個(gè)孩子出生時(shí)，向岳父寫的信中只寫上了一個(gè)式子：2+1=3.

你懂的.

A.D（x ）的值域?yàn)閧0，1} B.D（x）是偶函數(shù)

C.D（x）不是周期函數(shù) D.D（x）不是單調(diào)函數(shù)

2.f（x）=ax2+bx+c，g（x）=mx2+nx+p，a，b，c，m，n，p為非零常數(shù)，其中b2-4ac=a2，設(shè)d（x）=則關(guān)于x 的方程f（d（g（x）））=0的解最多有________個(gè).

1.C.

解析：顯然，A，D是對的；若x是無理數(shù)，則-x也是無數(shù)理，則D（-x）=D（x），所以D（x）是偶函數(shù)，同理，對于任意有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）（若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)；若x是有理數(shù)，則x+T 也是有理數(shù)）.

2.4.

解析：因?yàn)閒（x）=ax2+bx+c中，a為非零常數(shù)，Δ=b2-4ac=a2＞0，

則f（x）=0有兩解x1，x2，且

所以f（x）=0有兩個(gè)相距1的解，且同為有理數(shù)或無理數(shù).

當(dāng)f（x）=0有兩解x1，x2為有理數(shù)時(shí)，d[g（x）]=x1，d[g（x）]=x2，

即g（x）=x1，g（x）=x2，最多4個(gè)解.