譙 雯

(華南農(nóng)業(yè)大學(xué)水利與土木工程學(xué)院，廣州 510642)

0 引言

在進(jìn)行壩體—地基系統(tǒng)地震動力反應(yīng)分析時，一個值得關(guān)注的問題就是地基輻射阻尼的影響。解決這個問題最有效的方法就是引入人工邊界。人工邊界的概念最早是由Alterman等[1]于1968年提出的。隨后眾多人工邊界方法被提出，其中由Deeks[2]提出的黏彈性人工邊界，因既能夠模擬地基輻射阻尼的作用，又能夠考慮地基的彈性恢復(fù)力，同時還具有良好的穩(wěn)定性而得到了廣泛的研究和應(yīng)用。劉晶波等[3]在此基礎(chǔ)上相繼提出了靜—動力統(tǒng)一人工邊界、一致黏彈性人工邊界及黏彈性人工邊界單元的概念[4]。苑舉衛(wèi)等[5]、李浩然等[6]在大型有限元商用軟件的平臺上通過二次開發(fā)技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了黏彈性人工邊界的添加，取得了良好的模擬效果。黏彈性人工邊界單元因便于編程實(shí)現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)—地基動力有限元問題分析中。

在壩體—地基相互作用問題中，地震動的輸入是另一個關(guān)鍵問題[7]。對于大型水工結(jié)構(gòu)而言，在考慮地基輻射阻尼的情況下，地震動輸入方式通常按波動輸入問題來考慮。劉晶波等[8]通過將地震波轉(zhuǎn)化為人工邊界上的等效節(jié)點(diǎn)荷載來實(shí)現(xiàn)地震動的輸入。這種方法既適用于波的豎向輸入，又適用于多點(diǎn)輸入。

綜上原因，本文基于黏彈性人工邊界及其相配套的地震動輸入方法，引入無厚度Goodman單元模擬黏彈性人工邊界，推導(dǎo)了地震動輸入方式在有限元中的實(shí)現(xiàn)過程。該方法在保證計算精度的前提下，不增加計算規(guī)模，保證了計算效率，并且在有限元中易于實(shí)現(xiàn)。通過經(jīng)典數(shù)值算例驗(yàn)證了所編程序的正確性，最后將無厚度Goodman黏彈性人工邊界單元應(yīng)用于混凝土重力壩—地基—庫水系統(tǒng)的地震動力響應(yīng)分析中，并與傳統(tǒng)的無質(zhì)量地基模型進(jìn)行比較，進(jìn)一步驗(yàn)證了無厚度Goodman黏彈性人工邊界單元及其與之相適應(yīng)的地震動輸入在實(shí)際工程應(yīng)用中的強(qiáng)實(shí)用性、施加的方便性和計算結(jié)果的合理性。

1 黏彈性人工邊界及地震動輸入

基于球面波動理論推導(dǎo)出的三維黏彈性人工邊界，通過在模型邊界節(jié)點(diǎn)設(shè)置連續(xù)分布的并列彈簧—阻尼器來模擬無限介質(zhì)。彈簧剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)根據(jù)式(1)和式(2)取得：

(1)

(2)

式中：KT、KN分別為彈簧的切向和法向剛度系數(shù)；C為阻尼系數(shù)；G、ρ分別為介質(zhì)的剪切模量、密度；cs、cp分別為剪切波速與壓縮波速；αT為彈簧切向修正系數(shù)(取值范圍0.5～1.0，推薦取0.67)[9]；αN為彈簧法向修正系數(shù)(取值范圍1.0～2.0，推薦取1.33)[9]；R為人工邊界至波源的距離。

黏彈性人工邊界是將輸入地震動轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載：

(3)

(4)

2 黏彈性人工邊界及其地震動輸入在有限元中的處理

2.1 黏彈性人工邊界單元在有限元中的處理

為了方便數(shù)值模擬，基于矩陣等效原理，本文采用文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)的利用等效實(shí)體邊界單元替代彈簧—阻尼器原件，并且這種單元對于不規(guī)則邊界具有更強(qiáng)的適應(yīng)性。通過比較證明，單元厚度對計算結(jié)果影響甚微，因此本文利用無厚度Goodman單元模擬黏彈性人工邊界。三維模型單元類型如圖1所示。具體三維黏彈性邊界模型的剛度矩陣、阻尼矩陣的推導(dǎo)過程可參見文獻(xiàn)[10]。

(a)無厚度六面體單元

(b)無厚度五面體單元圖1 Goodman單元的單元類型

2.2 地震動輸入在有限元中的處理

假定黏彈性人工邊界單元形函數(shù)為：

(5)

(6)

將式(6)代入式(3)可得到黏彈性人工邊界側(cè)邊面上的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣為：

(7)

同理，將式(6)代入式(4)可得黏彈性人工邊界底邊上的等效節(jié)點(diǎn)荷載為：

(8)

根據(jù)已知輸入地震波的位移和速度時程曲線，按式(7)～(8)即可求得人工邊界上結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)荷載，從而實(shí)現(xiàn)黏彈性人工邊界上地震動輸入。

3 Lamb表面源問題的算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證自編有限元程序中三維黏彈性人工邊界實(shí)現(xiàn)的有效性，采用經(jīng)典Lamb問題對其進(jìn)行驗(yàn)證。模型長L=1，寬B=1，深度H=0.5，根據(jù)對稱性原則，在水平方向上取原模型的1/4作為計算模型，如圖2所示。詳細(xì)計算參數(shù)見表1。通過在模型的四周和底面設(shè)置厚度為0的三維Goodman單元作為等效一致黏彈性人工邊界單元，并將人工邊界單元的最外層結(jié)點(diǎn)固定。在半空間表面處施加垂直集中荷載，荷載激勵如圖3所示。

圖2 Lamb表面源問題計算模型示意圖

表1 計算參數(shù)

圖3 輸入荷載時程

取距加載位置0點(diǎn)為0.2和0.4的兩點(diǎn)作為觀測點(diǎn)，計算結(jié)果與對比結(jié)果如圖4所示。

(a)r=0.20 m處應(yīng)力時程曲線

(b)r=0.40 m處應(yīng)力時程曲線圖4 計算結(jié)果與對比結(jié)果圖

由計算結(jié)果圖4顯示，采用固定邊界模擬時，脈沖波往復(fù)反射，觀測點(diǎn)的位移產(chǎn)生了大幅度的波動，模擬結(jié)果與解析解相差甚大。而在黏彈性人工邊界模型中，當(dāng)脈沖波到達(dá)黏彈性人工邊界后，能量幾乎完全被邊界的黏滯阻尼吸收，模擬結(jié)果與解析解非常一致。證明了本文基于無厚度Goodman單元的黏彈性人工邊界能夠很好地模擬無限地基輻射阻尼，同時也驗(yàn)證了所編程序的可靠性和有效性。

4 工程應(yīng)用

4.1 有限元計算模型

由于實(shí)際工程中，重力壩在沿壩軸線方向設(shè)置了橫縫，強(qiáng)震作用下橫縫傳遞的剪力遠(yuǎn)小于慣性力。加之相鄰壩段會由于壩高、自振周期的不同而形成單個壩段的振動。因此，對于重力壩的動力分析，一般不考慮沿著壩軸線方向的振動，常見做法是選取單個壩段進(jìn)行動力分析。因此，本文選取福建省水口水電站19th壩段作為分析對象，對重力壩—地基—庫水系統(tǒng)進(jìn)行地震動力反應(yīng)分析，分別對地基被施加黏彈性人工邊界(模型Ⅰ)和固定邊界(模型Ⅱ)兩種情況建立了三維有限元模型，其中，施加固定邊界的模型的地基范圍較大。分析時壩體和地基均取為線彈性模型。假定庫水是不可壓縮的無阻尼理想流體，忽略振動中庫水表面的影響，不計庫底豎向位移對水體的影響。采用Westergard附加質(zhì)量法實(shí)現(xiàn)庫水動水壓力對大壩地震響應(yīng)的影響，采用直接濾頻法求解特征方程。壩體地基網(wǎng)格劃分如圖5所示，庫水位網(wǎng)格圖如圖6所示，大部分壩體、地基均采用三維八結(jié)點(diǎn)六面體等參單元離散，少部分壩身用六結(jié)點(diǎn)五面體單元過渡。在地基左右和底側(cè)截斷邊界處各延伸一層厚度為0的Goodman單元作為等效邊界單元來模擬黏彈性人工邊界。對于施加了黏彈性人工邊界的模型Ⅰ，共劃分為5 852個結(jié)點(diǎn)，2 890個單元，而施加固定邊界的模型II則劃分為了6 972個結(jié)點(diǎn)，3 364個單元。

4.2 計算參數(shù)

重力壩的壩體以及地基假設(shè)為均勻各向同性體。在進(jìn)行動力分析之前，需對重力壩進(jìn)行靜力計算，以確定壩體和壩基的初始應(yīng)力狀態(tài)。本文結(jié)合壩體和地基材料參數(shù)以及文獻(xiàn)[11]的建議，參數(shù)取值見表2。

(a)模型Ⅰ：壩—地基系統(tǒng)有限元網(wǎng)格

(b)模型Ⅱ：壩—地基系統(tǒng)有限元網(wǎng)格圖5 地基系列有限元網(wǎng)絡(luò)

圖6 庫水位61.00 m的水體有限元網(wǎng)格圖

4.3 地震波的選擇與輸入

這里選用位于Ⅲ類場地的EI Centro波實(shí)際地震記錄，根據(jù)本工程相關(guān)資料，福州地區(qū)場地類別為Ⅲ類，處于抗震設(shè)防烈度7度區(qū)，現(xiàn)將EI Centro波峰值加速度調(diào)整到0.1g，時間步距0.02 s，調(diào)整后的EI Centro波加速度時程曲線如圖7所示。

圖7 調(diào)整后的EI Centro波加速度時程

4.4 動力計算成果分析

由于篇幅限制，本文只給出了壩頂65號結(jié)點(diǎn)和壩底3 109號結(jié)點(diǎn)的動位移時程，壩頂4號單元和壩底543號單元第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力時程，并同時給出了傳統(tǒng)無質(zhì)量地基固定邊界的結(jié)果作為比較。

從圖8～13對比可以看出：采用本文方法的計算模型進(jìn)行計算，重力壩壩頂和壩基處的幾個主要部位的順河向動位移響應(yīng)和動主應(yīng)力響應(yīng)與采用傳統(tǒng)無質(zhì)量地基固定邊界條件下的計算模型對比，其計算的結(jié)果有明顯的降低，其降低幅度大致在19%～55%之間。主要原因是由于無質(zhì)量地基未考慮地基輻射阻尼的作用，導(dǎo)致反射波的存在，從而使得動力響應(yīng)值偏大。從圖中還可以看出：壩頂結(jié)點(diǎn)動位移響應(yīng)較大，沿建基面位置附近的動力響應(yīng)相對較小，其主要原因是地基及壩體對地震波的放大作用造成的。

表2 計算參數(shù)

圖8 壩頂65號結(jié)點(diǎn)順河向位移時程曲線

圖9 壩底3 109號結(jié)點(diǎn)順河向位移時程曲線

圖10 壩頂4號單元第一主應(yīng)力時程曲線

圖11 壩底543號單元第一主應(yīng)力時程曲線

圖12 壩頂4號單元第三主應(yīng)力時程曲線

圖13 壩底543號單元第三主應(yīng)力時程曲線

從以上結(jié)果比較可以看出，本文方法地基邊界處對地震波動具有很好的吸收作用，波動在邊界處的反射作用得到了明顯的減弱，能夠考慮地基輻射阻尼的影響，使得計算模型的計算結(jié)果更加符合實(shí)際，再次驗(yàn)證了本文動力有限元計算程序的可靠性和黏彈性人工邊界施加的正確性。

5 結(jié)語

黏彈性人工邊界不僅能夠吸收外行散射地震波能量，而且能夠模擬人工邊界半無限地基介質(zhì)的彈性恢復(fù)性能，被廣泛地應(yīng)用于實(shí)際工程。本文探討了無厚度Goodman單元模擬黏彈性人工邊界的可行性，推導(dǎo)了地震動輸入轉(zhuǎn)化為等效節(jié)點(diǎn)荷載在有限元中的實(shí)現(xiàn)過程。得出以下結(jié)論：

1)經(jīng)典Lamb問題算例表明：使用一致黏彈性人工邊界時，在接近加載點(diǎn)附近的結(jié)點(diǎn)和靠近邊界的結(jié)點(diǎn)上，其位移計算結(jié)果與解析解很接近，計算的精度高。同時也可以看出，在對黏彈性人工邊界的模擬上，采用本文的無厚度Goodman單元代替彈簧—阻尼器的方法，將使黏彈性人工邊界的施加方式更為簡單，保證計算效率。

2)重力壩—地基—庫水系統(tǒng)進(jìn)行地震動力反應(yīng)分析實(shí)例表明：合理選取和模擬人工邊界條件將直接影響動力分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，黏彈性人工邊界條件原理簡單、易于運(yùn)用，具有良好的模擬效果，穩(wěn)定性較好，而且可以在邊界不規(guī)則的情況下使用，從而可為各類工程的抗震分析提供參考。