張 鑫，鄒德旋，李順才，喻 秋

(江蘇師范大學 a.電氣工程及自動化學院；b.機電工程學院，江蘇 徐州 221116)

0 引言

粒子群優(yōu)化方法(Particle Swarm Optimization，PSO)是Kennedy和Eberhart[1-2]在1995年提出的一種啟發(fā)式優(yōu)化方法。與傳統(tǒng)計算方法相比，具有收斂精度高、搜索速度快、無需設置初始值、易于解決不連續(xù)問題等眾多優(yōu)勢，十分適用于機床主軸結構參數(shù)優(yōu)化問題。

在實際加工工件中，機床主軸受到局部負載、扭矩和彎矩的作用，需要主軸有足夠的剛度和強度避免彎曲和斷裂，在保證主軸性能的同時合理控制重量是主軸優(yōu)化設計的重要領域，不僅可以提高生產質量，增加公司經濟收入，也可以減少不必要的成本。目前對機床主軸參數(shù)優(yōu)化普遍使用的是有限元法分析。顧寄南等[3]使用有限元法分析了CK61200車床的關鍵結構并對其進行設計；陳忠敏等[4]使用有限元法對CA6140型機床主軸建立了更加準確的模型，在主軸參數(shù)優(yōu)化中減少了有限元的分析次數(shù)和計算量；王新旺等[5]分析了高頻破碎器的主軸應力且優(yōu)化了結構；Shen等[6]使用Matlab的fmincon函數(shù)法優(yōu)化設計建立好的主軸待優(yōu)化函數(shù)模型；張景堯等[7]使用NSGA-II法求解以機床主軸剛度最大和轉動慣量最小為優(yōu)化目標的高質、低碳主軸優(yōu)化模型。

有限元法分析可以將復雜問題簡單化[8]，但用于優(yōu)化時，本質是最小二乘法或者梯度法逼近最優(yōu)解[9]，這兩種方法存在精度不高，且迭代次數(shù)較多的缺點。fmincon函數(shù)法具有計算量大、收斂速度慢、需要迭代時間較長和精確度不高的缺點。這些方法在尋優(yōu)時需要設置初始值，初始值選取是否得當直接影響迭代時間和結果，在解決機床主軸結構參數(shù)優(yōu)化問題時不方便。

針對以上缺點和現(xiàn)狀，本文提出一種搜索速度更快、精度更高的極簡粒子群優(yōu)化算法(Super-simplify Particle Swarm Optimization，SPSO)用于實現(xiàn)機床主軸最優(yōu)化設計。為了檢驗本文方法的優(yōu)越性，令fmincon法、PSO和SPSO在保證參數(shù)設置公平和同一平臺的情況下對實例模型進行尋優(yōu)設計，比較優(yōu)化結果。

1 機床主軸結構參數(shù)優(yōu)化數(shù)學模型

1.1 機床主軸模型假設

基于極簡粒子群優(yōu)化算法的機床主軸結構參數(shù)優(yōu)化設計方法是以二支承主軸為設計本體，主要目標是主軸質量最小，以剛度、強度、轉角等約束條件設計優(yōu)化模型，最后使用SPSO優(yōu)化設計。現(xiàn)列出搭建模型所需的假設條件。

(1)主軸材料已知，且密度均勻，符合材料力學和機械動力學相關原理；

(2)機床型號已知，主軸內徑確定，且整根空心主軸粗細一致；

(3)外伸端負載已知；

(4)主軸軸承位置確定，且可簡化為支座。

根據(jù)假設條件，二支承主軸的簡化模型圖如圖1所示。

圖1 二支承主軸模型圖

圖中F是外伸端處載荷；T是扭矩；a是主軸外伸長度；L是支承間跨距；D是主軸外徑；d是主軸內徑。

1.2 機床主軸模型構建

當機床型號和主軸材料確定時，主軸內徑和材料密度便是已知的。目標函數(shù)公式可建立如下：

(1)

其中，W是主軸質量，單位為kg；ρ是材料密度；a是外伸長度；L是跨距；D是主軸外徑；d是主軸內徑。假設受力點為C點，兩個支撐分別對于主軸的A和B點，建立坐標系，主軸彎矩M和剪力Q圖如圖2所示。

圖2 主軸彎矩和剪力圖

主軸外伸端撓度不能超過允許撓度。根據(jù)材料力學[10]推導可得撓度約束方程：

(2)

其中，F(xiàn)是主軸外伸端處已知載荷；[y]是外伸端撓度規(guī)定值。

考慮正應力對其影響，可列約束方程：

(3)

式中，WZ是抗彎截面系數(shù)；[σ]是主軸許用正應力。

主軸切應力不應超過許用切應力，約束方程如下：

(4)

式中，T是扭矩；WT是抗扭截面系數(shù)；[τ]是許可切應力。

根據(jù)主軸前軸頸處的轉角不能超過許用轉角，并代入軸慣性矩公式，可得約束方程：

(5)

最后，主軸外徑D、外伸長度a和跨距L還有各自的邊界條件需要滿足：

Dmin≤D≤Dmax,amin≤a≤amax,Lmin≤L≤Lmax

(6)

式中，Dmin、Dmax、amin、amax和Lmin、Lmax分別是3個待優(yōu)化參數(shù)的上下限。

2 改進粒子群優(yōu)化算法

2.1 基本粒子群優(yōu)化算法

基本粒子群算法的由以下兩個迭代公式組成：

(7)

(8)

式(7)即為粒子速度公式，式(8)為粒子位置公式。其中，vi表示第i個粒子當前速度；xi表示第i個粒子當前位置；ω是慣性權重；n表示粒子在第n個維度；i表示第i個粒子；t當前迭代次數(shù)；c1和c2分別是認知因子和社交因子；r1和r2是[0，1]之間的隨機數(shù)；pbest是個體歷史最優(yōu)解；gbest是全局最優(yōu)解。

2.2 極簡粒子群優(yōu)化算法

為了更有效地利用粒子群算法的優(yōu)勢，并良好應用于主軸優(yōu)化設計問題，本文直接利用社交項作為粒子學習項來控制算法尋優(yōu)，令粒子群算法的公式達到最簡化，即極簡粒子群算法(Super-Simple PSO，SPSO)。該方法提高了算法的搜索效率，穩(wěn)定性減弱不明顯。改進計算方法只由一個迭代公式構成：

(9)

式中，l是鎖定因子，用于鎖定粒子與gbest的影響，公式為：

(10)

如此改進后，SPSO在尋優(yōu)時，粒子只受全局最優(yōu)點gbest影響，粒子的方向始終指向gbest。這一改進使尋優(yōu)過程變得非常簡潔，速度非?？?，且粒子多樣性因為鎖定因子的加入而得到保證。

改進后的算法實現(xiàn)步驟如下：

(1)初始化。設置問題維度、最大迭代次數(shù)、種群數(shù)量、慣性權重、位置上下限，根據(jù)位置上下限隨機初始化種群位置；

(2)根據(jù)機床主軸結構的參數(shù)優(yōu)化問題的數(shù)學模型計算適應度，并利用罰函數(shù)法添加約束條件；

(3)通過比較獲得到全局最優(yōu)解gbest；

(4)計算當前鎖定因子，利用SPSO迭代公式更新粒子位置；

(5)如果迭代次數(shù)達到最大迭代次數(shù)則停止運行并輸出最優(yōu)化設計方案，返回步驟二直到完成迭代。

算法流程圖參考圖3所示。

圖3 算法流程圖

3 算例與分析

3.1 算例介紹

已知某普通機床二支承主軸，電機功率為7.5kW，主軸的內徑d=48mm，作用在主軸外伸端處的外力F=15000N，許用撓度[y]=0.124mm，許用正應力[σ]=160MPa，許用切應力為[τ]=240MPa，允許轉角[θ]=0.01rad。主軸材料的密度為ρ=7800kg/m3，主軸材料的彈性模量為E=2×105MPa，剪切模量為G=8×105MPa。主軸的計算轉速為n=50r/min，主軸最大功率P=7.5kW，經過計算主軸最大輸出扭矩為T=1432Nm。

3.2 模型變換與實驗平臺設置

模型建立后需要和優(yōu)化方法相結合。根據(jù)計算需要，本文將當量外徑D、外伸量a和跨距L對應SPSO的三個維度，即粒子i的位置可以表示為xi1、xi2、xi3。撓度、剛度和轉角約束條件統(tǒng)一變換成小于等于0的形式后，建立可使用于解決約束問題的粒子群尋優(yōu)函數(shù)模型。邊界條件則通過初始化粒子速度和位置上下限實現(xiàn)，粒子速度和位置上下限可以在迭代時有效限制粒子速度和位移。

那么，函數(shù)模型可變?yōu)榭梢跃幊虒崿F(xiàn)的形式：

(11)

目標函數(shù)尋優(yōu)空間的切片圖可參考：

圖4 目標函數(shù)尋優(yōu)空間切片圖

約束函數(shù)為：

(12)

(13)

(14)

(15)

邊界條件通過設置速度和位置上下限實現(xiàn)：

(16)

使用懲罰因子解決約束問題處理方法，需要將目標函數(shù)和約束函數(shù)歸一成一個待尋優(yōu)總目標函數(shù)：

(17)

式中，F(xiàn)是需要尋優(yōu)的總目標函數(shù)；f是目標函數(shù)；g是經過簡單變形后的約束函數(shù)；K是約束條件個數(shù)；k是當前約束條件；φ是懲罰因子。

假設懲罰因子設置為1050，利用公式(17)將目標函數(shù)和約束函數(shù)歸一化后的總目標函數(shù)切片圖如圖5所示。

圖5 總目標函數(shù)尋優(yōu)空間切片圖

比較實驗需要考慮公平性和公正性，本文實驗均使用Matlab R2014a作為實驗平臺，PC機內存4.00GB，CPU速度2.26GHz。迭代次數(shù)均設置為20次。fmincon函數(shù)法初值設置為[140,130,550]，粒子群算法因為本身特殊性無需設置初始值。

具體參數(shù)設置可參考表1。

表1 參數(shù)設置表

表中，T是迭代次數(shù)；N是問題維度；M是種群個數(shù)；ω是慣性權重；φ是懲罰因子；x0是初始值。

3.3 尋優(yōu)設計結果與分析

優(yōu)化設計時，隨著迭代次數(shù)的增加fmincon法的三個參數(shù)直到第10次迭代時才逐漸穩(wěn)定，PSO和SPSO均在5次迭代以內。10次迭代后的具體質量見表2，時間指計算方法迭代一次的運行時間。

表2 10次迭代的質量尋優(yōu)具體結果

由表2可見，當運行10次迭代后，PSO和SPSO均已搜索到質量最小的參數(shù)設計，其中PSO在第4次迭代時搜索到最好設計方案，SPSO在第2次迭代時就已經搜索到最好的方案，fmincon函數(shù)經過第1次迭代的結果就很大，10次迭代結束后依然未能收斂到最優(yōu)方案；觀察運行時間可以發(fā)現(xiàn)，SPSO比PSO迭代一次時間更短，減少了7.31%，與fmincon函數(shù)法比較，時間減少了76.91%。

具體尋優(yōu)曲線圖如圖6所示。

(a) 外徑尋優(yōu)曲線圖 (b) 外伸尋優(yōu)曲線圖

(c) 跨距尋優(yōu)曲線圖 (d) 3種計算方法的質鱘優(yōu) 曲線對比圖

(e) 2種粒子群算法的質量尋優(yōu) 曲線細節(jié)圖 (f) 3種計算方法迭代次 時間柱狀圖 圖6 3種方法的尋優(yōu)結果圖

從圖6a、圖6b和圖6c中的曲線可以看出，fmincon函數(shù)法在收斂到13代的時，外伸量和跨距沒有變化，但是外徑出現(xiàn)了上升，與之對應，圖6d中fmincon法尋優(yōu)的質量也在13代時變大，穩(wěn)定性較差。SPSO的搜索曲線都下降很快，收斂到第2代時就已經最優(yōu)，且之后沒有波動。因為fmincon法迭代較慢、前期尋優(yōu)質量較大且PSO和SPSO均在迭代5次以內就已經完成尋優(yōu)過程，故繪制只有5次迭代結果的圖6e單獨觀察PSO和SPSO的質量尋優(yōu)曲線， SPSO在第1輪迭代時的結果就很小，且收斂很快，第2次迭代就已經到了最好的結果，而PSO則收斂較慢。最后，圖6f可以看出三種計算方法尋優(yōu)同一個問題迭代1次的時間，SPSO用時最短。

如果不對fmincon法設置固定迭代次數(shù)，即搜索到最優(yōu)再輸出結果，則需要迭代17次。尋找到的最優(yōu)設計結果具體如表3所示。

表3 3種方法均達到最優(yōu)后的參數(shù)優(yōu)化結果

表3中可以看出，PSO和SPSO搜索到的最優(yōu)設計為[60,60,320]，而fmincon函數(shù)法迭代17次后結果是[64.30,60,320]。且在使用fmincon函數(shù)法時需要設置初始值，初始值得選取是影響其優(yōu)化效果的因素之一。綜上，SPSO可以在更短的時間里搜索到可能更好的結果，各方面性能均優(yōu)于其他兩種計算方法。

4 結論

本文將極簡粒子群優(yōu)化算法運用于機床主軸結構參數(shù)優(yōu)化設計，改進的粒子群算法直接利用社交項作為粒子學習項來控制算法尋優(yōu)，并使用按一定規(guī)律分布的鎖定因子干擾粒子受全局最優(yōu)解的影響程度，使實施更簡單，效果也更好。論文最后引入實際案例，對fmincon函數(shù)法、PSO和SPSO 的尋優(yōu)結果進行對比，結果表明：SPSO在第2次迭代時就搜索到了最好的優(yōu)化方案，PSO則是在第4次迭代時尋找到相同的方案，fmincon函數(shù)法在迭代17次后只找到了近似較好的設計方案；且在比較尋優(yōu)時間可以看到，與PSO相比，SPSO的優(yōu)化時間減少了7.31%，與fmincon函數(shù)法相比減少了76.91%?？上陆Y論：本文提出的基于極簡粒子群優(yōu)化算法的機床主軸結構參數(shù)優(yōu)化設計方法穩(wěn)定性好，性能優(yōu)越，對改進粒子群優(yōu)化算法運用于其他梁結構的設計優(yōu)化問題也具有實際參考意義。