章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

1 三角形在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位

三角形是最簡(jiǎn)單的幾何圖形，但它是最重要的.正如項(xiàng)武義所說(shuō)，“三角形是僅次于線(xiàn)段和直線(xiàn)的基本幾何圖形，而空間的大部分基本性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾何性質(zhì)中充分體現(xiàn).三角形之所以成為古希臘幾何學(xué)所研究的主角，其原因也就是：三角形既簡(jiǎn)單而又能充分反映空間的本質(zhì).”[注]項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)幾何學(xué)，人民教育出版社，2004年版，第8頁(yè).這說(shuō)明掌握好三角形知識(shí)就意味著理解了空間的大部分基本性質(zhì).同時(shí)，三角形的知識(shí)是研究其他幾何圖形不可或缺的基礎(chǔ)，基礎(chǔ)不牢地動(dòng)山搖，所以三角形的學(xué)習(xí)對(duì)整個(gè)幾何學(xué)習(xí)都是舉足輕重的.人們常說(shuō)，數(shù)學(xué)成績(jī)的兩極分化發(fā)生在平面幾何的學(xué)習(xí)中.其實(shí)，更具體地說(shuō)，是在三角形的學(xué)習(xí)中.所以，把三角形學(xué)好對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)也是至關(guān)重要的.

從三角形的內(nèi)容結(jié)構(gòu)而言，其“基本事實(shí)(公理)——概念——性質(zhì)(關(guān)系)——結(jié)構(gòu)(聯(lián)系)”的公理化體系清晰明確，可以呈現(xiàn)一個(gè)完整的“抽象數(shù)學(xué)概念——形成聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)概念的判斷而得出命題——通過(guò)推理、論證，形成一個(gè)層次分明、結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)”的過(guò)程，“從一般三角形到特殊三角形”、“從定性到定量”的研究路徑及其體現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的思想和方法，等腰三角形、直角三角形的特別重要性所反映的特例在一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象中的地位和作用等等，對(duì)后續(xù)其他幾何圖形(無(wú)論是平面圖形還是立體圖形)的內(nèi)容組織都具有示范性，甚至都可以直接引用.

從認(rèn)知過(guò)程看，在三角形的研究中，從獲得研究對(duì)象到基本性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和證明、從一般三角形到特殊三角形的研究中所展現(xiàn)的創(chuàng)造性思維和數(shù)學(xué)思想、從定性到定量的研究路徑和數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的方式方法等等，都具有典型性和示范性；同時(shí)，以三角形為載體的幾何學(xué)習(xí)，對(duì)發(fā)展學(xué)生的直觀(guān)想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)也有奠基性作用.所以，三角形的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生掌握研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路，初步形成數(shù)學(xué)思維方式，這是最具可遷移性的“大概念”，在后續(xù)學(xué)習(xí)中將得到不斷的應(yīng)用和加強(qiáng).

同樣重要的是，在揭示三角形豐富多彩的內(nèi)涵、經(jīng)歷充滿(mǎn)活力的各種各樣三角形定理的形成過(guò)程中，可以使學(xué)生充分體驗(yàn)到“利用簡(jiǎn)單的公理，卻能推出美妙的定理”(丘成桐)的韻味和奧秘，學(xué)生能從中得到其他學(xué)科所不能給予的嚴(yán)格邏輯推理訓(xùn)練，同時(shí)又能得到數(shù)學(xué)美的熏陶.一個(gè)看上去如此簡(jiǎn)單的幾何圖形卻蘊(yùn)含了大量漂亮的幾何定理，它所提供的欣賞數(shù)學(xué)美的機(jī)會(huì)也是無(wú)與倫比的.數(shù)學(xué)史上，人們對(duì)三角形的研究?jī)A注了大量精力，對(duì)勾股定理的證明熱情持續(xù)不減，有名有姓的三角形定理就有許多，學(xué)生可以從中得到實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)文化浸潤(rùn).

所以，在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中，三角形是一個(gè)居于核心地位的幾何圖形，是能夠充分體現(xiàn)“借助簡(jiǎn)單對(duì)象闡釋深刻思想”的理想載體.對(duì)于三角形的課程設(shè)計(jì)、教材編寫(xiě)、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施等，是值得下大力氣研究的.

2 三角形的內(nèi)容分析

2.1 研究思路

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的“課程性質(zhì)”中提到：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué).數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí) 世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律.”這段話(huà)非常簡(jiǎn)短，但給出了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其來(lái)源，也給出了研究?jī)?nèi)容、過(guò)程與方法以及研究結(jié)果和作用，從中可以看到研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路、思想與方法.下面我們以此為指導(dǎo)分析一下三角形的研究思路.

整體上，從研究對(duì)象看，在抽象三角形概念的基礎(chǔ)上，按從一般三角形到特殊三角形展開(kāi)；因?yàn)槿切问且粋€(gè)有界的平面圖形，所以有度量問(wèn)題，按從定性到定量的路徑展開(kāi).

從定性角度研究三角形，是對(duì)圖形的定性性質(zhì)、圖形之間的關(guān)系與性質(zhì)兩個(gè)角度展開(kāi)，主要內(nèi)容有：三角形的要素(邊、角)、相關(guān)要素(外角、高、中線(xiàn)、內(nèi)角平分線(xiàn)等)之間的定性關(guān)系；兩個(gè)三角形的全等關(guān)系；對(duì)于特殊三角形，則要研究三角形成為“特殊”的必要條件和充分條件，即研究等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定.

三角形的定量研究主要從圖形的度量及要素、相關(guān)要素的定量關(guān)系展開(kāi)，研究三角形的三邊邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的角度、面積、高、外徑、內(nèi)徑等幾何量之間存在的基本函數(shù)關(guān)系.把定性的結(jié)果變成定量的結(jié)果，把存在的東西具體表示出來(lái)，這是數(shù)學(xué)的基本追求.一旦定性的事物得到定量的表示，就意味著我們完全把握了這個(gè)事物的變化規(guī)律，然后就可以利用計(jì)算機(jī)將其操控于股掌之間.

2.2 抽象三角形概念——獲得研究對(duì)象

抽象研究對(duì)象是數(shù)學(xué)研究的首要任務(wù)，是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的第一步.如果抽象過(guò)程不充分，數(shù)學(xué)對(duì)象不明確，那么后續(xù)研究就無(wú)法展開(kāi).教學(xué)中存在的“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”現(xiàn)象，就是不重視抽象研究對(duì)象的表現(xiàn).概念教學(xué)走過(guò)場(chǎng)是導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的主要原因之一，必須引起高度警覺(jué).

數(shù)學(xué)有獨(dú)特的抽象研究對(duì)象的方式，有基本套路可以遵循.抽象三角形概念按照“定義—表示—分類(lèi)”的線(xiàn)索展開(kāi)，具體要完成的事情有：

1．定義與命名，即給出三角形本質(zhì)特征的確切而簡(jiǎn)要的陳述.

一個(gè)幾何圖形的本質(zhì)特征是指其組成要素及其基本關(guān)系.以此為指導(dǎo)思想，通過(guò)對(duì)典型實(shí)例的分析、歸納得出共性，再抽象、概括出三角形的組成要素及其基本關(guān)系，然后用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)作出表述，就得到了三角形的定義.

需要注意的是，僅僅從分析與綜合、歸納與演繹、聯(lián)系與類(lèi)比等一般思維方法的角度闡釋數(shù)學(xué)定義的抽象過(guò)程是不夠的，因?yàn)檫@樣并沒(méi)有解決“如何分析”“歸納什么”“如何類(lèi)比”等問(wèn)題，而這些問(wèn)題恰恰是啟發(fā)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)思考與探究的關(guān)鍵.我們知道，點(diǎn)、直線(xiàn)、平面是空間基本圖形，柱、錐、臺(tái)、球是空間基本立體圖形；多面體由直線(xiàn)型平面圖形圍成，旋轉(zhuǎn)體的表面可以展開(kāi)成平面圖形(圓、圓的一部分)；直線(xiàn)形平面圖形由點(diǎn)、直線(xiàn)段圍成.所以，幾何圖形的組成要素及其基本關(guān)系歸根到底要從點(diǎn)、線(xiàn)段、圓(或其部分)及其位置關(guān)系入手分析.這樣，在三角形定義的教學(xué)中，一定要讓學(xué)生在明確“幾何圖形的要素、要素之間的關(guān)系各指什么”的基礎(chǔ)上，對(duì)“三角形的組成要素是什么”“要素之間有什么關(guān)系”展開(kāi)分析、歸納、類(lèi)比的思維活動(dòng)，這樣才能做到有的放矢.

2．表示，即用符號(hào)表示三角形及其組成要素.

數(shù)學(xué)對(duì)象的表示是與眾不同的，有符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言等多種方式.特別是符號(hào)語(yǔ)言的使用，使數(shù)學(xué)表達(dá)具有簡(jiǎn)潔性、明確性、抽象性、邏輯性等融為一體的特點(diǎn)，可以極大地縮減數(shù)學(xué)思維過(guò)程，減輕大腦的負(fù)擔(dān)，更有利于我們認(rèn)識(shí)和表達(dá)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì).所以，在抽象研究對(duì)象階段，要重視數(shù)學(xué)對(duì)象的符號(hào)表示.

3．分類(lèi)，即以要素的特征與關(guān)系為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi).

分類(lèi)是理解數(shù)學(xué)對(duì)象的重要一環(huán).一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的具體例子不勝枚舉，按某種特征對(duì)它們“分門(mén)別類(lèi)”，就使這一對(duì)象所包含的事物條理化、結(jié)構(gòu)化，并可由此確定一種分類(lèi)研究的路徑，使后續(xù)研究順序展開(kāi).分類(lèi)就是把研究對(duì)象歸入一定的系統(tǒng)和級(jí)別，形成有內(nèi)在層級(jí)關(guān)系的“子類(lèi)”系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而就進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)對(duì)象所含事物之間的邏輯關(guān)系，由此可以極大地增強(qiáng)“子類(lèi)特征”的可預(yù)見(jiàn)性，從而也就有利于我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì).例如，“三角形—直角三角形—等腰直角三角形”這個(gè)小系統(tǒng)中，在等腰直角三角形中可以“看出”勾股定理，從而幫助我們“預(yù)見(jiàn)”勾股定理是一般直角三角形的特性，并進(jìn)一步“預(yù)見(jiàn)”一般三角形中的余弦定理.

4．定義相關(guān)要素，給出外角、中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)等概念.

我們把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)，三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊、三個(gè)內(nèi)角是基本要素.如果研究的視野僅限于這些要素的關(guān)系，則三角形的性質(zhì)就有些單調(diào)乏味，也就不能體現(xiàn)“反映空間大部分基本性質(zhì)”的地位，所以必須對(duì)它的要素作出進(jìn)一步的劃分，以更充分地反映三角形的結(jié)構(gòu)、功能，為研究?jī)?nèi)部要素的關(guān)系提供更豐富的視角，為三角形與外部系統(tǒng)的聯(lián)系提供更多的通道.可以看到，要素、相關(guān)要素及其關(guān)系是三角形豐富多彩性質(zhì)的源泉所在.

以上是一個(gè)完整的獲得數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程，“定義—表示—分類(lèi)”是“基本動(dòng)作”，是學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界的基礎(chǔ)，教材和教學(xué)都應(yīng)該以明確的方式告訴學(xué)生“如何觀(guān)察”、“如何定義”，以使學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)抽象一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的方式方法.

2.3 研究基本性質(zhì)

抽象出概念后，接著要從定義出發(fā)研究性質(zhì)，即研究定義所界定的數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)涵或要素之間的基本關(guān)系.我們把三角形要素之間的最基本關(guān)系(主要是定性的等與不等關(guān)系)稱(chēng)為基本性質(zhì).

(1)邊角的相等關(guān)系——等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊；

(2)邊角的不等關(guān)系——大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；

(3)三邊的定性關(guān)系——兩邊之和大于第三邊；

(4)內(nèi)角的定量關(guān)系——內(nèi)角和等于180°；等等.

上述三角形的基本性質(zhì)非常直觀(guān)，通過(guò)觀(guān)察、測(cè)量或剪貼拼接是不難發(fā)現(xiàn)的，但要證明它們，則需要做一番邏輯關(guān)系的考量，并要有一些預(yù)備知識(shí).限于篇幅，這里暫不深究.

2.4 研究相關(guān)要素的相互關(guān)系

三角形性質(zhì)的豐富多彩則來(lái)自于要素與外角、中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)等相關(guān)要素的相互作用和聯(lián)系.

(1)外角與內(nèi)角的關(guān)系——外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和；

(2)外角之間的關(guān)系——外角之和為360°；

(3)中線(xiàn)的位置關(guān)系——三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)(重心)；

(4)高的位置關(guān)系——三條高交于一點(diǎn)(垂心)；

(5)角平分線(xiàn)的位置關(guān)系——三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)(內(nèi)心)；

(6)三邊的垂直平分線(xiàn)的位置關(guān)系——三邊的垂直平分線(xiàn)交于一點(diǎn)(外心)；

(7)三角形任意兩角的外角平分線(xiàn)和第三個(gè)角的內(nèi)角平分線(xiàn)的交于一點(diǎn)(旁心)；

(8)三邊中點(diǎn)連線(xiàn)與三邊的位置關(guān)系、大小關(guān)系——兩邊中點(diǎn)連線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半；等等.

以上三角形的性質(zhì)，概念是第一層次，要素的關(guān)系是第二層次，要素與相關(guān)要素的關(guān)系是第三層次.在此基礎(chǔ)上，還可以進(jìn)一步產(chǎn)生第四層次的性質(zhì).例如，對(duì)于重心，我們有：

(1)重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1；

(2)重心和三角形三個(gè)頂點(diǎn)連線(xiàn)所成的三個(gè)三角形面積相等；

(3)重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最??；等等.

如果進(jìn)一步運(yùn)用坐標(biāo)法、向量法，就可以將重心與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)之間的關(guān)系進(jìn)行量化表達(dá)：

實(shí)際上，這些性質(zhì)是與其他相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系中產(chǎn)生的，所以它們的證明是需要其他知識(shí)的，這就有一個(gè)知識(shí)的邏輯體系問(wèn)題.但是，在探索三角形性質(zhì)階段，對(duì)“三角形中的幾何元素及其相互關(guān)系”有序而層層深入的探索，對(duì)于發(fā)現(xiàn)和提出性質(zhì)的猜想是非常有用的，而且在探尋猜想的證明中，也能通過(guò)這種知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系提供思路、找到方法.

另外，對(duì)三角形性質(zhì)的有層次分析還可以給課程內(nèi)容設(shè)計(jì)、教材編寫(xiě)和課堂教學(xué)以啟發(fā)：對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)容取舍要有主次之分，像第二層次、第三層次的性質(zhì)，屬于基本內(nèi)容，必須納入全體學(xué)生的必修范圍；而第四層次的性質(zhì)，是重要的拓展性?xún)?nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力的優(yōu)良載體，可以設(shè)計(jì)為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的內(nèi)容，或者作為選學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)有余力的學(xué)生通過(guò)自主探究方式深入學(xué)習(xí)；有些內(nèi)容是無(wú)關(guān)緊要的繁瑣細(xì)節(jié)，不應(yīng)讓學(xué)生浪費(fèi)時(shí)間.在內(nèi)容安排上，也應(yīng)按上述層次循序漸進(jìn)，讓學(xué)生從基礎(chǔ)到拓展創(chuàng)新拾階而上.當(dāng)前課堂中仍普遍存在著以解題代替一切的現(xiàn)象，而老師給學(xué)生做的題目往往針對(duì)繁瑣細(xì)節(jié)，對(duì)理解數(shù)學(xué)核心概念幫助不大，而且不是循序漸進(jìn)地安排，很快讓學(xué)生面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題，違背了研究數(shù)學(xué)對(duì)象的一般規(guī)律，是造成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難和過(guò)重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的主要原因.

2.5 研究?jī)蓚€(gè)三角形全等

我們知道，“相等”是數(shù)學(xué)中的基本關(guān)系.定義相等關(guān)系的目的在于說(shuō)明在所討論的事物中什么是自己最關(guān)心的.兩個(gè)三角形全等就是它們能夠完全重合，這表明，對(duì)于三角形，我們只關(guān)心形狀和大小，而它的位置則不是我們感興趣的.由此還可以得到“確定一個(gè)三角形所需的條件”，給出三角形穩(wěn)定性的理論解釋.同時(shí)，這也是“尺規(guī)作圖”的理論基礎(chǔ).

1．定義，兩個(gè)能夠完全重合的三角形叫全等三角形.

這個(gè)定義是依賴(lài)于直觀(guān)的，“完全重合”是一種日常生活語(yǔ)言，僅僅是初級(jí)抽象，我們還需要進(jìn)一步賦予它以數(shù)學(xué)意義，以提升其抽象層次.例如，把“完全重合”歸結(jié)為三角形要素之間的重合，即頂點(diǎn)的重合(對(duì)應(yīng)頂點(diǎn))、線(xiàn)段的疊合(對(duì)應(yīng)邊)、角的疊合(對(duì)應(yīng)角)；通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等變換得到的圖形與原圖形全等；更精確的定義則需要用代數(shù)的方法.

2．性質(zhì)，以“兩個(gè)三角形全等”為條件，推出兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)元素之間的關(guān)系.

由定義可知，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.其實(shí)，只要是“對(duì)應(yīng)元素”，如對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)等等，它們的大小相等、位置關(guān)系相同；全等三角形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換，可使對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)重合(從而可以推出任意對(duì)應(yīng)點(diǎn)都重合).

3．判定，就是研究?jī)蓚€(gè)三角形全等的充分條件.

仍然要先從三角形要素間的相互關(guān)系入手，就是要尋找三角形全等的最少條件：6個(gè)要素至少幾個(gè)對(duì)應(yīng)相等才能保證兩個(gè)三角形全等.同時(shí)，還要?dú)w納一下這些“最少條件”的共性.可以發(fā)現(xiàn)，SAS，ASA，SSS的共性是：三個(gè)要素，其中至少有一條對(duì)應(yīng)邊.當(dāng)然，還可以結(jié)合其他三角形性質(zhì)給出判定，如AAS.

無(wú)論是性質(zhì)還是判定，除了由三角形要素間的相互關(guān)系給出外，還可以由要素和相關(guān)要素的關(guān)系給出，這樣就可以得到大量命題.這些命題可以作為訓(xùn)練學(xué)生創(chuàng)新思維、邏輯推理能力的練習(xí)題.另外，從平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定開(kāi)始，對(duì)幾何圖形特殊的位置關(guān)系、一類(lèi)幾何對(duì)象中的特例，都可以從“命題-逆命題”的關(guān)系入手展開(kāi)探索與發(fā)現(xiàn)，這是培養(yǎng)學(xué)生“四能”，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題的契機(jī).

2.6 定性結(jié)論的應(yīng)用

1．尺規(guī)作圖的證明.

尺規(guī)作圖的證明是三角形的性質(zhì)、全等三角形定理等的直接應(yīng)用，其中最基本者自然是與基本幾何圖形及其相互關(guān)系相關(guān)的作圖.例如：作一個(gè)已知角的平分線(xiàn)，作一個(gè)角等于一個(gè)已知角，作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，給定三邊、兩邊一夾角或兩角一邊作一個(gè)三角形等等.

尺規(guī)作圖有點(diǎn)“自找麻煩”的味道，只能用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)，在承認(rèn)“五項(xiàng)前提”、有限次運(yùn)用“五項(xiàng)公法”而完成作圖，這樣的要求很苛刻，并且似乎沒(méi)有什么實(shí)用價(jià)值.但在數(shù)學(xué)史上，像倍立方、化圓為方、三等分角等幾何作圖難題對(duì)人類(lèi)智慧形成長(zhǎng)期挑戰(zhàn)，激發(fā)了數(shù)學(xué)家的好奇心，許多數(shù)學(xué)家致力于“幾何作圖不能問(wèn)題”的研究，并由此推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，這是尺規(guī)作圖研究中產(chǎn)生的一個(gè)始料不及的“副產(chǎn)品”.所以，從這個(gè)意義上，適當(dāng)?shù)剡x擇一些尺規(guī)作圖問(wèn)題以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，作為訓(xùn)練數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)素材也是可以的.事實(shí)上，幾何作圖對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀(guān)想象等素養(yǎng)是非常好的載體，作圖過(guò)程中的“分析”、“討論”等可以有效鍛煉思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性.

2．角平分線(xiàn)性質(zhì)定理、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理等的發(fā)現(xiàn)和證明.

這些性質(zhì)的證明難度不大，難點(diǎn)在如何發(fā)現(xiàn)性質(zhì).我們?nèi)砸浴皫缀螆D形組成要素的相互關(guān)系”為“引路人”，分析一下面臨的問(wèn)題.

如圖1(1)，以射線(xiàn)OP平分∠AOB即∠AOP=∠BOP為前提，研究角平分線(xiàn)的性質(zhì).

(1) (2) (3) (4)圖1

因?yàn)镺P的組成元素是點(diǎn)，射線(xiàn)OA，OB是∠AOB的組成元素，所以“OP上的點(diǎn)與OA，OB確定的關(guān)系就是角平分線(xiàn)的性質(zhì)”.明確這一點(diǎn)很重要，它指明了研究方向.由相交線(xiàn)的研究經(jīng)驗(yàn)，點(diǎn)與直線(xiàn)的關(guān)系中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是主題，于是我們可以把“確定的關(guān)系”進(jìn)一步明確為“OP上的點(diǎn)到OA，OB的距離PA，PB之間的關(guān)系”(如圖1(2)).結(jié)合∠AOP=∠BOP，容易得到猜想PA=PB.在此基礎(chǔ)上，可順理成章提出“∠AOB內(nèi)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)有什么位置關(guān)系？”另外，角平分線(xiàn)的性質(zhì)還可以有各種變式.例如，過(guò)OP上任意一點(diǎn)作OP的垂線(xiàn)(圖1(3))，或OA=OB則PA=PB(圖1(4))等.

線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)的研究思路與角平分線(xiàn)性質(zhì)類(lèi)似，不贅述.

說(shuō)明：對(duì)全等三角形的研究，按照“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的路徑展開(kāi).從“幾何圖形要素的相互關(guān)系就是性質(zhì)”的角度看，這里的性質(zhì)是定義的具體化，而“判定”則是給出三角形全等的“最少條件”，是性質(zhì)的逆定理.在“應(yīng)用”中，用全等三角形定理等證明有關(guān)性質(zhì)是一方面，更需要注意的是有關(guān)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).例如，如何想到“角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離”、“線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段端點(diǎn)的距離”等值得研究的問(wèn)題.

2.7 研究特殊三角形

我們知道，一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象中，“特例”的地位往往也是特殊的.發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的“特例”是深刻理解研究對(duì)象的重要一環(huán).一般而言，一種幾何對(duì)象的“特例”要從“要素或要素關(guān)系的特殊化”入手進(jìn)行抽象；研究的內(nèi)容是“特例”有哪些不同于“一般”的特殊性質(zhì)，以及“特例”的判定；研究路徑可以是“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”.

1．研究等腰三角形.

項(xiàng)武義認(rèn)為，等腰三角形是最基本的三角形，原因是它的對(duì)稱(chēng)性具體而入微地反映了平面的反射對(duì)稱(chēng)性，成為討論平面幾何中對(duì)稱(chēng)性的種種表現(xiàn)及推論的基本工具.所以，定性平面幾何的首要任務(wù)是推導(dǎo)等腰三角形的特征性質(zhì).[注]項(xiàng)武義. 基礎(chǔ)幾何學(xué)，人民教育出版社，2004年版，第16頁(yè).而特征性質(zhì)的推導(dǎo)中，指導(dǎo)思想仍然是“要素的相互關(guān)系”、“要素、相關(guān)要素的相互作用與聯(lián)系”，關(guān)鍵是搞清楚對(duì)稱(chēng)軸的特性.

圖2

(1)定義：如圖2，△ABC中，如果AC=BC，則稱(chēng)△ABC為等腰三角形，C為頂點(diǎn)，AC，BC為兩腰，AB為底邊.

(2)性質(zhì)：①AC=BC(定義)，②∠A=∠B，③∠C的平分線(xiàn)垂直底邊，④底邊的中線(xiàn)垂直底邊，⑤底邊的高平分∠C.

(3)判定：作為性質(zhì)定理的逆定理.因?yàn)橐陨细鳁l性質(zhì)都是可以利用SAS，ASA或SSS進(jìn)行等價(jià)互推的，所以性質(zhì)定理的逆定理都是成立的，這就得到了等腰三角形的判定定理.

(4)等腰三角形的特例——等邊三角形.

仍然按“要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系就是性質(zhì)”，在等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，考查等邊三角形特有的性質(zhì)：①等邊三角形的各角都等于60°；②各邊上的高、中線(xiàn)、垂直平分線(xiàn)以及相對(duì)頂點(diǎn)的角平分線(xiàn)重合；③重心、垂心、內(nèi)心、外心重合——等邊三角形的中心；④等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和為定值；等等.

上述性質(zhì)定理的逆命題成立，再聯(lián)系相關(guān)知識(shí)作出簡(jiǎn)潔表達(dá)，即可得等邊三角形的判定定理，例如三個(gè)角都相等的三角形(或有一個(gè)角是60°的等腰三角形)是等邊三角形.

(5)應(yīng)用.等腰三角形的特征性質(zhì)是明顯的，學(xué)生通過(guò)觀(guān)察測(cè)量、翻折操作就容易得出猜想，性質(zhì)的證明也不難，只要利用頂角平分線(xiàn)(對(duì)稱(chēng)軸)，用SAS，ASA就可以了.關(guān)鍵是如何通過(guò)教材和教學(xué)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)到等腰三角形在定性平面幾何研究中的基本工具地位，這就是在“應(yīng)用”中要考慮的主題.有兩條思路，一是像目前許多老師做的那樣，讓學(xué)生做大量復(fù)雜的題目，因?yàn)檫@樣的題目很多，所以學(xué)生的負(fù)擔(dān)很重；二是讓學(xué)生回過(guò)頭來(lái)，用等腰三角形的性質(zhì)去證明SSS、角平分線(xiàn)定理、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)定理、大邊(角)對(duì)大角(邊)、三角形的外角大于不相鄰內(nèi)角、三角形兩邊之和大于第三邊等平面幾何的基本定理，而且像尺規(guī)作圖那樣對(duì)方法做一點(diǎn)限制(例如盡量不用平行線(xiàn)性質(zhì)).我認(rèn)為第二條思路是值得重視的，這樣可以讓學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的整體性、聯(lián)系性，體會(huì)像等腰三角形這樣的核心知識(shí)的力量，體會(huì)由數(shù)學(xué)知識(shí)的層次性所決定的系統(tǒng)性，對(duì)學(xué)生的智力也有足夠的挑戰(zhàn)性，而且可以切實(shí)減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感受也會(huì)好得多.

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程看，“應(yīng)用”的目的是促使學(xué)生深入理解概念，使知識(shí)融會(huì)貫通，主要通過(guò)解題完成.解題要把握量和質(zhì)的平衡，當(dāng)前的問(wèn)題是量太大而質(zhì)不高，人為制造、細(xì)枝末節(jié)、繁瑣復(fù)雜的題目充斥課堂，學(xué)生做大量題目但對(duì)數(shù)學(xué)到底是研究什么的知之甚少.

2．研究直角三角形.

仍然沿用“要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)”的思想，可以發(fā)現(xiàn)直角三角形的定性性質(zhì)比較“平凡”：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.而“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”，這個(gè)性質(zhì)放到矩形中更容易發(fā)現(xiàn).直角三角形的判定也同樣“平凡”：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(除用SAS證明外)、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，這兩條放在勾股定理中看，就是a2+b2=c2這個(gè)等式中任給兩個(gè)字母的值就可以唯一確定第三個(gè)字母值的幾何解釋.

顯然，直角三角形的不平凡在于勾股定理，而勾股定理的重要性則在于它在定量幾何中所扮演的奠基性角色.前文已述，“直”是直線(xiàn)的根本特性，“平”是平面的根本特性，歐氏幾何的根基就在這“直”和“平”里，數(shù)學(xué)家們用“公理”(平行公理、平面三公理等)給出了“平”“直”的基本特征(用直線(xiàn)上點(diǎn)之間的相互關(guān)系刻畫(huà)直線(xiàn)的“直”，用平面上的點(diǎn)、直線(xiàn)之間的相互關(guān)系刻畫(huà)平面的“平”).事實(shí)上，“公理”可以有等價(jià)定義，例如：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且僅有一條平行線(xiàn)，三角形內(nèi)角和為180°，勾股定理，多邊形外角和為360°，圓的周長(zhǎng)與直徑之比為π，同弧所對(duì)圓心角是圓周角的2倍.其中，勾股定理是度量直線(xiàn)段長(zhǎng)度的工具，而直線(xiàn)段長(zhǎng)度的度量則是定量幾何研究的起點(diǎn)和基礎(chǔ)所在.

在21世紀(jì)初開(kāi)始實(shí)施的課程標(biāo)準(zhǔn)要求“探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”.從教材編寫(xiě)和教學(xué)實(shí)踐看，大多是按照如下過(guò)程安排“探究”：

圖3

(1)圖3中三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系？等腰直角三角形的三邊是否都有這樣的關(guān)系？

(2)等腰直角三角形有“斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”，其他的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？圖4中，每個(gè)小方格的面積均為1，分別算出圖中正方形A，B，C，A′，B′，C′的面積，能得出同樣的結(jié)論嗎？

(3)對(duì)任意直角三角形是否都有“斜邊的平方等于兩直角邊的平方和”？

圖4

我認(rèn)為，上述“探究”沒(méi)有數(shù)學(xué)的含金量，對(duì)學(xué)生的思維也沒(méi)有挑戰(zhàn)性，其中的關(guān)鍵點(diǎn)是“告訴式”給出的.如果有學(xué)生問(wèn)：“你是如何想到要去計(jì)算這些面積的？”顯然，這是一個(gè)更關(guān)鍵的問(wèn)題，是真正具有探究?jī)r(jià)值的，但已超出初中學(xué)生的能力范圍.

我認(rèn)為，在“要素、相關(guān)要素之間的相互關(guān)系就是性質(zhì)”的引領(lǐng)下，發(fā)現(xiàn)三角形的各種定性性質(zhì)有“基本套路”，但勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明具有很強(qiáng)的構(gòu)造性，如果沒(méi)有畢達(dá)哥拉斯那樣對(duì)圖形關(guān)系的高度敏感性和好運(yùn)氣，那么要發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的平方關(guān)系是很難的.所以，在初中課程中，可以將內(nèi)容和要求改為“探索勾股定理及其逆定理的證明方法”.

2.8 研究三角形的定量性質(zhì)

三角形的定量性質(zhì)中，勾股定理具有基本的重要性.另外，三角形的面積公式、相似三角形的性質(zhì)也是最基本的.由SAS，ASA，SSS可知，三角形的形狀、大小由這三組要素分別唯一確定.從定量角度看，就是三角形的三邊邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、高、外徑、內(nèi)徑等任意的幾何量都可以用這三組要素分別表示.這就是三角形定量性質(zhì)所要研究的主要問(wèn)題.

1．幾何度量課程設(shè)計(jì)及學(xué)習(xí)過(guò)程分析.

(1)幾何度量的內(nèi)容分析

(2)幾何度量的課程教材設(shè)計(jì)

顯然，如果從發(fā)揮定量幾何的育人功能看，先讓學(xué)生解決與單位長(zhǎng)可公度的線(xiàn)段長(zhǎng)、矩形面積公式等問(wèn)題，了解幾何度量的基本思想，積累相應(yīng)的直觀(guān)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)用公式解決一些度量計(jì)算或?qū)嶋H問(wèn)題，在學(xué)生掌握了極限理論和逼近法后，再重新提出幾何度量問(wèn)題，引入不可公度性，并用逼近法對(duì)有關(guān)定理和公式進(jìn)行“補(bǔ)充證明”，使之達(dá)到嚴(yán)密化.這是一種比較理想的課程設(shè)計(jì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生循序漸進(jìn)地認(rèn)識(shí)幾何度量理論，并能在此過(guò)程中有效地發(fā)展學(xué)生的理性思維.但我國(guó)現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)是：小學(xué)階段學(xué)習(xí)線(xiàn)段、面積的度量，提出了“經(jīng)歷用不同方式測(cè)量物體長(zhǎng)度的過(guò)程，體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性，在實(shí)踐活動(dòng)中體會(huì)并認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位”，“探索并掌握長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的面積公式”的要求；高中階段要求“知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式”(不需要進(jìn)行理論證明)；大學(xué)對(duì)幾何度量理論不再專(zhuān)門(mén)研究.所以，在我國(guó)的數(shù)學(xué)課程中，幾何度量課程基本上是“模糊處理”了，學(xué)生沒(méi)有機(jī)會(huì)接觸“可不可公度”這樣涉及空間連續(xù)性本質(zhì)的問(wèn)題，實(shí)際上中小學(xué)教師對(duì)這個(gè)問(wèn)題也基本上是不了解的.

到底該如何有層次地設(shè)計(jì)幾何度量課程，這是一個(gè)問(wèn)題.

(3)幾何度量學(xué)習(xí)過(guò)程分析

下面簡(jiǎn)要分析一下建立在直覺(jué)基礎(chǔ)上、不涉及不可公度性的幾何度量學(xué)習(xí)過(guò)程.認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度、角度、面積、體積等，一般都經(jīng)歷下述五個(gè)階段：

①量的初步認(rèn)識(shí)，即直觀(guān)感知“量”，直觀(guān)或直接比較“量”的大??；

②量的間接比較，即用非標(biāo)準(zhǔn)單位或用另一個(gè)量為“中介”比較；

③提出統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的思想，認(rèn)識(shí)國(guó)際通用單位并用其描述大??；

④?chē)?guó)際通用單位體系的認(rèn)識(shí)與換算；

⑤利用公式求量的大小(只有面積和體積有此階段).

之所以有相同的認(rèn)識(shí)過(guò)程，是因?yàn)檫@些幾何量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，核心要素有兩點(diǎn)：一是度量單位，這是一個(gè)從不標(biāo)準(zhǔn)單位到標(biāo)準(zhǔn)單位，最終形成單位體系的過(guò)程；二是單位的個(gè)數(shù)就是量的大小.當(dāng)然，其背后的理論基礎(chǔ)則是運(yùn)動(dòng)不變性、疊合性、有限可加(減)性以及不可公度性等度量的基本性質(zhì).

(4)面積的學(xué)習(xí)過(guò)程

根據(jù)以上過(guò)程，我們可以這樣安排“面積”的學(xué)習(xí)線(xiàn)索：

第一步，直觀(guān)認(rèn)識(shí)平面圖形有大小之分，一個(gè)平面圖形的大小可以用數(shù)來(lái)表示，叫做這個(gè)圖形的面積(不涉及曲面).

第二步，規(guī)定邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形的面積為1.直觀(guān)上，任意移動(dòng)這個(gè)正方形，其大小不會(huì)變化.

第三步，兩個(gè)單位正方形如果不重疊，它們的面積之和是2.把邊長(zhǎng)為自然數(shù)a和b的矩形劃分為邊長(zhǎng)為1的單位正方形的組合，用數(shù)格子的方法得出面積為ab.

第四步，默認(rèn)邊長(zhǎng)為分?jǐn)?shù)的矩形，其面積仍然是長(zhǎng)×寬.

第五步，通過(guò)截割、平移、拼接等，求平行四邊形、三角形的面積.

上述過(guò)程蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，可以積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注的是怎樣通過(guò)“數(shù)數(shù)”的方法，用一個(gè)“數(shù)”確定一個(gè)幾何圖形(線(xiàn)段、平面圖形、角等)的大小，滲透著度量的性質(zhì)(運(yùn)動(dòng)不變、有限可加性等).

2．研究相似三角形.

兩個(gè)圖形相似，是對(duì)“形狀相同”的數(shù)學(xué)刻畫(huà)，其落腳點(diǎn)仍然在圖形組成要素的相互關(guān)系上，而且是用一個(gè)“數(shù)”來(lái)表示這種關(guān)系的.《幾何原本》對(duì)相似直線(xiàn)形(即多邊形)的定義是：“凡直線(xiàn)形，若它們的角對(duì)應(yīng)相等且?jiàn)A等角的邊成比例，則稱(chēng)它們是相似直線(xiàn)形”.[注]歐幾里得. 幾何原本，蘭紀(jì)正 朱恩寬，譯-2版，西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003，151頁(yè).在此定義下研究相似三角形.另外，相似三角形邊長(zhǎng)比例式要利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，而平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的證明又要利用線(xiàn)段的不可公度性.

(1)從平行分割到相似三角形的判定.如果我們用運(yùn)動(dòng)的眼光看平行線(xiàn)段分割線(xiàn)段圖形，可以得到圖5，進(jìn)而得出：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.進(jìn)一步地，又容易得出：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.這樣就完成了相似三角形的奠基.

圖5

另外，如果兩個(gè)三角形相似，那么我們可以通過(guò)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)或翻折，將一個(gè)三角形疊放到另一個(gè)三角形上，而使其中一個(gè)角相互疊合，這個(gè)角的對(duì)邊相互平行，如圖6所示.這樣，我們就可以像全等三角形那樣，通過(guò)三角形要素間的相互關(guān)系給出相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.特別地，對(duì)于直角三角形也有與全等三角形類(lèi)似的“斜邊、直角邊分別成比例的兩個(gè)直角三角形相似”.

(2)相似三角形的性質(zhì)中，關(guān)于三角形的要素(邊、角)之間的定量關(guān)系已經(jīng)由定義給出.所以可以把思路放得更寬一些，研究相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比、面積比等與相似比這一“基本量”的關(guān)系，也就是說(shuō)，把其他量表示為相似比的函數(shù).

從認(rèn)知的角度看，因?yàn)橹罢莆盏闹R(shí)、學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想和方法以及積累的幾何研究經(jīng)驗(yàn)(數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn))足以支持學(xué)生獨(dú)立自主地研究相似三角形的性質(zhì)，所以從課題的提出、研究?jī)?nèi)容的確定到研究路徑的建立，再到各種各樣性質(zhì)的探究與證明，都可以由學(xué)生自主完成.事實(shí)上，無(wú)論是教材還是教學(xué)，相似三角形的性質(zhì)都可以在單元整體設(shè)計(jì)思想的指導(dǎo)下，處理成探究性學(xué)習(xí)課題.

以上內(nèi)容，通過(guò)與全等三角形類(lèi)比，得出相似三角形判定、性質(zhì)的猜想并給出證明不算困難，難點(diǎn)是建立相似三角形的研究基礎(chǔ)——比例論.顯然，難點(diǎn)的突破可以有力地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，但對(duì)一般學(xué)生而言，過(guò)分強(qiáng)調(diào)理論的嚴(yán)格性可能是不合適的.因此，對(duì)“平行分割”的處理，可以讓學(xué)生通過(guò)直觀(guān)感知、操作確認(rèn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)，建立比例的相關(guān)知識(shí)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等的基本理解，并可以通過(guò)與數(shù)系擴(kuò)充(從有理數(shù)到實(shí)數(shù))類(lèi)比的方式，讓學(xué)生感受線(xiàn)段的不可公度性，培養(yǎng)直觀(guān)想象素養(yǎng).在此基礎(chǔ)上，把重點(diǎn)放在“明確問(wèn)題—確定內(nèi)容—構(gòu)建路徑—實(shí)施探究—形成結(jié)果—梳理體系”上，在“平行分割—對(duì)三角形的平行分割(作平行于三角形一邊的平行線(xiàn))—相似三角形判定的猜想與證明”的各關(guān)節(jié)點(diǎn)上加強(qiáng)“情境—問(wèn)題”的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展系列化的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，相似三角形的性質(zhì)則作為單元主題探究活動(dòng)，讓學(xué)生獨(dú)立完成.

(3)關(guān)于習(xí)題的選擇.因?yàn)樵诖酥皩W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了較多的幾何知識(shí)，通過(guò)知識(shí)的聯(lián)系、變式等可以產(chǎn)生大量的題目，所以必須認(rèn)真考慮如何選擇練習(xí)題的問(wèn)題.鞏固知識(shí)的基礎(chǔ)題當(dāng)然是重要的，但含金量高[注]數(shù)學(xué)題的質(zhì)量應(yīng)該有一些基本指標(biāo)，例如：在深化理解、建立聯(lián)系、發(fā)展概念、促進(jìn)思維及建立良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方面有 較好作用.的數(shù)學(xué)題往往有一定的難度，需要絞盡腦汁，但一旦通過(guò)持之以恒的努力獲得突破，那么就會(huì)有融會(huì)貫通、一通百通之效，而有的題則做再多也無(wú)濟(jì)于事.這里，三角形中位線(xiàn)定理、重心的性質(zhì)、內(nèi)(外)角平分線(xiàn)的性質(zhì)、Menelous定理、Ceva定理等等，都可作為練習(xí)題，也可以設(shè)計(jì)一些作圖題，還可以在限定某些條件或方法下證明有關(guān)定理(例如用面積法證明三角形相似定理).

3．從相似三角形到三角比

(1)從定性到定量.這里實(shí)際上是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、明確研究路徑的過(guò)程.前面討論的三角形定量性質(zhì)，聚焦在邊與邊、角與角各自的定量關(guān)系上.進(jìn)一步的問(wèn)題是，三角形的邊與角之間是否存在定量關(guān)系呢？由SAS，ASA，SSS可知，三角形的形狀、大小已經(jīng)由這三組要素分別唯一確定，所以我們可以定性地得出結(jié)論：三角形的邊與角之間存在確定的定量關(guān)系，例如由SAS可知，a，B，C都可以由給定的b，A，c唯一確定.

那么，三角形的邊和角有怎樣的定量關(guān)系呢？由“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”可知，由“對(duì)應(yīng)角相等”可以確定“對(duì)應(yīng)邊成比例”；由“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”可知，由“對(duì)應(yīng)邊成比例”可以確定“對(duì)應(yīng)角相等”.所以，我們可以通過(guò)研究“邊之比”與“角”之間的關(guān)系得出三角形的邊與角之間的定量關(guān)系.

(2)直角三角形的邊角關(guān)系.在三角形中，“邊之比”與角之間的關(guān)系最明顯的是直角三角形.以往的定性結(jié)論中有“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半”.換一種表述方法，我們有：

受上述結(jié)論啟發(fā)，一個(gè)合理的猜想是：

這個(gè)猜想很容易由“有一個(gè)銳角相等的直角三角形相似”得到證明.

一般地，我們有：

這里，雖然只是“換一種表述”，但卻賦予了相似比以新的數(shù)學(xué)含義，這就是“數(shù)學(xué)眼光”的威力.在此過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想、看問(wèn)題的角度或觀(guān)點(diǎn)發(fā)揮著決定性作用，這是我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會(huì)的.

(3)一般三角形的邊角關(guān)系，我們只要利用三角形的高，就可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題.例如：

圖7

圖8

由正弦定理就可以解ASA條件下的三角形了.

如圖8，有c=bcosA+acosB；a=ccosB+bcosC；b=acosC+ccosA.以cosA，cosB，cosC為未知元，解三元一次方程組，可得余弦定理：

以上定理是基于銳角三角形推理而得的，對(duì)于鈍角三角形，需要先有鈍角三角形函數(shù)與銳角三角函數(shù)的關(guān)系式：

其中A是鈍角.

在上述討論中，因?yàn)槊娣e是基本而重要的幾何量，三角形面積公式又很容易由銳角三角函數(shù)得出，而正弦定理就是面積等式的推論，因此正弦定理的推導(dǎo)應(yīng)首選這個(gè)方法.

上述關(guān)系式以及正弦定理、余弦定理，在銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，很容易通過(guò)三角形的高這個(gè)媒介而得到.所以，將正弦定理、余弦定理納入初中數(shù)學(xué)內(nèi)容，使任意三角形可解，這是非常值得考慮的.事實(shí)上，目前小學(xué)、高中的數(shù)學(xué)內(nèi)容偏多，而初中的內(nèi)容相對(duì)偏少，把解三角形的內(nèi)容放在初中(其實(shí)這一內(nèi)容在以往曾經(jīng)放在初中)，可以緩解這個(gè)矛盾.

3 小結(jié)

以上我們以研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在邏輯為線(xiàn)索，從研究?jī)?nèi)容以及研究路徑的確定、抽象研究對(duì)象的數(shù)學(xué)方式、幾何圖形的性質(zhì)及其層次、幾何圖形性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和證明等角度對(duì)研究三角形的過(guò)程中所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行了概要分析，并以此為依據(jù)闡釋了相關(guān)內(nèi)容的育人價(jià)值，在分析的過(guò)程中順便對(duì)初中平面幾何課程內(nèi)容的選擇、教材的設(shè)計(jì)、教學(xué)內(nèi)容的處理(如將第四層次的性質(zhì)作為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)、把“探究勾股定理”改為“探究勾股定理的證明”、相似三角形的單元整體設(shè)計(jì)、正弦定理和余弦定理的內(nèi)容安排等)、習(xí)題的選擇與安排以及課堂教學(xué)中應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題等進(jìn)行了討論.筆者始終堅(jiān)信，學(xué)科育人要依靠學(xué)科的內(nèi)在力量，而數(shù)學(xué)學(xué)科的育人力量就蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)內(nèi)容之中，因此教師的專(zhuān)業(yè)水平首先體現(xiàn)在挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的育人資源上，其中對(duì)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和研究數(shù)學(xué)對(duì)象的過(guò)程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維方式方法的理解和教學(xué)解讀又成為關(guān)鍵.

事實(shí)上，本文試圖從數(shù)學(xué)思維方式的角度給出一個(gè)解析數(shù)學(xué)內(nèi)容的框架.從中可以發(fā)現(xiàn)，在解析教學(xué)內(nèi)容的過(guò)程中，為了提升對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)水平，我們必須對(duì)一些具有統(tǒng)攝性的“一般觀(guān)念”(big idea)有基本把握.例如：如何抽象一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象(例如，對(duì)于幾何對(duì)象，要從分析典型事例的組成要素及其基本關(guān)系入手)；數(shù)學(xué)對(duì)象的定義方式；幾何圖形的性質(zhì)指什么；代數(shù)性質(zhì)指什么；函數(shù)性質(zhì)指什么；概率性質(zhì)指什么；等等.在“一般觀(guān)念”的指導(dǎo)下，循著“教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)涵——由內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法——當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容的上、下位知識(shí)(明確知識(shí)的來(lái)龍去脈)——內(nèi)容的育人價(jià)值”的路徑，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入細(xì)致的解析.在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)，展開(kāi)數(shù)學(xué)育人，其基本途徑則應(yīng)是：以數(shù)學(xué)知識(shí)技能為載體，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問(wèn)題情境，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，讓學(xué)生開(kāi)展獨(dú)立思考、自主探究、合作交流活動(dòng)，獲得“四基”、提高“四能”，形成數(shù)學(xué)的思維方式，培養(yǎng)理性思維和科學(xué)精神.其中，圍繞真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展有數(shù)學(xué)含金量的教學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生在獨(dú)立思考的過(guò)程中形成數(shù)學(xué)的思維方式，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，又應(yīng)是重中之重.而真正的數(shù)學(xué)問(wèn)題、有數(shù)學(xué)含金量的教學(xué)活動(dòng)又依賴(lài)于教師的數(shù)學(xué)理解水平.所以，歸根到底，教師扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功、對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體架構(gòu)的把握，是搞好數(shù)學(xué)教學(xué)、落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵基礎(chǔ).缺少這個(gè)，其他一切免談.這就是我們強(qiáng)調(diào)“四個(gè)理解”中，“理解數(shù)學(xué)”居于首位的理由.