嚴(yán)冬 王彬彬 白文杰 劉兵 杜秀國 任春年

1) (長春大學(xué)理學(xué)院,材料設(shè)計(jì)與量子模擬實(shí)驗(yàn)室,長春 130022)

2) (長春科技學(xué)院基礎(chǔ)部,長春 130000)

3) (青島科技大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,青島 266046)

本文在典型的里德伯電磁感應(yīng)透明系統(tǒng)中研究弱探測場在相互作用原子系統(tǒng)中的傳播特性,重點(diǎn)關(guān)注基于偶極阻塞效應(yīng)的探測場相位的合作光學(xué)非線性行為.通過與探測場透射率和光子關(guān)聯(lián)作對(duì)比,發(fā)現(xiàn)相位的光學(xué)響應(yīng)具有新特性： 共振和Autler-Townes劈裂條件下相位對(duì)入射場強(qiáng)和初始光子關(guān)聯(lián)不敏感,而在兩者之間的頻率范圍內(nèi)相位響應(yīng)具有非線性特征,尤其在經(jīng)典光頻率處最顯著.此外,提高主量子數(shù)和原子密度都會(huì)促進(jìn)相位的非線性效應(yīng).綜上,與探測場透射率和光子關(guān)聯(lián)一樣,相位可以作為合作光學(xué)非線性的另一個(gè)標(biāo)識(shí)來刻畫非線性現(xiàn)象,對(duì)里德伯電磁感應(yīng)透明研究是一個(gè)有力的補(bǔ)充.

1 引言

電磁感應(yīng)透明(electromagnetically induced transparency,EIT)本質(zhì)上是原子與激光場相互作用引起的量子干涉效應(yīng),理論上具有零吸收、強(qiáng)色散的典型特點(diǎn)[1,2],因此被廣泛應(yīng)用于操控原子介質(zhì)的光學(xué)特性[3].例如,實(shí)現(xiàn)顯著的光群速度減慢[4-6],高效率的光信息可逆存儲(chǔ)[7-9],單光子脈沖的量子通信[10,11],全光電磁誘導(dǎo)的光柵[12],光子晶體[13,14],光開關(guān)和光路由[15,16]等,這些研究應(yīng)用在量子光學(xué)與量子信息領(lǐng)域具有非常重要的作用和價(jià)值.

以上研究和應(yīng)用中所涉及的原子系綜均為獨(dú)立原子系綜,即忽略了原子之間的相互作用和耦合.目前,對(duì)EIT的研究應(yīng)用已經(jīng)拓展到強(qiáng)相互作用的超冷里德伯原子領(lǐng)域,結(jié)合里德伯原子特性的EIT技術(shù)產(chǎn)生一批更為重要的應(yīng)用.例如： 實(shí)現(xiàn)光子相位門[17],高分辨率的光譜探測[18],單光子水平的光學(xué)操控[19,20]和單光子元器件[21-25],凸顯出里德伯EIT技術(shù)在前沿光學(xué)研究與量子信息領(lǐng)域的重要性.

一方面,里德伯原子間強(qiáng)烈的長程偶極-偶極相互作用會(huì)映射到EIT的光譜上,產(chǎn)生依賴探測場強(qiáng)度與光子統(tǒng)計(jì)特征的合作光學(xué)非線性效應(yīng),具體表現(xiàn)在探測場透射率和光子關(guān)聯(lián)的光學(xué)響應(yīng)上[26-32].另一方面,在涉及里德伯原子的電磁感應(yīng)光柵中觀察到相位的集體合作非線性效應(yīng),即探測場相位對(duì)入射場強(qiáng)和光子關(guān)聯(lián)具有強(qiáng)烈的敏感性[33].但是在EIT研究中,鮮有涉及此類非線性的相位研究.特別地,在量子光學(xué)和量子信息領(lǐng)域,相位本身就扮演著非常重要的角色,具有不可或缺的地位[3].

本文考慮最典型的里德伯電磁感應(yīng)模型,即在三能級(jí)梯形原子結(jié)構(gòu)中考察強(qiáng)相干場作用下弱探測場在一維超冷原子介質(zhì)中的穩(wěn)態(tài)傳播行為,重點(diǎn)研究探測場相位的非線性光學(xué)響應(yīng)特征.通過與另外兩種已知的合作光學(xué)非線性標(biāo)識(shí)-探測場透射率和光子關(guān)聯(lián)做對(duì)比研究,發(fā)現(xiàn)探測場相位也具有明顯的依賴入射場強(qiáng)和關(guān)聯(lián)的非線性行為.但是與其他兩類標(biāo)識(shí)明顯不同,最典型的是共振處觀察不到相位的非線性特征,而最顯著的相位非線性特征卻發(fā)生在經(jīng)典光頻率處.探究相位的非線性特性,對(duì)相互作用原子系統(tǒng)中EIT研究是個(gè)有力的補(bǔ)充,推動(dòng)單光子水平的量子操控研究以及新現(xiàn)象、新技術(shù)的開發(fā).

文章結(jié)構(gòu)如下： 第2節(jié)介紹系統(tǒng)模型,進(jìn)而給出描述系統(tǒng)演化的動(dòng)力學(xué)方程; 第3節(jié)推導(dǎo)超級(jí)原子滿足的條件極化率和探測場強(qiáng)度、二階關(guān)聯(lián)函數(shù)以及探測場相位滿足的傳播方程; 第4節(jié)進(jìn)行數(shù)值結(jié)果分析與討論; 最后為總結(jié).

2 系統(tǒng)模型與動(dòng)力學(xué)方程

如圖1所示,本文研究強(qiáng)控制場相干作用下的弱量子探測場在一維冷原子系綜中傳播的透射光學(xué)響應(yīng).|g〉為原子基態(tài),|e〉為激發(fā)態(tài),|r〉為高激發(fā)里德伯態(tài).控制場?c相干驅(qū)動(dòng)|e 〉?|r〉躍遷,為單光子失諧,ωc和ωre分別為控制場頻率和對(duì)應(yīng)的能級(jí)躍遷頻率.量子探測場相干作用在|g 〉?|e〉躍遷上,其中為耦合強(qiáng)度為湮滅算符,?ge代表原子躍遷的電偶極矩,ε0為真空介電常數(shù).?p=ωp-ωeg為單光子探測失諧,其中 ωp和ωeg分別為探測場頻率和對(duì)應(yīng)的能級(jí)躍遷頻率.當(dāng)兩個(gè)相距為 R 的冷原子同時(shí)激發(fā)到里德伯態(tài)|r〉上,它們之間的相互作用表示為van der Waals (vdW)勢V=?C6/R6,其中C6為vdW系數(shù).這樣,系統(tǒng)總的哈密頓寫為

前者為原子與激光光場之間的相互作用哈密頓：

圖1 (a)量子探測場 在控制場 相干作用下的一維冷原子系綜中傳播,原子系綜可以看作是由獨(dú)立的超級(jí)原子構(gòu)成的; (b)左側(cè)為具有vdW 相互作用的三能級(jí)原子結(jié)構(gòu)圖; 右側(cè)為等價(jià)的無相互作用超級(jí)原子能級(jí)結(jié)構(gòu)圖Fig.1.(a) Under the control of a classical field ,a quantum probe field propagates in a one-dimensional cold atomic ensemble of non-interacting superatoms.(b) Left,level structure of the three-level interacting cold atoms described by a vdW potential; right,an equivalent energy level structure of a non-interacting superatom.

后者為原子間相互作用哈密頓：

式中 Rij為第i個(gè)原子與第j個(gè)原子之間的距離;N為原子個(gè)數(shù).當(dāng) m=n 時(shí)g,e,r )代表第i個(gè)原子的投影算符,而 m /=n 時(shí)則為原子躍遷算符.

基于平均場近似,原子躍遷部分可以用算符的平均值來描述： z 處小體積元內(nèi)所有原子躍遷算符的平均值為這樣,當(dāng)量子探測場在一維原子介質(zhì)中傳播,描述系統(tǒng)空間分布和時(shí)間演化的海森伯-郎之萬方程為：

其中 γe和γr分別為對(duì)應(yīng)能級(jí)的相干弛豫速率;(z)為vdW相互作用引起的能級(jí)移動(dòng),在這里轉(zhuǎn)化為|g 〉?|r〉躍遷的雙光子失諧.需要強(qiáng)調(diào)的是,(4)式中已經(jīng)考慮了以下兩個(gè)條件： 第一,大多數(shù)原子在基態(tài)布居; 第二,探測場為弱場.因此在傳播過程中有所以原本在(4)式中出現(xiàn)的躍遷算符平均值自然也可以忽略不計(jì).

當(dāng)原子被足夠強(qiáng)的激光場相干照射,由于偶極-偶極相互作用,一定空間內(nèi)出現(xiàn)不超過一個(gè)里德伯激發(fā)的現(xiàn)象稱為偶極阻塞效應(yīng)(dipole blockade effect).對(duì)于如圖1(b)所示的三能級(jí)梯形原子系統(tǒng),其偶極阻塞半徑利用嚴(yán)格的偶極阻塞效應(yīng)可以定義超級(jí)原子： 由于阻塞體積內(nèi)至多只有一個(gè)原子處于里德伯態(tài),所以大多數(shù)原子行為與二能級(jí)原子一致,進(jìn)而將阻塞區(qū)域內(nèi)所有原子看作一個(gè)具有集體行為的大原子,稱這個(gè)大原子為超級(jí)原子.這樣做的好處是超級(jí)原子之間的相互作用可以忽略不計(jì),從而大大降低多體原子系統(tǒng)希爾伯特空間的維度,簡化計(jì)算和降低計(jì)算難度.基于偶極阻塞效應(yīng)和弱探測場條件,用以下3個(gè)集體態(tài)： 超級(jí)原子基態(tài)超級(jí)原子激發(fā)態(tài)和超級(jí)原子里德伯態(tài)足可以描述超級(jí)原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)(如圖1(b)所示).需要強(qiáng)調(diào)的是,超級(jí)原子能級(jí)結(jié)構(gòu)與超級(jí)原子形狀無關(guān),只取決于原子間的有效躍遷.在此基礎(chǔ)上,定義超級(jí)原子的躍遷算符和投影算符要獲得超級(jí)原子滿足的海森伯-郎之萬方程,只需將(4)式中的單原子算符用對(duì)應(yīng)的超級(jí)原子算符替代,同時(shí)探測拉比頻率算符變?yōu)樵鰪?qiáng)的即可.

3 條件極化率與探測場傳播方程

其中二能級(jí)原子極化率：

和三能級(jí)原子極化率

因?yàn)槔湓咏橘|(zhì)具有各向異性,所以探測場的光學(xué)響應(yīng)會(huì)隨著位置發(fā)生變化,穩(wěn)態(tài)探測場強(qiáng)度滿足傳播方程：

探測場在傳播過程中,其光子關(guān)聯(lián)也會(huì)發(fā)生改變.二階關(guān)聯(lián)函數(shù)滿足傳播方程：

在此基礎(chǔ)上,需要將(5),(8)式以及(9),(10)式中涉及探測場的部分全部換成既有強(qiáng)度又考慮關(guān)聯(lián)的形式這樣既能利用平均場理論簡化多體問題的難度,又能最大程度地考慮到探測場的量子關(guān)聯(lián)屬性.

聯(lián)立探測場強(qiáng)度、二階關(guān)聯(lián)函數(shù)以及探測場相位滿足的耦合方程組(5)—(11),同時(shí)給定方程初值,即處探測場的利用統(tǒng)計(jì)手段來求解： 首先將長度為的一維原子樣品平均分成片段,這樣做的目的是保證每一片段只包含一個(gè)超級(jí)原子,在每一個(gè)超級(jí)原子中通過Monte-Carlo采樣判斷里德伯原子激發(fā)概率直到最后一個(gè)里德伯原子.重復(fù)多次并取平均值,能夠獲得量子探測場穿過冷原子樣品的穩(wěn)態(tài)透射率、二階關(guān)聯(lián)函數(shù)值以及探測場相位值.

4 數(shù)值結(jié)果討論與分析

考慮實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的可行性,這里采用實(shí)際的實(shí)驗(yàn)參數(shù)來進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,然后進(jìn)行理論分析與討論.在超冷87Rb原子中,選取 5S1/2|F=2,mF=2〉、5P3/2|F=3,mF=3〉和 70S1/2分別對(duì)應(yīng)于圖1(b)中的基態(tài)|g〉、激發(fā)態(tài)|e〉和里德伯態(tài)|r〉.弛豫速率γe=3.0 MHz和γr=0.02 MHz.原子密度為ρ(z)=1.5×107mm-3,樣品長度為 L=1.5 mm,vdW系數(shù)C6/(2π)=8.8×1011s-1·μm6,其他具體參數(shù)見圖下文字說明.

首先掃描探測場來觀察透射光譜.圖2(a)和(b)顯示,當(dāng)入射探測場拉比頻率 ?p(0) 很弱時(shí),共振頻率處透射率Ip(L)/Ip(0)≈1,而Autler-Townes (AT) 劈裂處,即 ?p=±?c有Ip(L)/Ip(0)≈0,并且透射光一直為經(jīng)典光表現(xiàn)為典型的線性EIT.隨著入射探測場拉比頻率增大到?p(0)/(2π)=0.3 MHz,出現(xiàn)明顯的合作光學(xué)非線性效應(yīng),具體表現(xiàn)為： 共振頻率處有明顯的吸收現(xiàn)象,透明窗口由透明轉(zhuǎn)為部分透明,對(duì)應(yīng)的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)也從經(jīng)典光變?yōu)榉淳凼馓貏e地,AT劈裂處則變?yōu)榫凼膺M(jìn)一步增大入射場強(qiáng),非線性效應(yīng)更加明顯,說明在未飽和之前,合作光學(xué)非線性效應(yīng)是強(qiáng)烈依賴于入射探測場強(qiáng)度的.從圖2(c)可以看出,與探測場透射率和二階關(guān)聯(lián)函數(shù)相比,探測場相位也表現(xiàn)出明顯依賴于入射場強(qiáng)的非線性特性,但是又有明顯差異,體現(xiàn)出獨(dú)特的非線性效應(yīng).具體來說,在共振頻率和AT劈裂處,前者相位?p(L)=0保持不變而后者不敏感.介于二者之間的頻率區(qū)域才顯示出非線性效應(yīng),特別突出的是在?p≈1.4 MHz(?p≈-1.4 MHz )出現(xiàn)極大值(極小值)并且表現(xiàn)出明顯的入射場強(qiáng)敏感性： 隨著入射場強(qiáng)的增加,極大值變小而極小值變大.需要強(qiáng)調(diào)的是,?p≈± 1 .4 MHz 對(duì)應(yīng)于經(jīng)典光與其他兩種非線性標(biāo)識(shí)一樣,相位的非線性特征也來源于條件極化率.當(dāng)探測場極弱的時(shí)候,根本不存在里德伯激發(fā),表現(xiàn)為三能級(jí)透明結(jié)構(gòu)的相位,而當(dāng)探測場足夠強(qiáng)就轉(zhuǎn)變?yōu)槎芗?jí)吸收型原子相位特征.

圖2 (a)探測場透射率 Ip(L)/Ip(0),(b)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)(L)/(0),(c)探測場相位 ?p(L)/π作為探測失諧?p/(2π)的函數(shù).黑色實(shí)線,藍(lán)色折線以及紅色點(diǎn)線分別對(duì)應(yīng)入射探測場拉比頻率 Ωp(0)/(2π)=0.01,0.3 MHz和0.6 MHz的情況.單光子失諧 ?c=0,控制場拉比頻率Ωc/(2π)=2.5 MHz,其他參數(shù)見正文描述Fig.2.(a) The transmitted probe intensity Ip(L)/Ip(0),(b) the second-order correlation function (L)/(0),(c) probe phase ?p(L)/π as a function of the probe detuning ?p/(2π).The black solid,blue dashed and red dotted curves are corresponding to incident probe Rabi frequencies Ωp(0)/(2π)=0.01,0 .3 MHz and 0 .6 MHz,respectively.The single-photon detuning ?c=0 and the Rabi frequency of control field Ωc/(2π)=2.5 MHz.Other parameters are described in the text.

圖3給出透射光譜的相空間結(jié)構(gòu),用來重點(diǎn)考察探測場相位與其他兩類非線性標(biāo)識(shí)對(duì)頻率和入射場強(qiáng)依賴的一致性.為了盡量保證弱探測場的前提條件,這里探測場拉比頻率滿足?p(0)/(2π)∈[0.01,0.75]MHz.很明顯,相位分布關(guān)于共振點(diǎn)所在的對(duì)稱軸呈現(xiàn)完美的反對(duì)稱特征.除了共振頻率?p/(2π)=0,AT劈裂 ( ?p=±?c)直至大失諧(|?p|/ ( 2π)＞＞3 MHz )以外,都可以看出相位明顯依賴于探測場強(qiáng)度,特別是在 ?p≈±1.4 MHz 頻率處.此時(shí),相位的極值始終對(duì)應(yīng)于經(jīng)典光增大探測場強(qiáng)度也不會(huì)改變.原因在于條件極化率中不存在失諧對(duì)探測場強(qiáng)度的依賴關(guān)系,這個(gè)從(5)—(8)式也很容易看出.

圖3 (a)探測場透射率 Ip(L)/Ip(0),(b)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)(L)/(0),(c)探測場相位 ?p(L)/π作為探測失諧?p/(2π)和入射探測場拉比頻率 Ωp(0)/(2π) 的函數(shù).其他參數(shù)同圖2Fig.3.(a) The transmitted probe intensity Ip(L)/Ip(0),(b) the second-order correlation function (L)/(0),(c) the probe phase ?p(L)/π as a function of the probe detuning ?p/(2π) and theRabi frequency of the incident probe field Ωp(0)/(2π).Other parameters are the same as in Fig.2.

文獻(xiàn)[30]表明,合作光學(xué)非線性除了表現(xiàn)在對(duì)探測場強(qiáng)度的依賴以外,還具有入射場量子屬性(光子關(guān)聯(lián))的敏感性.圖4選取較強(qiáng)的入射場強(qiáng),在易于產(chǎn)生非線性光學(xué)效應(yīng)的前提下給出透射區(qū)光譜對(duì)頻率和入射光子關(guān)聯(lián)依賴的相空間結(jié)構(gòu).與圖3類似,相位也呈現(xiàn)反對(duì)稱空間結(jié)構(gòu),敏感區(qū)域發(fā)生在共振頻率和AT劈裂之間.在?p≈±1.4 MHz頻率處出現(xiàn)極值,當(dāng)初始關(guān)聯(lián)函數(shù)改變較小的時(shí)候,相位變化不明顯,但是整體上仍然可以看出對(duì)入射光子關(guān)聯(lián)的依賴性.

進(jìn)一步把頻率固定在 ?p≈±1.4 MHz 處,考察相位對(duì)入射探測場強(qiáng)度和初始光子關(guān)聯(lián)的敏感性.從前面的研究可知,這個(gè)頻率對(duì)應(yīng)的是相位的極值,當(dāng)發(fā)生非線性效應(yīng)時(shí)候,相位的絕對(duì)值會(huì)變小,圖5也能顯示出這個(gè)特點(diǎn).另外,由圖5還可以推測出： 相位的非線性效應(yīng)會(huì)在探測場強(qiáng)度和初始光子關(guān)聯(lián)較大的情況下達(dá)到飽和.

圖4 (a)探測場透射率 Ip(L)/Ip(0),(b)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)(L)/(0),(c)探測場相位 ?p(L)/π 作為探測失諧?p/(2π)和初始二階關(guān)聯(lián)函數(shù) (0) 的函數(shù).入射探測場拉比頻率Ωp(0)/(2π)=0.3 MHz,其他參數(shù)同圖2Fig.4.(a) The transmitted probe intensity Ip(L)/Ip(0),(b) the second-order correlation function (L)/(0),(c) probe phase ?p(L)/π as a function of the probe detuning ?p/(2π) and the initial second-order correlation function (0).The Rabi frequency of the incident probe field Ωp(0)/(2π)=0.3 MHz and other parameters are the same as in Fig.2.

圖5 探測場相位?p(L)/π 作為入射探測場拉比頻率Ωp(0)/(2π)和初始二階關(guān)聯(lián)函數(shù)(0) 的函數(shù) (a)探測失諧 ?p=1.4 MHz ; (b)探測失諧 ?p=-1.4 MHz.其他參數(shù)同圖2Fig.5.Probe phase ?p(L)/π as a function of the Rabi frequency of the incident probe field Ωp(0)/(2π) and initial second-order correlation function (0) ： (a) Probe detuning ?p=1.4 MHz ; (b) probe detuning ?p=-1.4 MHz.Other parameters are the same as in Fig.2.

圖6 探測場相位?p(L)/π 作為(a)主量子數(shù) n 和(b)原子密度 ρ 的函數(shù).入射探測場拉比頻率Ωp(0)/(2π)=0.3 MHz,初始二階關(guān)聯(lián)函數(shù)(0)=1.其他參數(shù)同圖2Fig.6.Probe phase ?p(L)/π as a function of (a)the principal quantum number n and (b) the atomic density ρ.The incident probe intensity Ωp(0)/(2π)=0.3 MHz and the initial second-order correlation function (0)=1.Other parameters are the same as in Fig.2.

最后檢查主量子數(shù)和原子樣品密度對(duì)相位的影響.由文)獻(xiàn)[34]可知,vdW系數(shù)C6≈n11(c0+c1n+c2n2,n 為主量子數(shù),c0=11.97,c1=-0.8486,c2=0.003385.從圖6可以看出共振頻率處相位一直保持為零,不受主量子數(shù)和密度變化影響.而?p≈±1.4 MHz頻率處的相位,隨著主量子數(shù)和原子密度的增加而被不斷被壓縮,非線性效應(yīng)明顯.原因就在于每個(gè)超級(jí)原子內(nèi)包含的原子數(shù)增多了,前者是原子密度不變阻塞半徑增大引起的,而后者阻塞半徑不變,僅是原子密度增大的結(jié)果.

5 結(jié) 論

本文討論了一維三能級(jí)里德伯原子氣體的透射光學(xué)響應(yīng),重點(diǎn)研究EIT條件下的相位性質(zhì).結(jié)果表明,除了探測場透射率和光子關(guān)聯(lián)以外,探測場相位也具有典型的光學(xué)非線性效應(yīng),成為合作光學(xué)非線性的另一個(gè)標(biāo)識(shí).通過對(duì)比研究,發(fā)現(xiàn)相位非線性的獨(dú)特之處： 共振點(diǎn)和AT劈裂頻率不存在非線性現(xiàn)象,而對(duì)應(yīng)經(jīng)典光的失諧處,非線性效應(yīng)更強(qiáng),更為敏感.最后改變主量子數(shù)和原子樣品密度,發(fā)現(xiàn)隨著主量子數(shù)和原子樣品密度的增大,相位的非線性效應(yīng)也增強(qiáng).