張少侃，呂聰敏，甘浩

（廣州海格通信集團(tuán)股份有限公司，廣州 510663）

基于實(shí)際數(shù)字通信系統(tǒng)中Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換的需求，從Eb/N0 和SNR 的基本概念、定義出發(fā)，通過嚴(yán)密的公式推導(dǎo)，給出Eb/N0 與SNR 之間的一般性轉(zhuǎn)換公式。并針對實(shí)際系統(tǒng)中白噪聲的不同測量帶寬，給出不同的Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換公式。給出MATLAB 系統(tǒng)仿真中Eb/N0 與SNR 的具體轉(zhuǎn)換公式，最后通過實(shí)際通信系統(tǒng)的案例分析，給出實(shí)際系統(tǒng)的Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換公式參數(shù)應(yīng)用。

Eb/N0；SNR；MATLAB；數(shù)字通信系統(tǒng)

0 引言

現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)中，接收機(jī)端所能接收的最小SNR 和Eb/N0[1-3]是衡量通信系統(tǒng)的重要指標(biāo)。SNR 也即信噪比，是接收端模擬信號的重要測量指標(biāo)，可以通過頻譜儀等儀器實(shí)際測量接收端的模擬信號得到。而Eb/N0 是指通信系統(tǒng)傳輸一比特信息所需要的能量和噪聲功率譜密度的比值，是衡量整個通信系統(tǒng)性能歸一化的一個系統(tǒng)指標(biāo)。由于在數(shù)字系統(tǒng)傳輸中會采用不同的調(diào)制技術(shù)，而不同進(jìn)制的調(diào)制技術(shù)下頻譜效率會不同[4-5]，一個由k 個比特映射生成的調(diào)制符號所實(shí)現(xiàn)的頻譜效率就為k bit/s/Hz。這種情況下，在計(jì)算比特誤碼率的時候考慮的是通信系統(tǒng)的整體性能，如果要橫向比較系統(tǒng)的整體性能，就要將系統(tǒng)效率的作用排除在外，此時就必須從單個比特著手去比較，而Eb/N0 恰好可以排除頻譜效率引起的問題。一般情況下，模擬通信系統(tǒng)常采用SNR～BER 來衡量通信系統(tǒng)的性能，數(shù)字通信系統(tǒng)常采用Eb/N0～BER 來衡量通信系統(tǒng)的性能。由于數(shù)字通信系統(tǒng)[6]常采用Eb/N0 作為衡量系統(tǒng)的性能指標(biāo)，但實(shí)際測量Eb/N0 比較困難，故而研究Eb/N0 與SNR 的轉(zhuǎn)化關(guān)系變的十分重要。

本文從兩種指標(biāo)的基本概念出發(fā)，通過基本概念定義和公式轉(zhuǎn)化詳細(xì)地推導(dǎo)出兩者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，并在轉(zhuǎn)換公式的基礎(chǔ)上闡述了實(shí)際測量中不同的SNR測量方法導(dǎo)致的不同SNR 與Eb/N0 轉(zhuǎn)換公式以及MATLAB 系統(tǒng)仿真中SNR 與Eb/N0 的轉(zhuǎn)換公式。最后，通過實(shí)際的通信系統(tǒng)案例給出SNR 與Eb/N0 的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

1 符號定義與說明

在進(jìn)行公式推導(dǎo)之前首先給出本文中后面出現(xiàn)的主要符號的定義。下面給出本文中用到的符號及其定義說明。

Eb：單位比特的能量，單位是焦耳（Joules）；

N0：噪聲的功率譜密度，單位是瓦特/赫茲（Watts/Hz）；

Joules·Hz/Watts=Joules·（1/1s）/（Joules/s）=1

S：信號功率，單位是瓦特（Watts）；

N：噪聲功率，單位是瓦特（Watts）；

br：用戶信息的傳輸速率，單位是比特每秒（bit/s）；

Tb：傳輸每比特信息所需要的時間，單位是秒（s），Tb=1/br；

sr：信道中的符號傳輸速率，單位是符號每秒（symbol/s）；

Rc：通信系統(tǒng)的信道編碼速率；

Rm：通信系統(tǒng)的調(diào)制率，Rm=log2（M），M 是調(diào)制星座點(diǎn)個數(shù)，如BPSK，M=2，QPSK，M=4，256-QAM，M=256；

d：擴(kuò)頻倍數(shù)；

insValue：平方根升余弦滾降成型濾波器的插值倍數(shù)；

α：平方根升余弦滾降濾波器的滾降因子；

W：傳輸信道帶寬。

2 轉(zhuǎn)換公式推導(dǎo)

本節(jié)對Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換公式做推導(dǎo)，根據(jù)定義我們有：

上式中，根據(jù)定義，信號的功率S 等于傳輸每比特信息所需的能量Eb 除以傳輸每比特所需要的時間Tb。噪聲的功率N 等于噪聲功率譜密度N0 乘以傳輸信號的信道帶寬W。又根據(jù)調(diào)制速率和編碼速率的定義我們有：

將式（2）和式（3）代入式（1）得到：

對（4）式兩端同時取10?log10()便可得到轉(zhuǎn)換公式的對數(shù)形式：

對于CDMA 體制通信系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)用戶個數(shù)為U 個，U 個用戶數(shù)據(jù)之間通過正交碼字直序擴(kuò)頻疊加起來一起傳輸，假設(shè)ST為U 個用戶數(shù)據(jù)疊加的信號總功率，S 為單個用戶數(shù)據(jù)的信號功率，則有ST=U?S，而我們在接收端測量模擬信號的功率只能測量疊加的所用用戶信號總功率ST，因而，對于CDMA 體制通信系統(tǒng)，Eb/N0 與SNR 的轉(zhuǎn)換公式為：

式（6）為通用轉(zhuǎn)換公式，對于FDMA 和TDMA 體制通信系統(tǒng)，令U=1 即可。

上述的Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換公式?jīng)]有考慮系統(tǒng)幀結(jié)構(gòu)中用于同步的導(dǎo)頻序列開銷，一般的通信系統(tǒng)導(dǎo)頻序列所占的開銷小于10%，因而一般通信系統(tǒng)的幀結(jié)構(gòu)效率在90%之上，由于10?log10(0.9)接近于0，因而一般的轉(zhuǎn)換公式可以省略不做考慮，對于精度要求比較高的系統(tǒng)，在公式轉(zhuǎn)換時應(yīng)考慮幀結(jié)構(gòu)效率的影響。

3 不同的SNR測量方法對應(yīng)的不同轉(zhuǎn)換公式

對于一般的通信系統(tǒng)，發(fā)端成型濾波器和收端匹配濾波器是一致的，常見的均為平方根升余弦滾降濾波器。假設(shè)成型濾波器和匹配濾波器均采用平方根升余弦滾降濾波器，則其頻譜如圖1 所示。

圖1 平方根升余弦滾降濾波器頻譜示意圖

平方根升余弦滾降濾波器的頻率響應(yīng)表達(dá)式為：

其中fN=sr/2=1/2Ts，為信道符號速率的一半。

一般情況下，我們在實(shí)際測試時，我們要測量信號的完整功率必須測量的信號帶寬是W，而不能是sr，只有測量W 帶寬內(nèi)的信號才能不漏掉信號功率，因?yàn)榘l(fā)端信號的頻譜就是圖1 中的平方根升余弦滾降成型濾波器波形（發(fā)端成型濾波的波形）。而在測量噪聲功率時，這時候我們可以測量sr 帶寬，也可以測量W 帶寬。由公式（7）可以知道，圖1 中的1、2、3、4 陰影部分的面積全部是相等的。根據(jù)1、2、3、4 陰影部分面積全部相等，我們可知測量sr 帶寬的白噪聲功率也就是等于白噪聲通過匹配濾波后的功率（白噪聲頻譜是平坦的，通過匹配濾波后的白噪聲形狀就是上圖中的平方根升余弦滾降濾波器頻譜）。這也就是說測量sr 帶寬的噪聲功率就是測量白噪聲通過匹配濾波器后的功率，測量W 帶寬的噪聲功率就是測量白噪聲通過匹配濾波器之前的功率。這里把兩種測量的噪聲功率分別記為Ns（sr 帶寬的噪聲功率）和Nw（W 帶寬的噪聲功率）。我們可知Nw=（1+α）?Ns，這樣就有：

根據(jù)上述原理，我們得到，當(dāng)實(shí)際測量的噪聲功率帶寬為sr 時（測量信號功率的帶寬必須為W），Eb/N0與SNR 的轉(zhuǎn)換公式為：

當(dāng)實(shí)際測量的噪聲功率帶寬為W 時（測量信號功率的帶寬必須為W），Eb/N0 與SNR 的轉(zhuǎn)換公式為：

所以，實(shí)際采用的噪聲功率測量帶寬決定了EbN0和SNR 的具體轉(zhuǎn)化公式，而不管怎么測試噪聲功率，信號的功率測量必帶寬須為W。

4 MATLAB仿真中的Eb/N0與SNR轉(zhuǎn)換公式

使用MATLAB 進(jìn)行通信系統(tǒng)仿真是現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)中一個非常重要的步驟。通常MATLAB中也是使用信噪比SNR 來添加噪聲，不能使用Eb/N0參數(shù)進(jìn)行噪聲的添加，但我們通常需要使用Eb/N0 這個歸一化指標(biāo)參數(shù)對系統(tǒng)進(jìn)行評價，因而在MATLAB仿真中也常常需要用到Eb/N0 與SNR 的轉(zhuǎn)換公式。

MATLAB 仿真中添加加性高斯白噪聲常常使用函數(shù)庫中的AWGN 函數(shù)進(jìn)行添加，然而使用AWGN 函數(shù)添加的加性高斯白噪聲是按照上節(jié)中所述的sr 帶寬進(jìn)行添加的，也即添加的噪聲功率是按照通過匹配濾波器后的噪聲功率計(jì)算的。這樣在MATLAB 進(jìn)行整個通信系統(tǒng)仿真時，計(jì)算Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換公式時應(yīng)該按照式（9）進(jìn)行轉(zhuǎn)換，不需要計(jì)算平方根升余弦滾降因子α的影響。

然而，MATLAB 仿真中的轉(zhuǎn)換公式不是完全按照公式（9）進(jìn)行轉(zhuǎn)換的。由于在MATLAB 仿真中發(fā)端信號在添加完噪聲以后，在收端要進(jìn)行匹配濾波處理，數(shù)字信號進(jìn)過匹配濾波后功率會增大insValue 倍，而添加的噪聲在經(jīng)過匹配濾波后功率無變化，而我們對解調(diào)解碼的信噪比衡量是以匹配濾波后的參數(shù)為基準(zhǔn)的，包括上面模擬域測試的SNR 也是計(jì)算的是匹配濾波后的信噪比，因而MATLAB 仿真中Eb/N0 與SNR 的轉(zhuǎn)換公式為：

5 實(shí)例分析

假如某CDMA 體制通信系統(tǒng)，每個用戶的數(shù)據(jù)傳送速率為1kb/s，信道編碼采用編碼速率為Rc=1/3 的卷積編碼，星座映射采用QPSK 調(diào)制方式，基帶脈沖成型采用因子為α等于0.35 的平方根升余弦滾降函數(shù)，上采樣倍數(shù)insValue 為8，直序擴(kuò)頻倍數(shù)d=16，系統(tǒng)中的用戶個數(shù)U=3。

首先來看一下各路用戶數(shù)據(jù)經(jīng)過各模塊后數(shù)據(jù)速率的變化，原始信息速率為1kb/s，1/3 卷積編碼后變?yōu)?kb/s，也就是每秒傳送3000bit 數(shù)據(jù)，采用QPSK 調(diào)制后，速率變?yōu)?.5k symbol/s，經(jīng)過直序擴(kuò)頻后，符號速率變?yōu)?4k symbol/s。

（1）模擬域噪聲測量帶寬為W

當(dāng)在模擬域測量的白噪聲帶寬為W 時，我們使用的Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換公式為式（10），因此其具體的轉(zhuǎn)換公式為：

使用dB 表示，轉(zhuǎn)換公式為：

（2）模擬域噪聲測量帶寬為sr

當(dāng)在模擬域測量的白噪聲帶寬為sr 時，我們使用的Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換公式為式（9），因此其具體的轉(zhuǎn)換公式為：

使用dB 表示，轉(zhuǎn)換公式為：

（3）MATLAB 系統(tǒng)仿真中的轉(zhuǎn)換公式

在使用MATLAB 工具進(jìn)行系統(tǒng)仿真時，我們使用的Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換公式為式（11），因此其具體的轉(zhuǎn)換公式為：

使用dB 表示，轉(zhuǎn)換公式為：

6 結(jié)語

針對通信系統(tǒng)中Eb/N0 與SNR 的轉(zhuǎn)換問題，本文從基本概念出發(fā)，通過理論公式推導(dǎo)，得到了Eb/N0 與SNR 的一般轉(zhuǎn)換公式。繼而針對模擬域測量的不同白噪聲帶寬，詳細(xì)地推導(dǎo)出了不同的Eb/N0 和SNR 轉(zhuǎn)換公式。而后針對MATLAB 系統(tǒng)仿真場景，詳細(xì)說明了MATLAB 仿真中Eb/N0 和SNR 具體轉(zhuǎn)換公式。最后本文給出了一個實(shí)際通信系統(tǒng)案例分析，具體地列出了Eb/N0 與SNR 轉(zhuǎn)換公式。